How to progress in life in hindi |what is the tips of progress in life in hindi

How to progress in life in hindi |what is the tips of progress in life in hindi

via https://youtu.be/CfoqFxGtZd4

This Algorithm Can Tell Which Number a Human Will Find Interesting

This Algorithm Can Tell Which Number Sequences a Human Will Find Interesting

This Algorithm Can Tell Which Number a Human Will Find Interesting

1.यह अल्गोरिथम बता सकता है कि कौन सी संख्या एक मानव को दिलचस्प बनाती है(This Algorithm Can Tell Which Number Sequences a Human Will Find Interesting)-

परिणाम संकेत देता है कि मशीनों को एक दिन गणितीय लालित्य और सुंदरता को प्रशिक्षित करने के लिए प्रशिक्षित किया जा सकता है
गणित के उत्सुक गुणों में से एक इसकी सुंदरता है। लेकिन वास्तव में जो गणितज्ञ सुंदरता से मतलब रखते हैं, उसे पकड़ना मुश्किल है।

शायद सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है यूलर का संबंध, eiπ + 1 = 0, जो गणित के प्रतीत होते असंबंधित क्षेत्रों के बीच एक गहरी कड़ी को प्रकट करता है। उदाहरण के लिए, ometry ज्यामिति से आता है, ई और मैं बीजगणित से आते हैं, और आदिम 0 और 1 के साथ संचालन + और = संख्या सिद्धांत से आते हैं। वे इस तरह के एक सरल और अप्रत्याशित तरीके से संबंधित हैं जो गणितीय दुनिया के महान आश्चर्यों में से एक है।

2.और गणितीय सुंदरता के एक और घटक की ओर इशारा करता है: 

गणितीय पैटर्न किसी न किसी तरह से दिलचस्प होना चाहिए। इन दिलचस्प पैटर्न को पहचानना हमेशा एक विशिष्ट मानवीय क्षमता रही है।

लेकिन हाल के वर्षों में, मशीनें बेहद सक्षम पैटर्न-पहचान उपकरण बन गई हैं। वास्तव में, उन्होंने मानव को चेहरे की पहचान, वस्तु की पहचान, और विभिन्न प्रकार की गेम-प्लेइंग भूमिकाओं के रूप में समझना शुरू कर दिया है।

और इससे एक दिलचस्प संभावना पैदा होती है: क्या मशीन-सीखने वाले एल्गोरिदम गणित में दिलचस्प या सुरुचिपूर्ण पैटर्न की पहचान कर सकते हैं? क्या वे गणितीय सौंदर्य के मध्यस्थ भी हो सकते हैं?

आज हमें न्यूयॉर्क राज्य में आईबीएम के टीजे वाटसन रिसर्च सेंटर में चाय वाह वू के काम के लिए धन्यवाद का जवाब मिलता है। वू ने एक ऐसी मशीन-शिक्षण एल्गोरिथ्म का निर्माण किया है, जिसने गणितीय संरचनाओं में कुछ प्रकार के लालित्य की पहचान करना सीखा है और इसका उपयोग यादृच्छिक लोगों से दिलचस्प दृश्यों को फ़िल्टर करने के लिए किया है।

तकनीक एक असामान्य डेटाबेस का उपयोग करती है जिसे ऑनलाइन एनसाइक्लोपीडिया ऑफ इंटेगर सीक्वेंस कहा जाता है, जिसे मूल रूप से गणितज्ञ नील स्लोन द्वारा 1960 के दशक में बनाया गया था और 1996 में वेब पर रखा गया था।

पूर्णांक अनुक्रम संख्याओं की एक श्रृंखला है जो एक नियम के अनुसार आदेशित होती है। प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रमुख संख्याएँ शामिल हैं - वे संख्याएँ जिन्हें केवल स्वयं और 1 (A000040) से विभाजित किया जा सकता है; फाइबोनैचि अनुक्रम, जिसमें प्रत्येक पद पिछले दो पदों (A000045) का योग है; और यहां तक ​​कि तुच्छ उदाहरण जैसे कि विषम संख्याओं या अनुक्रमों का क्रम जो 7 से शुरू होता है।

वास्तव में, गणितज्ञ जो ओईएस चलाते हैं, "दिलचस्प" दृश्यों की तलाश में व्यापक रूप से जाल डालते हैं और इसलिए विशुद्ध रूप से सांस्कृतिक महत्व के साथ उदाहरणों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल करते हैं। इनमें प्राइम नंबर शामिल हैं जिनमें अनुक्रम 666 शामिल है, जानवर की तथाकथित संख्या।
डेटाबेस में 667 (A138563) संख्या वाले अभाज्य संख्याओं का क्रम भी शामिल है। यह संख्या महत्वपूर्ण मानी जाती थी क्योंकि जब फैक्स मशीनें आम थीं, तो लोगों के पास अक्सर एक फैक्स नंबर होता था जो कि उनका टेलीफोन नंबर प्लस होता था। दूसरे शब्दों में, यदि उनका टेलीफोन नंबर 123-4567 था, तो उनका फैक्स नंबर 123-4568 होगा। इस तरह से सोचने पर, 667 जानवर का फैक्स नंबर है, और इसलिए सांस्कृतिक महत्व (संपादक मानव हैं, सब के बाद)।

आज, इंटेगर सीक्वेंस डेटाबेस में कुछ 300,000 सीक्वेंस शामिल हैं, और हर दिन शौकीनों और पेशेवरों द्वारा समान रूप से प्रस्तुत किए जाते हैं, उनमें से कई गणित में नई और दिलचस्प समस्याओं पर इशारा करते हैं।

वू ने जो कार्य किया था, वह इन "दिलचस्प" दृश्यों को यादृच्छिक रूप से उत्पन्न लोगों से अलग करने का एक तरीका खोजना था। और उनका विचार अनुभवजन्य कानूनों को खोजने का था जो "रोचकता" के उपायों के रूप में कार्य कर सकते हैं जो उन्हें निर्बाध लोगों से अलग कर सकते हैं।

"अनुभवजन्य कानून प्रति से गणितीय प्रमेय नहीं हैं, लेकिन रिश्तों की अनुभवजन्य टिप्पणियां हैं जो कई प्राकृतिक और मानव निर्मित डेटा सेटों पर लागू होती हैं," वू कहते हैं। उदाहरणों में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में मूर का कानून और अर्थशास्त्र में 80/20 परेतो सिद्धांत शामिल हैं। बस ये "कानून" क्यों पूरी तरह से समझ में नहीं आते हैं, लेकिन फिर भी वे गैर-धारण करते हैं।

एक अनुभवजन्य सिद्धांत जो कई डेटा सेटों पर लागू होता है, वह बेनफोर्ड का नियम है। यह 1881 में कनाडाई गणितज्ञ और खगोलविद साइमन न्यूकॉम्ब द्वारा खोजा गया था। न्यूकॉम्ब ने नोट किया कि लॉगरिदम टेबल की पुस्तकों में पहले के पृष्ठ बाद के पृष्ठों की तुलना में अधिक भारी थे, यह सुझाव देते हुए कि अंक 1 से शुरू होने वाले लॉगरिदम अधिक सामान्य थे।

इससे उन्हें यह सिद्धांत तैयार करना पड़ा कि डेटा के किसी भी सेट में, किसी भी अन्य संख्या की तुलना में अधिक संख्या 1 से शुरू होगी। इसी विचार को 1930 के दशक में फ्रैंक बेनफोर्ड ने फिर से खोजा और लोकप्रिय बनाया।

बेनफोर्ड का नियम कई प्रकार के डेटा सेटों पर लागू होता है, जैसे बिजली के बिल, सड़क के पते, शेयर की कीमतें, और इसी तरह। यह इतना अनुमानित है कि इसका इस्तेमाल वित्तीय खातों में धोखाधड़ी करने के लिए किया जा सकता है। लेकिन यह यादृच्छिक अनुक्रमों पर लागू नहीं होता है। वास्तव में क्यों स्पष्ट रूप से समझ में नहीं आता है।

वास्तव में, यह एक पहेली है जो गणितज्ञों ने पाया है कि बेनफोर्ड का नियम कुछ पूर्णांक अनुक्रमों पर लागू होता है। लेकिन इन दृश्यों में यह कितना व्यापक रूप से लागू होता है?

यह पता लगाने के लिए, वू ने मापा कि ओआईएस डेटाबेस से बेतरतीब ढंग से चुने गए 40,000 अनुक्रमों में पहले अंकों के वितरण को कानून कितनी अच्छी तरह से बताता है।

यह पता चलता है कि बेनफोर्ड की विधि फसलों की अपेक्षा अधिक बार होती है। वू कहते हैं, "परिणाम बताते हैं कि कई, लेकिन सभी नहीं, अनुक्रम कुछ हद तक बेनफोर्ड के कानून से संतुष्ट हैं, जिन्होंने पाया कि टेलर लॉ नामक एक अन्य अनुभवजन्य सिद्धांत भी व्यापक रूप से मौजूद था।
अगला सवाल एक सरल कदम था: क्या बेनफोर्ड के कानून और टेलर के कानून का उपयोग OEIS में यादृच्छिक क्रमों को अलग करने के लिए किया जा सकता है?

यह पता लगाने के लिए, वू ने यादृच्छिक पूर्णांक के 40,000 अनुक्रम उत्पन्न किए और इन्हें OEIS से चुने गए 40,000 अनुक्रमों में जोड़ा। फिर उन्होंने बेनफोर्ड के नियम और टेलर के नियम का उपयोग करके OEIS अनुक्रमों को देखने और उन्हें यादृच्छिक दृश्यों से अलग करने के लिए मशीन-लर्निंग एल्गोरिदम को प्रशिक्षित किया।

परिणाम प्रभावशाली हैं। एल्गोरिथ्म ने 0.999 की सटीकता और 0.9984 की सटीकता के साथ काम किया। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह "दिलचस्प" दृश्यों को स्पॉट करने के लिए एक स्वचालित प्रक्रिया की संभावना स्थापित करता है।

एक आवेदन तुरंत स्पष्ट है। ओईआईएस चलाने वाले गणितज्ञों को वर्तमान में एक वर्ष में लगभग 10,000 प्रस्तुतियाँ करनी होती हैं। तो सबसे दिलचस्प स्वचालित रूप से स्पॉट करने का एक तरीका उपयोगी हो सकता है।

हालाँकि, दृष्टिकोण की कुछ महत्वपूर्ण सीमाएँ हैं। गणितज्ञों ने कई दिलचस्प और महत्वपूर्ण अनुक्रमों को परिभाषित किया है जिनकी अनंत संख्या है, लेकिन गणना करना कठिन है। नतीजतन, डेटाबेस में केवल कुछ ही शब्द होते हैं। इस तरह के मशीन-आधारित विश्लेषण के लिए ये स्पष्ट रूप से उपयुक्त नहीं हैं।

व्यापक प्रश्न यह है कि क्या यह दृष्टिकोण गणित में लालित्य या सुंदरता की पहचान कर सकता है। जैसा कि वू पूछता है: “क्या मशीन सीखना वैज्ञानिक ज्ञान के गुणात्मक गुणों की पहचान कर सकता है; यानी, क्या हम बता सकते हैं कि क्या वैज्ञानिक परिणाम सुरुचिपूर्ण, सरल या दिलचस्प है? "
यह लक्ष्य पूरी तरह से व्यर्थ नहीं हो सकता है। यदि बेनफोर्ड और टेलर जैसे अनुभवजन्य कानून "रोचकता" के सूचक हैं, जैसा कि यह काम बताता है, तो शायद इस एल्गोरिथ्म को कम से कम कुछ स्तर पर, शान का एक मध्यस्थ माना जा सकता है।

यूलर, महाकाव्य के संबंध और इतिहास के सबसे महान गणितज्ञों में से एक, निश्चित रूप से मोहित होगा।

Differential Equations — Basics

1.विभेदक समीकरण - मूल बातें(Differential Equations — Basics)-

Differential Equations — Basics

आदेश अवलोकन और मानक संकेतन
विभेदक समीकरणों (DFQs) की सुंदर शाखा में अंतर समीकरणों के कई, कई ज्ञात प्रकार मौजूद हैं। वास्तव में, DFQ के बारे में किसी की समझ को रैंप अप करने का सबसे अच्छा तरीका पहले बुनियादी वर्गीकरण प्रणाली से निपटना है। क्यूं कर? क्योंकि आप कभी भी पूरी तरह से विदेशी DFQ में नहीं चलेंगे। अधिकांश DFQs पहले से ही हल किए गए हैं, इसलिए यह अत्यधिक संभावना है कि एक लागू, सामान्यीकृत समाधान पहले से मौजूद है।
समीकरण के गुणों का वर्णन करने के अलावा, अंतरों को वर्गीकृत करने और पहचानने में वास्तविक मूल्य-जोड़ जंप-ऑफ अंक के लिए एक मानचित्र प्रदान करने से आता है। अंतर समीकरणों को हल करने की चाल मूल तरीकों को बनाने के लिए नहीं है, बल्कि सिद्ध समाधानों को वर्गीकृत और लागू करने के लिए है; कई बार, एक कार्यान्वयन योग्य, सामान्यीकृत समाधान में आने के लिए, एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समकक्ष समीकरण में बदलने के लिए चरणों की आवश्यकता हो सकती है।

जबकि सैकड़ों अतिरिक्त श्रेणियां और उपश्रेणियाँ हैं, डीएफक्यू का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली चार सबसे सामान्य गुण हैं:(the four most common properties used for describing DFQs are):
(i)साधारण बनाम आंशिक( Ordinary vs Partial)
(ii)रैखिक बनाम गैर-रैखिक(Linear vs Non-Linear)
(iii)सजातीय बनाम गैर-सजातीय(Homogeneous vs Non-Homogeneous)
(iv)विभेदक आदेश(Differential Order)
हालांकि यह सूची किसी भी तरह से विस्तृत नहीं है, यह एक बेहतरीन कदम है जो आम तौर पर DFQ सेमेस्टर कोर्स के पहले कुछ हफ्तों में समीक्षा की जाती है; इन वर्गीकरण श्रेणियों में से प्रत्येक की शीघ्रता से समीक्षा करके, हम आम DFQ प्रश्नों से निपटने के लिए एक बुनियादी स्टार्टर किट से सुसज्जित होंगे।

2.साधारण बनाम आंशिक(Ordinary vs Partial)-

हाथ में प्रश्न में पाए जाने वाले व्युत्पन्न के प्रकार से जंगली उपजी में पाए जाने वाले डीएफक्यू के लिए पहला, सबसे आम वर्गीकरण; बस, क्या समीकरण में कोई आंशिक व्युत्पन्न है?

यदि नहीं, तो यह एक सामान्य अंतर समीकरण (ODE) है। यदि ऐसा होता है, तो यह आंशिक अंतर समीकरण (PDE) है
ODEs में उस एकल चर के आधार पर अंतर के साथ एक एकल स्वतंत्र चर शामिल होता है। एक सामान्य अंतर समीकरण (या ODE) में चरों का असतत (परिमित) सेट होता है; वे अक्सर एक आयामी डायनेमिक सिस्टम मॉडल करते हैं, जैसे कि समय के साथ एक पेंडुलम का झूलना।

दूसरी ओर PDE, काफी अधिक जटिल होते हैं क्योंकि वे आमतौर पर एक से अधिक स्वतंत्र चर को कई आंशिक अंतरों के साथ शामिल करते हैं जो कि ज्ञात स्वतंत्र चर में से एक पर आधारित हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। एसटीईएम में पीडीई बेहद लोकप्रिय हैं क्योंकि वे प्रकृति में कई तरह की घटनाओं का वर्णन करने के लिए प्रसिद्ध हैं, जैसे कि गर्मी, द्रव प्रवाह, या इलेक्ट्रोडायनामिक्स। यह प्रतीत होता है कि अलग-अलग शारीरिक घटनाएं पीडीई के रूप में औपचारिक रूप से औपचारिक हैं; वे स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरणों में अपना सामान्यीकरण पाते हैं।

एक DFQ समीकरण में व्युत्पन्न के प्रकार की पहचान करने में मदद करने के लिए नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

Differential Equations — Basics

3.रैखिक बनाम गैर-रैखिक(Linear vs Non-Linear)-

यह दूसरी आम संपत्ति, रैखिकता, द्विआधारी और सीधी है: स्थिरांक और केवल स्थिरांक द्वारा गुणा समीकरण में चर (ओं) और व्युत्पन्न हैं?

यदि ऐसा है, तो यह एक रैखिक DFQ है। अन्यथा, इसे गैर-रैखिक माना जाता है। चर और उनके डेरिवेटिव हमेशा एक साधारण पहली शक्ति के रूप में दिखाई देने चाहिए। उनकी सहज सरलता को देखते हुए, रैखिक समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को अच्छी तरह से विकसित किया गया है; यह संभावना है कि आप पहले से ही भौतिकी 101 में उनमें भाग लेंगे।

फिर भी, मुट्ठी भर उदाहरण स्पष्टता के लिए समीक्षा करने के लायक हैं - नीचे DFQ में रैखिकता की पहचान करने की एक तालिका है:

Differential Equations — Basics

4.सजातीय बनाम गैर-सजातीय(Homogeneous vs Non-Homogeneous)-

विभेदक समीकरणों को वर्गीकृत करने का एक तीसरा तरीका, एक DFQ को सजातीय माना जाता है अगर और केवल अगर सभी शब्दों को एक जोड़ या घटाव ऑपरेटर द्वारा अलग किया जाए तो आश्रित चर शामिल है; अन्यथा, यह गैर-सजातीय है। इस संपत्ति की जाँच करने का एक सरल तरीका उन सभी शब्दों को शिफ्ट करना है जिनमें एक समान चिह्न के बाईं ओर निर्भर चर शामिल हैं, अगर दाईं ओर शून्य के अलावा कुछ भी नहीं है, तो यह गैर-सजातीय है।
एक अधिक औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। एक विभेदक समीकरण की परिभाषा को देखें, जो बाएं हाथ की ओर निम्नलिखित चित्र द्वारा दर्शाया गया है:

Differential Equations — Basics

डीएफक्यू को सजातीय माना जाता है यदि आरेख पर दाएं तरफ, जी (एक्स), शून्य के बराबर होता है। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

Differential Equations — Basics

वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में, जी (x) आमतौर पर एक गतिशील, भौतिक मॉडल में एक मजबूर शब्द से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, एक मोटराइज्ड पेंडुलम में, यह मोटर होगी जो पेंडुलम को चला रही है और इसलिए जी (x) का नेतृत्व करेगी! = 0।

5.पहला ऑर्डर, दूसरा ऑर्डर(First Order,Second Order)

मूल वर्गीकरणों में से अंतिम, यह निश्चित रूप से एक संपत्ति है जिसे आपने गणित की पूर्वापेक्षा शाखाओं में पहचाना है: एक विभेदक समीकरण का क्रम। उच्चतम एनटी-डिग्री के क्रम का वर्णन करने के विपरीत, जैसा कि बहुपद में होता है, अंतर के लिए, फ़ंक्शन का क्रम समीकरण में उच्चतम व्युत्पन्न के बराबर होता है। बुनियादी के रूप में यह हो जाता है:

Differential Equations — Basics

6.अंत में (In closing)-

और हम वहाँ जाते हैं! चार सबसे आम गुण अंतर समीकरणों को पहचानने और वर्गीकृत करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। जैसा कि आप अब तक बता सकते हैं, DFQ लेन का रास्ता वनस्पति विज्ञान के समान है; जब आप पहली बार अंतर समीकरणों का अध्ययन करते हैं, तो उनके उचित समूह में DFQ की पहचान और वर्गीकरण के लिए एक आंख विकसित करना व्यावहारिक है। एक बार पहचाने जाने के बाद, यह अत्यधिक संभावना है कि आप Google खोज को सामान्य, लागू समाधान खोजने से दूर रखें।

बेशक, हम एसटीईएम में हर क्षेत्र के पीछे ड्राइविंग शाखा की गहन खोज के लिए चरण निर्धारित करते हैं; समाधान में पूरी तरह से छलांग लगाने के लिए, सरल सेटअपों पर शोध करके शुरू करें, जैसे कि एक सजातीय प्रथम-ऑर्डर ODE!

How a FedEx employee discovered the world’s largest prime number

How a FedEx employee discovered the world’s largest prime number

1.फेडएक्स के एक कर्मचारी ने दुनिया की सबसे बड़ी प्राइम संख्या की खोज कैसे की(How a FedEx employee discovered the world’s largest prime number)-

उन्होंने चर्च के कंप्यूटर पर चलने वाले मुफ्त सॉफ्टवेयर का इस्तेमाल किया।

जॉन Pace, एक लंबे समय से FedEx कर्मचारी, हाई स्कूल के बाद से गणित से प्यार करता था। आज, वह मेम्फिस-आधारित डिलीवरी के साथ एक उड़ान परिचालन वित्त प्रबंधक है - और वर्तमान में ज्ञात सबसे बड़ी प्राइम संख्या की खोज का श्रेय भी उसे दिया जाता है। यह 23.2 मिलियन अंकों का लंबा है।

यदि आपके गणित के ज्ञान को एक पुनश्चर्या की आवश्यकता है, तो एक संख्या प्रमुख है जब इसे केवल एक पूर्णांक द्वारा विभाजित किया जा सकता है जो स्वयं या नंबर एक है। तो पांच एक अभाज्य संख्या है, लेकिन छह नहीं है। कल एक प्रश्नोत्तरी होगी, इसलिए कृपया ध्यान दें।

पेस ने पहली बार 2003 में वापस अपराधों की खोज में दिलचस्पी दिखाई, जब उन्होंने 40 वें ज्ञात मेर्सन प्राइम की खोज के बारे में एक लेख पढ़ा - एक विशेष प्रकार की अभाज्य संख्या, और एक दुर्लभ, संख्यात्मक प्राणी। Mersenne primes एक सूत्र के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं: 2P - 1, जिसमें P भी एक प्रमुख संख्या है। पेस की खोज केवल 50 वें ज्ञात मेर्सन प्राइम की है। इसे 277,232,917-1 के रूप में व्यक्त किया गया है। चूंकि यह मेरसेन है, इसलिए 77.2 मिलियन की संख्या भी प्रमुख है। वैसे भी, आप इसे प्राप्त करते हैं। यह बहुत लंबी प्राइम संख्या है।

"मैथ संरचित है," वह कहते हैं, क्योंकि वह इसे प्यार करता है। "आपको हमेशा एक ही उत्तर मिलता है यदि आप इसे हर बार सही तरीके से करते हैं।"
निष्पक्ष होने के लिए, पेस ने कैलकुलेटर और स्क्रैच पैड के साथ बैठकर अंकों के इस विशाल तार की खोज नहीं की। उन्होंने एक बड़े सुपर कंप्यूटर को भी काम में नहीं लिया। दरअसल, उनके चर्च के एक कंप्यूटर ने कड़ी मेहनत की थी। पेस टेनेसी में जर्मेनटाउन चर्च ऑफ क्राइस्ट में एक बधिर हैं, जहां उन्होंने अपने डेस्कटॉप बनाए और कंप्यूटर नेटवर्क प्रशासन को संभालते हैं। यह एक कार्यक्रम था जिसे पेस ने मंत्री के कंप्यूटरों में से एक पर स्थापित किया था जो कि इस विशिष्ट प्राइम नंबर के उम्मीदवार की जांच करने के लिए स्वचालित रूप से सौंपा गया था, और छह दिनों तक काम करने के बाद, यह पता चला कि यह बड़ी संख्या वास्तव में प्राइम में थी। (वह मशीन सिर्फ एक दर्जन से अधिक थी जो वह खोज के लिए उपयोग कर रही थी।)

सॉफ्टवेयर mersenne.org से एक मुफ्त डाउनलोड है, जो एक परियोजना का हिस्सा है जिसे ग्रेट इंटरनेट मेर्सेन प्राइम सर्च, या जीआईएमपीएस कहा जाता है।

"यह कार्यक्रम पृष्ठभूमि में बैठता है, अदृश्य रूप से," वह कहते हैं। "यह शानदार ढंग से डिज़ाइन किया गया है।"

तो क्या बात है?(So what’s the point?)

उन्होंने कहा कि मेरसेन के अपराध पेस के लिए दिलचस्प हैं क्योंकि वे कितने दुर्लभ हैं। यह खोज, सब के बाद, केवल 50 वें ज्ञात मेर्सन है। इन अजीब संख्याओं की खोज प्रति वर्ष एक से भी कम है।

2.प्राइम नंबर वास्तव में एक व्यावहारिक मूल्य है(prime numbers do actually have a practical value)-

लेकिन प्राइम नंबर वास्तव में एक व्यावहारिक मूल्य है - एन्क्रिप्शन में। "प्राइम नंबर क्रिप्टोग्राफी में एक विशेष स्थान रखते हैं," ईमेल के माध्यम से कार्नेगी मेलन विश्वविद्यालय में कंप्यूटर विज्ञान के एसोसिएट प्रोफेसर विपुल गोयल कहते हैं। "केंद्रीय क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम में से कई को बड़े प्राइम नंबर खोजने की आवश्यकता होती है।]

How a FedEx employee discovered the world’s largest prime number

फिर भी, इस नए प्रधानमंत्री ने कहा कि "9,000 पृष्ठों की कुल पुस्तकों की एक पूरी शेल्फ को भरने के लिए पर्याप्त बड़ा है!" - वास्तव में बहुत जल्द ही क्रिप्टोग्राफिक प्रयोजनों के लिए उपयोगी होने के लिए बहुत बड़ा है।

लेकिन पेस के लिए, वह केवल एक चुनौती के लिए मर्सनियों के लिए शिकार करने के लिए प्रेरित हुआ, जैसे एक पर्वतारोही एक लंबी चोटी को फहराता है। "वहाँ एक बड़ी संख्या है - चलो देखते हैं अगर मैं इसे खोजने के लिए एक हो सकता है," वह दर्शाता है। "और कभी-कभी आप भाग्यशाली होते हैं।"

When am I going to use this math thing in my life?

When am I going to use this math thing in my life?

1.जब मैं अपने जीवन में इस गणित चीज का उपयोग करने जा रहा हूं?(When am I going to use this math thing in my life?)-

- श्रीमान? मैं इस गणित चीज का उपयोग कब करूंगा? (वह त्रिकोणमिति की बात कर रहा है ..)

- बेटा, मैं ईमानदार रहूंगा। एक भव्य महिला का आपके पास आने और यह कहना कि "मुझे आपके साथ बाहर जाना अच्छा लगेगा, लेकिन यदि आप मुझे बता सकते हैं कि पाप की सीमा (x) / x के रूप में x दृष्टिकोण 0 के बराबर क्यों है" तो कम हैं 5% से। लेकिन यदि आप एक डिजाइनर बन जाते हैं और सिक्स फ्लैग्स के लिए काम करते हैं, तो आप बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करके अधिक सुंदर और खतरनाक रोलर कोस्टर डिज़ाइन कर सकते हैं या जब आपके पास एक बच्चा होता है, तो आप यह जानने के लिए एक बहुपद समारोह लिख सकते हैं कि आप डायपर तक कितने पैसे खर्च करेंगे। आपका बच्चा अपने आप से शौचालय का उपयोग करना सीखता है। या अगर आपके पिता ने आपको 32% बढ़ाने का फैसला किया है, तो आप वास्तव में कम समय में खुश हो सकते हैं।

limit of sin(x)/x as x approaches 0 = 1

कॉलेज में एक शुद्ध गणित के अध्ययन के बाद मैं एक डिजिटल बाज़ारिया बन गया। और मैंने कभी भी किसी फ़ंक्शन को विभेदित नहीं किया था या उस अवधि के दौरान त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को कभी नहीं देखा था। हालांकि, थोड़ी देर बाद, मुझे एहसास हुआ कि मेरी सीखने की प्रक्रिया ने मेरे मस्तिष्क को प्रशिक्षित किया था कि मैं अपने सामाजिक जीवन में किसी भी प्रकार की समस्या को हल कर सकूं। मैं अपनी दैनिक समस्याओं की ओर आ रहा था जैसे वे गणित के प्रश्न थे ... क्योंकि
मैं शुरुआत में कैलकुलस या बीजगणित या ज्यामिति सीखना नहीं चाहता था। मुझे सिर्फ एक विषय को सीखने की जरूरत है।
मेरा पहला उद्देश्य हमेशा यह देखने का एक तरीका ढूंढ रहा था कि मैं एक समस्या का सामना कैसे कर सकता हूं, भले ही वह एक मुफ्त प्रतिक्रिया या एकाधिक विकल्प हो? मुझे पूरा यकीन था कि, यह तरीका मुझे कुछ भी सीखने में मदद करेगा जो मुझे चाहिए। मेरे लिए, गणित हमेशा संख्या से अधिक है।

When am I going to use this math thing in my life?

मैंने कभी नहीं पूछा हैं , "मैं इसका उपयोग कब करूंगा?" और शायद, "हम कभी भी इसका उपयोग कब करेंगे?" एक गणित वर्ग में सबसे अधिक पूछा जाने वाला प्रश्न है और यह प्रश्न है कि शिक्षक सबसे ज्यादा डरते हैं। मुझे यह भी पूरा यकीन है कि पीई शिक्षकों को कभी नहीं पूछा जाता है: "जब मैं कभी वास्तविक जीवन में फुटबॉल खेलने जा रहा हूं?" यह सवाल पूरी तरह से गणितज्ञों के बोझ है।

2.मैं कभी इसका उपयोग कब करूंगा ???(When will I ever use this???)-

अपने हाई स्कूल गणित वर्ग और घातीय कार्यों के बारे में व्याख्यान याद रखें। आप शायद सोच रहे थे कि ऐसा कोई मौका नहीं है जब आप जीवन में कभी भी इसका इस्तेमाल करते हैं?
ज्यादातर बार, वे सवाल लोगों को मजबूर कर रहे थे और वे निराशा से आ रहे थे। यदि छात्र गणित में अच्छे नहीं हैं और यदि वे प्रश्नों को हल नहीं कर सकते हैं, और यदि आप उन्हें अपना समय बर्बाद नहीं करने देते हैं या अन्य छात्रों को विचलित नहीं करते हैं, तो वे उस कुख्यात प्रश्न को पूछना शुरू कर देते हैं। वे सभी अपने शिक्षक को चुनौती देने की कोशिश कर रहे हैं। जाहिर है कि वे ईमानदारी से नहीं पूछ रहे हैं। फिर भी, हमें यह मान लेना चाहिए कि यह एक छात्र के लिए एक स्वाभाविक प्रतिक्रिया है।

ठीक है, लेकिन क्या होगा यदि कोई छात्र उस प्रसिद्ध प्रश्न को ईमानदारी से पूछे और वास्तविक जीवन के गणित के प्रमाण की तलाश करे?

इस बिंदु पर, हमारे पास एक विरोधाभास है।
एक विरोधाभास की परिभाषा: एक प्रतीत होता है बेतुका या आत्म-विरोधाभासी बयान या प्रस्ताव है कि जब जांच या समझाया अच्छी तरह से स्थापित या सच साबित हो सकता है।

हम जानते है कि गणित निश्चित रूप से उपयोगी है, हालांकि, छात्रों को यह समझाना बहुत कठिन है कि यह उनके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है। दुर्भाग्य से, हमारे समाज के पास हमें गणितीय सुंदरता दिखाने के लिए केवल कुछ चीजें हैं। इसके अलावा, कक्षा के प्रत्येक व्यक्ति को गणित के साथ अलग-अलग अनुभव होते हैं। तो, क्या हम शिक्षकों या माता-पिता के रूप में उनके शिक्षण को वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों में इंजेक्ट करने की क्षमता रखते हैं? नहीं ... वास्तविक जीवन का गणित पूरी तरह से अधिकांश शिक्षकों द्वारा पेश नहीं किया गया है। सही जानकारी प्राप्त करने के लिए, हम "विद्यार्थी क्या जानता है?" और "छात्र क्या कर सकते हैं" जैसे महत्वपूर्ण मूल्यांकन प्रश्न भी नहीं पूछते हैं। चीजों को पूरा करने के लिए, हमें बस सभी गणितीय अवधारणाओं को सिखाना होगा।
दोस्तों, एमिगोस, माता-पिता, रोमन ... छात्रों को मोटी कैलकुलस किताबें पढ़ने या बत्तीस सैकड़ों सूत्र स्पष्ट रूप से पढ़ने के लिए मजबूर करना, छात्रों को यह समझाने का तरीका नहीं है कि गणित उपयोगी है। यह वह तरीका नहीं है जो हमें सिखाना चाहिए और ऐसा नहीं है कि लोग गणित का अध्ययन करें।

गणित पढ़ाने का उद्देश्य सबको सिखाना है कि कैसे सोचना है। गणित सीखने से लोगों को कक्षाओं के बाहर पूरे जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करना पड़ता है।
ऐसा लगता है कि आपको लगता है कि वास्तविक जीवन की समस्याओं का गणित की समस्याओं से कोई संबंध नहीं है जो हम स्कूल में सीखते हैं। दरअसल, उनके पास असंख्य कनेक्शन हैं। यदि आप गहराई से सोचते हैं, तो आप स्पष्ट रूप से एक दिन के दौरान आपके सामने आने वाली सभी समस्याओं को स्पष्ट रूप से देखेंगे। उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक जीवन की समस्याओं को सुलझाने के लिए योजना, तर्कसंगत सोच और दृष्टिकोण और परीक्षण की आवश्यकता होती है। सभी प्रक्रिया एक गणित प्रश्न के लिए बिल्कुल समान है।

मान लें कि आप एक ज्यामिति प्रश्न हल कर रहे हैं और एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने की कोशिश कर रहे हैं।

- सबसे पहले, आपको प्रश्न को समझने की आवश्यकता है।

- फिर, आपको यह देखना चाहिए कि आपके पास क्या है और क्या गायब है। एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको 2 आधारों की ऊंचाई और लंबाई की आवश्यकता होती है। यदि उनमें से एक गायब है, तो आपको इसे ढूंढना होगा।

- तो आपके उद्देश्य के लिए लापता हिस्सा ढूंढना होगा। यदि आप चरण दर चरण नहीं चलते हैं तो आप सीधे क्षेत्र को नहीं पा सकते हैं।

यदि आपका प्यार आपको कल रात की वजह से एक दृष्टिकोण दे रहा है, तो आपको केवल यह नहीं कहना चाहिए कि "मैं तुमसे प्यार करता हूँ, चलो कुछ कॉफी पीते हैं।" बेशक, वह आपके साथ नहीं आएगा। फूल काहा है? समस्या को प्रतिबिंबित करने से पहले समाधान पर कूदने से हताशा होगी। आपको पहले लापता भाग को खोजना होगा।

जैसे तुम "मैं यह क्यों सीख रहा हूँ?" का उत्तर देख सकते हैं? यह भारी फॉर्मूले या सॉफ्ट गणित कौशल या दैनिक गणित गणना के बारे में नहीं है। क्योंकि आप पहले से ही सरल गणित की समस्याओं के साथ दिन की शुरुआत करते हैं, जबकि आप गणना कर रहे हैं कि आप कितने और मिनट सो सकते हैं, भले ही आपको एहसास न हो कि आप गणित कर रहे हैं। मेरी बात अधिक गहरा है और मैं तर्कसंगत होने और हमारी छोटी दुनिया को बचाने के बारे में बात कर रहा हूं। मैं इस बारे में बात कर रहा हूं कि आपको Google पर हर समय सही जानकारी कैसे मिलती है, आपको बिल्ली को क्यों अपनाना चाहिए, क्या आपको अपनी नौकरी छोड़ देनी चाहिए, क्या वह व्यक्ति वास्तव में आपका प्यार होगा जब तक आप मर नहीं जाते, आपका बिजली का बिल बहुत अधिक क्यों है?
अंत में, आप स्पर्शरेखा या व्युत्पन्न का उपयोग कब करेंगे? मैं वास्तव में नहीं जानता। और यह बात नहीं है। मुद्दा यह है कि आपको किसी समस्या से कैसे संपर्क करना चाहिए। वैसे, आप कॉलेज जाने के लिए गणित नहीं सीख रहे हैं।

Beginner’s Guide to Systems of Equations

Beginner’s Guide to Systems of Equations

1.समीकरणों के सिस्टम के लिए शुरुआती गाइड(Beginner’s Guide to Systems of Equations)-

ओह, बुनियादी बातों। वे दुर्घटना से उन्हें मौलिक नहीं कहते हैं। और सबसे मौलिक बीजगणित अवधारणाओं में से एक सिस्टम ऑफ़ इक्वेशन हैं। तो अगर उन सभी के एक्स और वाई आपकी आँखों को पार कर रहे हैं, तो डरें नहीं। यह त्वरित मार्गदर्शिका आपको कुछ ही समय में सीधा कर देगी।

Beginner’s Guide to Systems of Equations

समीकरणों की समझ प्रणाली(Understanding Systems of Equations)

इससे पहले कि आप उन अनजान लोगों के लिए सीखना सीखें, यह जानना महत्वपूर्ण है कि इन समाधानों का वास्तव में क्या मतलब है।

समीकरणों की एक प्रणाली क्या है?(What is a System of Equations?)-

समीकरणों की एक प्रणाली वास्तव में यह क्या कहती है। यह एक प्रणाली है, जिसका अर्थ है 2 या अधिक, समीकरण। जब आप पहली बार समीकरण समस्याओं का सामना करते हैं तो आप 2 रैखिक समीकरणों वाली समस्याओं को हल करेंगे। इसका मतलब है कि आपके समीकरणों में अधिकांश x- चर, y- चर और निरंतर मूल्य शामिल होंगे।

आखिरकार (शायद बीजगणित 2, पूर्वकाल या रैखिक बीजगणित में) आप और अधिक जटिल प्रणालियों का सामना करेंगे। इनमें उच्च-क्रम के कार्य शामिल हो सकते हैं, जैसे कि क्वाडराटिक्स, सिस्टम में दो से अधिक समीकरण, या x, y और z चर वाले समीकरण (ये समीकरण 3D अंतरिक्ष में विमानों का प्रतिनिधित्व करते हैं)।

लेकिन कोई फर्क नहीं पड़ता कि आपका सिस्टम कितना जटिल है, आपका समाधान हमेशा एक ही अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है: चौराहा। उदाहरण के लिए, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान, सबसे सामान्य प्रकार की प्रणाली, दो पंक्तियों के बीच का चौराहा बिंदु है।

संभावित समाधान(Potential Solutions)-

जैसा कि आप पहले से ही महसूस कर सकते हैं, सभी लाइनें बिल्कुल एक बिंदु में प्रतिच्छेद नहीं करेंगी। परिभाषा के अनुसार समानांतर रेखाएं कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करेंगी, इसलिए उनके पास कोई समाधान नहीं है। आप ऐसे समीकरणों का सामना भी कर सकते हैं जो अलग-अलग दिखते हैं, लेकिन जब कम हो जाते हैं तो समान समीकरण होते हैं। इस मामले में, आपके पास असीम रूप से कई समाधान होंगे।

2.रेखांकन विधि(The Graphing Method)-

एक सिस्टम के चौराहे को खोजने का सबसे आसान और सबसे दृश्य तरीका समान समन्वय वाले विमान पर समीकरणों को रेखांकन करके है।

रेखीय समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे रेखांकन के साथ-साथ "कोई समाधान नहीं" और "असीम रूप से कई समाधान" के उदाहरणों को देखने के लिए नीचे दिए गए मेरे  ट्यूटोरियल को देखें।

3.प्रतिस्थापन विधि(The Substitution Method)-

बेशक, समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए रेखांकन सबसे कुशल तरीका नहीं है। इसीलिए हमारे बीजगणित शस्त्रागार में कुछ और तरीके हैं।

पहला है प्रतिस्थापन विधि। इस विधि में, आप अपने एक समीकरण में एक चर को अलग करते हैं और उस रिश्ते को दूसरे समीकरण में प्लग करते हैं। यह आपको केवल एक चर के साथ एक समीकरण प्रदान करेगा, जिसका अर्थ है कि आप चर के लिए हल कर सकते हैं। एक बार जब आप एक चर का मूल्य जान लेते हैं, तो आप दूसरे चर का मूल्य आसानी से वापस हल करके पा सकते हैं।

The Substitution Method

सबस्टीट्यूशन मेथड का उपयोग करके सिस्टम को कैसे हल करें, इस बारे में अधिक जानकारी के लिए, ऊपर  ट्यूटोरियल को देखें।

3.उन्मूलन विधि(The Elimination Method)-

यदि प्रतिस्थापन विधि आपके कप चाय के साथ नहीं है, तो आपके पास अपने निपटान में एक अंतिम विधि है: उन्मूलन विधि।

The Elimination Method

इस विधि में, आप दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़कर एक चर को रणनीतिक रूप से समाप्त कर देंगे। ऐसा करने के लिए, किसी चर को समाप्त करने के लिए आपको अक्सर एक या दोनों समीकरणों को एक मूल्य से गुणा करना होगा। एक बार जब आप समीकरण जोड़ लेते हैं और एक चर को समाप्त कर देते हैं, तो आपको उस समीकरण के साथ छोड़ दिया जाएगा जिसमें केवल एक प्रकार का चर है। जो आसान है क्योंकि आप उस चर के लिए हल कर सकते हैं। एक बार जब आप एक चर के लिए हल करते हैं तो आप दूसरे चर के मूल्य को खोजने के लिए मूल समीकरणों में से एक में परिणाम कर सकते हैं।वास्तव में यह कैसे काम करता है, के माध्यम से टहलने के लिए, एक प्रणाली को हल करने के लिए उन्मूलन विधि का उपयोग करने पर मेरे ऊपर उदाहरण को  देखें।
और यह आपका समीकरणों के सिस्टम से परिचय है। समीकरणों के अधिक उन्नत सिस्टम को हल करने के तरीके के बारे में अधिक जानकारी के लिए, जिसमें बैक-सॉल्विंग और मैट्रिसेस का उपयोग करके तीन समीकरणों के सिस्टम को कैसे हल किया जाए.

Simplifying Factorials: The Easy Way

1.सरलीकृत तथ्य: आसान तरीका(Simplifying Factorials: The Easy Way)-

प्लस 0 का एक सरल विवरण क्यों! = 1
यदि आप उन्नत आँकड़ों या कॉम्बीनेटरिक्स का अध्ययन कर रहे हैं, तो आप निश्चित रूप से इन पर चलेंगे, मैं कहता हूँ, रोमांचक (!) Factorials (हाँ, मैं एक गणित नीरद हूँ, और मैं कोई भी मौका लेता हूँ, लेकिन मुझे एक सज़ा देने का मौका मिलेगा कमजोर 😜)।

Teaching to pupil Simplifying Factorials: The Easy Way

लेकिन गंभीरता से, यह गणितीय संकेतन शुरुआती लोगों के लिए भ्रामक हो सकता है, खासकर जब हम मानक संख्यात्मक समस्याओं से अधिक कठिन चर अभिव्यक्तियों की ओर बढ़ते हैं। हालांकि आपको चिंता नहीं है, यह त्वरित तथ्यात्मक ट्यूटोरियल (चीज़ी, मुझे पता है) आपको कुछ ही समय में मंडरा देगा।

2.क्या एक तथ्य है ?!(What is a Factorial?!)

एक तथ्य, जिसे विस्मयादिबोधक बिंदु (!) द्वारा दर्शाया गया है, एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक (iethe संख्या 0, 1, 2, 3, आदि) पर लागू एक ऑपरेशन है जो सभी सकारात्मक पूर्णांकों के उत्पाद को कम करके निष्पादित किया जाता है। 1 पर रुकने वाली संख्या के बराबर या उससे अधिक।

उदाहरण के लिए, अगर मैं जानना चाहता हूं कि 4 क्या है! बराबर है, मैं बस सभी सकारात्मक पूर्णांकों को एक साथ गुणा करता हूं जो 4 से कम या उसके बराबर हैं, जैसे:
4! = 24

Simplifying Factorials: The Easy Way

आपको हर जगह दहनशास्र में फैक्टिरियल मिलते हैं क्योंकि उनकी उत्पत्ति वहीं हुई है। फैक्टोरियल को एक आइटम के समूह की संख्या को व्यक्त करने के तरीके के रूप में बनाया गया था, जो निश्चित रूप से हम इसका उपयोग करते हैं, इसके सबसे बुनियादी रूप में, गिनती के गुणा नियम।

गुटबाजी गिनती के गुणन नियम के अनौपचारिक संचालन की तरह है।

3.क्यों शून्य फैक्टरल बराबर 1(Why Zero Factorial Equals 1)-

यह वह जगह है जहाँ यह मुश्किल हो जाता है क्योंकि अगर हम केवल उन तथ्यों के बारे में सोचते हैं जिनके संदर्भ में वे आमतौर पर परिभाषित करते हैं, अर्थात् "संख्या से कम या बराबर सभी सकारात्मक पूर्णांक का उत्पाद" तो 0 का पता लगाना! ईंट की दीवार से टकराने जैसा है।

ज्यादातर लोग आपको बताएंगे कि 0! 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, और यदि आप पूछते हैं कि वे सिर्फ इसलिए कहते हैं "क्योंकि यह एक के रूप में परिभाषित है"।

हाँ, यह बहुत निराशाजनक है। यह आपके माता-पिता से पूछने के बराबर गणितीय है कि आपको उनके द्वारा बनाए गए कुछ नियम का पालन क्यों करना पड़ता है और कहा जा रहा है, "क्योंकि मैंने ऐसा कहा था।"
हालाँकि यह एक स्वीकृत पेरेंटिंग तकनीक हो सकती है, यह गणित सीखने का एक घटिया तरीका है। तो सौदा क्या है? हमने कैसे तय किया कि शून्य फैक्टरियल एक के बराबर है?

शून्य तथ्यात्मक परिभाषित
एक सहज समझ
याद रखें कि कैसे हमने कहा कि सेट के क्रमपरिवर्तन या व्यवस्था की संख्या को खोजने के गणितीय संचालन से फैक्टरियल की उत्पत्ति हुई? (नोट: बड़े सेट से छोटे सेट की क्रमपरिवर्तन नहीं, बल्कि किसी दिए गए सेट की व्यवस्था।)

शून्य फैक्टरियल को एक सेट में शून्य अवयवों की व्यवस्था की संख्या के रूप में माना जा सकता है, खाली सेट {}। (यदि आपने कभी अध्ययन किया है, तो शायद मूलभूत आंकड़ों या असतत गणित में, आप संभवतः खाली सेट की अवधारणा से परिचित हैं। यह शाब्दिक रूप से कुछ भी नहीं है।)

अब अगर मैंने आपसे पूछा कि एक चीज़ के कितने इंतज़ाम हैं, तो आप 1 का जवाब दें क्योंकि एक चीज़ की व्यवस्था करने का एक ही तरीका है। यही विचार यहाँ अनुसरण करता है। हमारा "एक चीज़" खाली सेट है, और खाली सेट की व्यवस्था की संख्या एक है। बस। यही कारण है कि 0! बराबर 1।

4.फैक्टरियल एक्सप्रेशंस को सरल कैसे करें(How to Simplify Factorial Expressions)-

अब हमारे मूल तथ्य के पीछे हमारे मूलभूत तथ्य के आधार के लिए समय है: सरलीकरण।

गणित को देखने का सबसे अच्छा तरीका एक्शन है। तो यहाँ मैं आपको इस पोस्ट के शीर्ष पर छवि में दिखाई गई छह समस्याओं के माध्यम से चलना चाहता हूँ! हम अच्छी और आसान शुरुआत करेंगे, फिर संख्याओं, चर के साथ संयोजन सूत्र में आगे बढ़ेंगे और कुछ पेचीदा फैक्टरियल भावों के साथ समाप्त होंगे।

Mathematics makes you moral

1.क्या गणित आपको नैतिक बनाता है?(Does maths make you moral?)-

गणित और नैतिक एजेंसी
मैं आमतौर पर नैतिकता के साथ गणित का मिश्रण नहीं करता, लेकिन इस मुद्दे को बल देने के लिए पिछले सप्ताह दो घटनाएं टकराईं। मंगलवार को, मैं मैनचेस्टर में घटनाओं की भयानक खबर के लिए जाग गया। शुरुआती संकेत एक आतंकी हमला था; 22 मरे, स्कोर घायल, सभी निर्दोष कार्यालय में ट्रेन की सवारी पर, मैंने अपने काम के लिए गहरे अर्थ की जांच की। मैं एक ऐसी कंपनी का प्रतिनिधित्व करता हूं, जिसका मुख्य मिशन 'गणित में मानकों को बढ़ाना' है। जैसा कि होता है, मैं एक बैठक की अध्यक्षता कर रहा था जो हमारे मिशन के पीछे अर्थ पर बहुत दिन थी।

Mathematics makes you moral

जैसा कि मैंने बैठक के लिए तैयार किया, मेरे दिमाग में अभी भी ताजा खबर है, मैंने सख्त तरीके से डॉट्स में शामिल होने की मांग की - क्या गणित में मानकों को बढ़ाने से दुनिया को एक सुरक्षित जगह मिलती है? क्या एक मजबूत गणित शिक्षा, इस तरह की गतिविधियों को रोकने में मदद करेगी? क्या गणित का गहरा उद्देश्य यह है कि यह हमारी नैतिकता को आकार देता है?

मेरे पास जवाबों से ज्यादा सवाल थे।

कहीं, टेड कक्ज़िनस्की दूर से चकरा रहा था। गणितज्ञ बने Unabomber इस बात का पर्याप्त प्रमाण है कि गणित में एक ठोस आधार नैतिकता का कोई पूर्ण मार्ग नहीं है (अधिक उदाहरणों के लिए सिर्फ just दुष्ट गणितज्ञों की खोज करें)। गणित नैतिकता का अर्थ नहीं है। तो गणित के शिक्षकों के लिए क्या बचा है? शायद यह सुनिश्चित करना है कि छात्र अपनी पसंद के नैतिक निहितार्थ को समझने के लिए पूरी तरह से सुसज्जित हैं, भले ही हम गारंटी नहीं दे सकते कि वे सही हैं।
ब्लैकवेल ने नैतिक एजेंट के रूप में परिभाषित किया है:

कोई भी व्यक्ति जो सामान्य नैतिक सिद्धांतों और नियमों को बनाने या उनका पालन करने में सक्षम है, और जिसके पास एक स्वायत्तता है, ताकि वह अंततः यह तय कर सके कि उसे क्या कार्य करना चाहिए और प्रदर्शन नहीं करना चाहिए ... तदनुसार वे अपने कृत्यों के लिए जिम्मेदार हैं और दोष का विषय हैं या प्रशंसा।

इस परिभाषा के अनुसार, नैतिक एजेंसी खुद के लिए सोचने की क्षमता पर निर्भर करती है। यह समझा सकता है कि गणित ने नैतिकता के मुद्दों के साथ एक लंबे समय तक जुड़ाव का आनंद क्यों लिया है। आइए सुकरात के साथ शुरुआत करें, जिनके लिए ined अपरिचित जीवन जीने लायक नहीं है ’। हमारे बीच उन लोगों के लिए शब्दों को कम करना जो गंभीर रूप से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं। सोक्रेटिक पद्धति हमें कुछ भी नहीं मानने के लिए प्रेरित करती है और अथक पूछताछ के माध्यम से सत्य तक पहुंचती है। गणितज्ञों के लिए यह एक अच्छी खबर है, जो अपने शिल्प को उसी तरह सीखते हैं। प्लेटो ने गणित को और भी ऊंचे स्थान पर रखा, अंकगणित और ज्यामिति को एकल करते हुए दो विषयों को अच्छाई का ज्ञान विकसित करने के लिए आवश्यक बताया।

तर्क आज भी जारी हैं। रॉबर्ट हेसलेप उन तरीकों के बारे में बताते हैं, जिनमें गणित नैतिक विकास का समर्थन करता है। गणित हमें तर्कसंगत सोच के मूल तत्वों के साथ संपन्न करता है, जैसे कि अनिच्छुक सोच, जिस पर सभी नैतिक निर्णय बाकी हैं। यह हमें सार बनाने के लिए सिखाता है, जिससे हम उनके तत्काल संदर्भ के बाहर नैतिक समस्याओं पर विचार कर सकते हैं। गणित के मात्रात्मक कौशल हमें यह समझने में मदद करते हैं कि सामाजिक और आर्थिक संदर्भों में नैतिक निर्णय कैसे लागू होते हैं।

2.हमारे लोकतंत्र के सूत्रधार के रूप में गणित कैसे?

हमारे लोकतंत्र के सूत्रधार के रूप में गणित कैसे? थॉमस फल्केनबर्ग का तर्क है कि क्योंकि गणित केवल परम सत्य से विवश है, यह सीखने के लिए एक लोकतांत्रिक दृष्टिकोण को बढ़ावा देता है जो समस्या हल करने वालों के बीच समानता पैदा करता है। फल्केनबर्ग के लिए, गणित एक 'नैतिक साहसिक' से कम नहीं है।
तर्क अपील कर रहा है - गणित हमारी सोच कौशल को तेज करता है, जो बदले में, हमें नैतिक अवधारणाओं को संलग्न करने की अनुमति देता है। यह स्कूल मैथ्स के हृदयहीन, अमानवीय, विघटित रूप से बहुत दूर है। छात्रों को ज्ञान संचरण के विशिष्ट अलोकतांत्रिक शिक्षाशास्त्र के माध्यम से ज्ञान प्राप्त होता है। वे एक स्पष्ट सही / गलत उत्तर के साथ बंद समस्याओं से निपटते हैं, दुनिया के एक द्विआधारी दृश्य को संलग्न करते हैं। उन्हें अपने रोजगार की संभावनाओं को बढ़ाने के लिए गणित का अध्ययन करने का निर्देश दिया जाता है; एक ऐसा आर्थिक दृष्टिकोण जो नैतिक नैतिकता के विषय को छीन लेता है।

Mathematics makes you moral

स्कूल के गणित में नैतिक विकल्प हैं; शायद गणित के शिक्षकों के लिए उच्चतम शुल्क यह सुनिश्चित करना है कि वे सही हैं।

ऐसे सुझाव पर जी एच हार्डी पुनर्विचार करेंगे। वह गणितज्ञों के सबसे अप्राप्य थे, उन्होंने अपने विषय को एक वास्तविक विज्ञान के रूप में वर्णित किया जो वास्तविक दुनिया के ड्राइवरों से हटा दिया गया। हार्डी के अनुसार, गणितज्ञ अपने विषय का अध्ययन इसके लिए करते हैं, न कि इसकी उपयोगिता या नैतिकता के लिए। शायद गणित के शिक्षकों को नैतिक एजेंसी के सवालों को अलग रखना चाहिए।

मैं सबसे अधिक समय तक हार्डी के साथ खड़ा रहा। गणित की सामग्री और रूप को हमारी नैतिक एजेंसी के साथ इतनी निकटता से बांधना दूर की कौड़ी लगता है। ऐसे कई कारक हैं जो हमारे नैतिक विकल्पों को आकार देते हैं। तंत्रिका हेरफेर के लिए प्रोपेगैंडा सबसे शक्तिशाली हथियार बना हुआ है। यह प्रभावी है क्योंकि यह हमारे बौद्धिक और भावनात्मक खुद के बीच एक अंतर बनाता है। यह स्मार्ट, तर्कसंगत लोगों को सबसे भयावह काम करता है। गणित के पाठ्यक्रम को बदलने से हमारे मस्तिष्क की संज्ञानात्मक तारों को मजबूत किया जा सकता है, जिससे हमें अपने लिए सोचने की गहरी सुविधा मिल सके। लेकिन जिस सहजता से हमारी बुद्धि और भावना का ह्रास होता है, वह बताता है कि गणित के शिक्षक कुछ हद तक अपने नैतिक उद्देश्यों में असहाय हैं।
अगर नैतिक एजेंसी सही मायने में मैथ्स टीचर्स का एक लक्ष्य है, तो एक निरस्त पाठ्यक्रम से कम कुछ नहीं होगा। यह छात्रों के सामाजिक और भावनात्मक विकास के साथ गणित के संज्ञानात्मक पहलुओं से शादी करना होगा। गणित की सामग्री और रूप को वास्तविक दुनिया की नैतिकता के चारों ओर आकार देना होगा और समस्याओं को हमारे नैतिक विकल्पों के संदर्भ में हल किया जाएगा। यह हमें यह सवाल करने के लिए छोड़ सकता है कि क्या यह गणित है।

निष्कर्ष साहसी है, लेकिन यह शिक्षक को कुछ स्पष्टता देता है। नैतिक समस्याओं का गणित में मानकों को बढ़ाने के लक्ष्य से काफी अलग समाधान है। मैथ्स एजुकेशन के सभी उत्तर देने में शालीनता की तुलना में उस सीमा से अवगत होना बेहतर है। कभी-कभी, इसमें सही समस्याएं भी नहीं होती हैं।

What is Dharma in hindi | what is meaning of Dharma in hindi

What is Dharma in hindi | what is meaning of Dharma in hindi

via https://youtu.be/5A3pBnMPyYQ

The Odds of Innocence

1,मासूमियत का खतरा(The Odds of Innocence)-

न्याय के तराजू को कैसे अंक दे सकते हैं

The Odds of Innocence

आनुवंशिक सामग्री आधुनिक अपराध जगत की धूम्रपान बंदूक है। आपराधिक परीक्षणों में होने वाली चोटों को अक्सर डीएनए प्रोफाइलिंग को एक सटीक विज्ञान के रूप में सोचने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है, जिसमें त्वचा, बाल, और रक्त के गप्पी के निशान अपराधियों को पिनपॉइंट सटीकता के साथ पहचानते हैं और गलत पहचान के किसी भी संभावना को खारिज करते हैं। हालांकि, आंकड़े एक अलग कहानी बताते हैं।

मानव जीनोम का निर्माण करने वाले हजारों जीनों में से, वैज्ञानिकों ने सूची को लगभग 13 जोड़े को अलग कर दिया है जो अलग-अलग लोगों में सबसे व्यापक रूप से भिन्न हैं। वे इन युग्मों का उपयोग ग्राफ बनाने के लिए करते हैं जिन्हें "वैद्युतकणसंचलन" कहा जाता है, जिसमें जीन का प्रत्येक सेट एक निश्चित ऊँचाई का शिखर बनाता है। मौका है कि दो व्यक्तियों के सभी 13 चोटी जोड़े हो सकते हैं अनुमान लगाया गया है कि 400 ट्रिलियन में लगभग 1, पृथ्वी पर कई लोगों की संख्या है। इसलिए अगर दो प्रोफाइल हर शिखर पर पूरी तरह से मेल खाते पाए जाते हैं, तो यह बहुत कम संभावना है कि वे एक ही व्यक्ति से, या एक समान जुड़वां से नहीं आते हैं।

हालांकि, यह हो सकता है कि प्रोफ़ाइल पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है - उदाहरण के लिए, नमूने में कई लोगों के डीएनए का मिश्रण हो सकता है, इसे नीचा दिखाया जा सकता है, या यह बहुत छोटा हो सकता है। इस कारण से, एक डीएनए मैच हमेशा "यादृच्छिक मैच की संभावना" (आरएमपी) नामक संभावना वाले आंकड़े के साथ अदालत में प्रस्तुत किया जाता है। यह उस मौके का प्रतिनिधित्व करता है, जो किसी व्यक्ति ने यादृच्छिक रूप से सड़क पर उठाया था, यह प्रश्न में डीएनए नमूने से मेल खाएगा। कम स्पष्ट नमूना, उच्च RMP।
न्यायालय में संभावना लाना अपराध की स्पष्टता को निर्दोषता की संभावना में बदल सकता है। गणित एक घटना के बीच संतुलन को स्थानांतरित कर सकता है जो लगभग असंभव लगता है और एक जो केवल असंभव है, अनिश्चितता के एक तत्व का परिचय देता है जो अपराधी के मानक मांगों के रूप में "एक उचित संदेह से परे" सजा से बच सकता है। यह सामान्य ज्ञान के झूठे दोस्त को भी सही कर सकता है। अमांडा नॉक्स मामले में, जिसमें एक युवा सिएटल महिला ने 2007 में इटालियन शहर पेरुगिया में अपने ब्रिटिश गृहिणी की मौत से संबंधित हत्या के आरोपों के खिलाफ खुद का बचाव किया, एक अपील न्यायाधीश ने पीड़ित के कुछ विवादित डीएनए को फिर से प्राप्त करने से इनकार कर दिया जो उस पर पाया गया था। रसोई के चाकू ने यकीनन इस तथ्य को काबू करने में विफलता पर आराम दिया कि कई अनिश्चित परीक्षण एक अधिक निश्चित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं।

इस तरह की गलतियाँ बहुत आम हैं, इस तथ्य से भी बदतर बना दिया गया है कि आंकड़ों की भाषा हर जगह है, लोगों को यह सोचने के लिए प्रोत्साहित करती है कि वे इसे अच्छी तरह से समझते हैं - वे जानते हैं कि प्रतिशत का क्या मतलब है, वे समझते हैं कि संभाव्यता कैसे काम करती है। लेकिन अनुचितता का प्रबंधन करना, वास्तव में, अविश्वसनीय रूप से मुश्किल है, और कई सामान्य और व्यापक गलतफहमियां हैं जिन्हें आसानी से थोड़ा गणितीय ज्ञान के साथ ठीक किया जा सकता है।
आंकड़ों की भाषा हर जगह है, लोगों को यह सोचने के लिए प्रोत्साहित करती है कि वे इसे अच्छी तरह से समझते हैं।

2.बेयस प्रमेय(Bayes’ theorem)-

डीएनए प्रोफाइल की व्याख्या के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण बेयस प्रमेय के रूप में जाना जाता है। यह एक समीकरण है जो सशर्त संभाव्य तर्क को अनुमति देता है, एक परिणाम की संभावना को देखते हुए मामलों की स्थिति, बनाम मामलों की स्थिति की अनुपस्थिति में एक परिणाम की संभावना को देखते हुए। बेयर्स जुआरियों को यह आकलन करने में मदद कर सकते हैं कि नए साक्ष्य को संलग्न करने के लिए कितना वजन है, इसकी उपस्थिति की संभावना को मापता है यदि प्रतिवादी अपनी उपस्थिति के अवसर के खिलाफ निर्दोष है यदि प्रतिवादी दोषी है।
महत्वपूर्ण रूप से, बायेसियन सिद्धांत से पता चलता है कि डीएनए परीक्षण का आरएमपी इस संभावना के समान नहीं है कि एक व्यक्ति जिसे एक मैच मिलता है, वास्तव में, डीएनए का स्रोत है। इन दो परिदृश्यों को जोड़ना एक उदाहरण है जिसे "अभियोजक की दोषपूर्णता" कहा गया है: इस संभावना के बीच अंतर की सराहना करने में असफल होना कि कोई व्यक्ति जो वास्तव में सबूत फिट करता है (ए) निर्दोष (बी) है, बनाम संभावना है कि एक निर्दोष व्यक्ति ने उठाया सड़क से दूर सबूत फिट होगा। गणितीय संकेतन में, यह P (B | A) A P (A | B) द्वारा दर्शाया गया है।

The Odds of Innocence

इस भेद ने 1990 के दशक में एक उल्लेखनीय ब्रिटिश मामले में खुद को प्रस्तुत किया। 6 अप्रैल 1991 की सुबह, मिस एम (जैसा कि उन्हें बाद में अदालत के दस्तावेजों में पहचाना गया था) लंदन में दोस्तों के साथ एक रात घर से लौट रही थी। एक आदमी समय मांगने के लिए उसके पास पहुंचा। जैसे ही उसने अपनी घड़ी को देखा, उसने उसे पीछे से अचानक पकड़ लिया, उसे जमीन पर फेंक दिया, और भागने से पहले उसके साथ बलात्कार किया।
जब मिस एम ने पुलिस को बलात्कार की सूचना दी, तो वह उन्हें अपने हमलावर का एक मोटा विवरण देने में सक्षम थी। उसने कहा कि वह अपने शुरुआती 20 के दशक में, कोकेशियान और साफ-मुंडा था, एक स्थानीय उच्चारण के साथ। इसके अलावा, फोरेंसिक वैज्ञानिकों ने मिस एम के शरीर से हमलावर का वीर्य नमूना एकत्र किया। इसने एक डीएनए प्रोफ़ाइल का निर्माण किया जो अंततः एक स्थानीय व्यक्ति, एंड्रयू डीन (उसका असली नाम नहीं) से मिला, जिसका प्रोफ़ाइल एक असंबंधित यौन अपराध के लिए अपराध के बाद डीएनए डेटाबेस में जोड़ा गया था।

डीन मामले में दिए गए आरएमपी 200 मिलियन में 1 था, जो बहुत अच्छे मैच का संकेत देता है। यूनाइटेड किंगडम में, 60 मिलियन की आबादी के साथ, यह कल्पनीय होगा लेकिन समान डीएनए प्रोफ़ाइल वाले किसी अन्य व्यक्ति को खोजने की संभावना नहीं है। लेकिन डीन की पहचान के साथ कुछ समस्याएं थीं। मिस एम उसे पुलिस लाइनअप में लेने में असमर्थ थी। जब डीन की ओर इशारा किया गया, तो उसने कहा कि वह उसका हमलावर नहीं हो सकता, जो "बहुत बड़ा था।" डीन अपने 20 के दशक में नहीं था, लेकिन वास्तव में, 37 साल का था। इसके अलावा, उसकी एक बीबी थी, एक प्रेमिका जिसने कहा कि उसने उस रात को उसके साथ बिताया था।
डीन के परीक्षण में, जूरी को प्रभावी रूप से एक दूसरे के खिलाफ दो अलग-अलग प्रकार के सबूतों का वजन करना पड़ा: डीएनए मैच, जो अपराध की ओर इशारा करता है, और गैर-वैज्ञानिक सबूत, जो निर्दोषता की ओर इशारा करता है - एलबी, और यह तथ्य कि मिस एम था डीन को पहचानने में असमर्थ।

रक्षा ने बायेसियन तर्क का उपयोग करते हुए इस सबूत को संतुलित करने का प्रस्ताव दिया। इसने एक विशेषज्ञ गवाह के रूप में ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में सांख्यिकी के प्रोफेसर पीटर डोनली को बुलाया। बेयस का उपयोग करते हुए, उन्होंने कहा, कोई यह आकलन कर सकता है कि नई सामग्री के लिए "संभावना अनुपात" द्वारा अपराध की पूर्व बाधाओं को गुणा करके अपराध की संभावना को प्रभावित करने के लिए सबूत का एक नया टुकड़ा कैसे प्राप्त करना चाहिए। संभावना अनुपात, साक्ष्य के एक टुकड़े को देखने के सापेक्ष अवसर को मापता है यदि प्रतिवादी दोषी है, तो यह देखने की संभावना की तुलना में कि क्या वह निर्दोष है। इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:

(उस सबूत को देखने की संभावना यदि प्रतिवादी दोषी है)
÷
(उस सबूत को देखने की संभावना यदि प्रतिवादी निर्दोष है)
तब डोनेली ने एक प्रश्नावली वितरित की जिसमें जुआरियों को साक्ष्य के टुकड़ों के संबंध में उपरोक्त गणना का उपयोग करने के लिए आमंत्रित किया गया था। उन्होंने जूरी के सदस्यों और न्यायाधीशों में से प्रत्येक के लिए कैलकुलेटर लाए, और उन्हें एक उदाहरण के माध्यम से चलाया, हालांकि उन्होंने जुआरियों को शामिल संभावनाओं के लिए अपने स्वयं के व्यक्तिगत अनुमान लगाने के लिए प्रोत्साहित किया। (जब वह एक ऐसे बिंदु पर पहुंच गया, जहां परिकलकों को "अब 31.6 का मूल्य दिखाना चाहिए," न्यायाधीश ने पुकार लगाई, "लेकिन मेरा सिर्फ शून्य दिखाता है!")

डीन के परीक्षण में, जूरी को प्रभावी रूप से एक दूसरे के खिलाफ दो अलग-अलग प्रकार के सबूतों का वजन करना पड़ा: डीएनए मैच, जो अपराध की ओर इशारा करता था, और गैर-वैज्ञानिक सबूत, जिसने निर्दोषता की ओर इशारा किया था।

परीक्षण की शुरुआत में, डोनेली ने सुझाव दिया, निर्दोषता का अनुमान लगाने का मतलब है कि वे मान सकते हैं कि प्रतिवादी इस क्षेत्र में किसी भी अन्य पुरुष की तुलना में दोषी होने की अधिक संभावना नहीं थी। क्षेत्र में स्थानीय पुरुषों की संख्या (लगभग 150,000) और संभावना है कि डीन एक स्थानीय व्यक्ति था (डोनली ने इसे लगभग 75 प्रतिशत पर रखा था), डोनली ने सुझाव दिया कि डीन के अपराध की संभावना 200,000 में लगभग 1 थी - या, 1 men (150,000 ÷ 0.75)।
इसके बाद, अदालत में पेश किए गए सबूतों में से प्रत्येक ने एक संभावना अनुपात उत्पन्न किया, जो अपराध के मूल्यांकन को "अपडेट" करने के लिए क्रमिक रूप से गुणा किया जा सकता है। डीन की पहचान करने में मिस एम की विफलता के प्रभाव के बारे में, डोननली ने डीन के अपराध के मामले में, 10 प्रतिशत (अंश के शीर्ष पर) के मामले में और इस तरह की विफलता की संभावना को एक असफलता की संभावना दी। डीन की मासूमियत 90 प्रतिशत (अंश के तल पर) के रूप में। इससे डीन के 9 में 1 के अपराध की संभावना अनुपात का उत्पादन हुआ।

फिर, डीन की प्रेमिका के दावे के लिए एक ही गणना करते हुए कि उन्होंने एक साथ रात बिताई, डोनेलली ने अनुमान लगाया कि दोषी प्रतिवादी के पास इस साक्ष्य को जोड़ने का 25 प्रतिशत मौका होगा, जबकि एक निर्दोष प्रतिवादी के पास 50 प्रतिशत मौका होगा। इसने डीन की एल्बी के लिए संभावना अनुपात को 50 में 25, या 2 में 1 रखा।

इस प्रकार, डीएनए सबूत की शुरुआत से पहले, एक जूरर ने डीन के अपराध की संभावना का अनुमान लगाया हो सकता है:

(1 / 200,000) x (1/9) x (1/2) = 1 / 3,600,000, या 3.6 मिलियन में एक।
अब, उस वजन की गणना करना जो जूरी को डीएनए मैच से जोड़ना चाहिए उसी तरह से किया जा सकता है। अंश के शीर्ष पर संभावना है कि डीएनए नमूना डीन के अनुरूप होगा यदि वह दोषी था, जो 100 प्रतिशत के बराबर है। यदि डीन निर्दोष था, तो अंश के नीचे एक मैच की संभावना है। यह RMP द्वारा मापा गया नंबर है, जिसका नाम 0.0000005 प्रतिशत (या 200 मिलियन में 1) है। इस गणना से 200 मिलियन से 1 (या डीन की निर्दोषता के लिए 200 मिलियन में 1) के बराबर डीएनए सबूत के साथ जुड़े अपराध के लिए संभावना अनुपात का उत्पादन हुआ।

इसलिए, मौका है कि डीन दोषी है, इन साक्ष्य के इन टुकड़ों के लिए संभावना अनुपात को एक साथ गुणा करके गणना की जा सकती है:

(1 / 3,600,000) x (200,000,000 / 1)
= 200 ÷ 3.6
= 55.55, या अपराध के पक्ष में लगभग 55 से 1।
दूसरे शब्दों में, डोनली के आंकड़ों और उनके बायेसियन विश्लेषण का उपयोग करते हुए, 55 में से 1 मौका होगा कि डीन निर्दोष था, अपने डीएनए नमूने के लिए अच्छे मैच के बावजूद। इससे यह काफी हद तक संभव हो जाता है कि वह निर्दोष था यदि जूरी ने केवल 200 मिलियन में 1 के आरएमपी पर विचार किया था।
दूसरे शब्दों में, डोनली के आंकड़ों और उनके बायेसियन विश्लेषण का उपयोग करते हुए, 55 में से 1 मौका होगा कि डीन निर्दोष था, अपने डीएनए नमूने के लिए अच्छे मैच के बावजूद। इससे यह काफी हद तक संभव हो जाता है कि वह निर्दोष था यदि जूरी ने केवल 200 मिलियन में 1 के आरएमपी पर विचार किया था।

डोनली की गवाही के बावजूद, डीन मामले में जूरी ने दोषी करार दिया। हालांकि, उनकी सजा को अपील पर खारिज कर दिया गया था, और उन्हें पुनर्विचार के लिए वापस भेज दिया गया था - जहां उन्हें दूसरी बार दोषी ठहराया गया था, और उनकी अपील खारिज कर दी गई थी। प्रत्येक मामले में, अपील के न्यायाधीशों ने बायेसियन पद्धति के प्रति अरुचि व्यक्त की, यह तर्क देते हुए कि "जुरा सबूत का मूल्यांकन करते हैं और न केवल एक सूत्र, गणितीय या अन्यथा के माध्यम से किसी निष्कर्ष पर पहुंचते हैं, बल्कि उनके व्यक्तिगत सामान्य ज्ञान और ज्ञान के संयुक्त आवेदन द्वारा। उनके सामने सबूत के लिए दुनिया। ”

संयुक्त राज्य अमेरिका और ब्रिटेन दोनों में न्यायालयों की अनुमति के आधार पर जिरिस को बहुत अधिक संभावनावादी विशेषज्ञ साक्ष्य पर भरोसा करते हैं। उन्हें डर लगता है कि गणित विशेषज्ञों के हाथों में बहुत अधिक शक्ति डाल सकता है, और जुआरियों को महसूस, तर्कपूर्ण, संवेदनशील और समझदार सहायक के बजाय यांत्रिक संख्या-क्रंचर्स में बदल सकता है। इस संशयवाद की एक लंबी परंपरा है जो कम से कम न्यायविद लारेंस ट्राइब के साथ डेटिंग करती है, जिनके 1971 के हार्वर्ड लॉ रिव्यू लेख, "ट्रायल बाय मैथमेटिक्स: प्रिसिजन एंड रिचुअल इन द लीगल प्रोसेस" ने तर्क दिया कि संख्याओं की "अक्षमता" प्रतीत हो सकती है "डराना" और "सामुदायिक मूल्यों की भावना" को मिटा दें जो कि उनके निर्णय लेने के लिए हैं।

गणितीय तर्क के लिए न्यायाधीशों का अविश्वास अदालत में इसके उपयोग के लिए एकमात्र बाधा नहीं है। गणितज्ञों ने स्वयं का उपयोग करने के लिए बेयस प्रमेय के उपयुक्त रूप या किसी भी तरह से अपनी गणना को चोटियों पर समझाने के लिए एक समझौते पर पहुंचने में कामयाब नहीं हुए। फिर भी, संभाव्यता युक्त तर्क अनुचितता के बारे में मानव अंतर्ज्ञान की कमियों का मुकाबला करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बना हुआ है, और इसके लिए सही भूमिका का पता लगाना एक तत्काल समस्या है - विशेष रूप से एक जलवायु में जहां डीएनए-मैच सबूत को इतना नुकसान के रूप में देखा जाता है कि यह अक्सर सब कुछ ग्रहण करता है।

लीला श्नैप्स पेरिस में इंस्टीट्यूट डी मैथेमेटिक्स डी ज्यूसीओ में एक रहस्य लेखक और गणितज्ञ हैं। Coralie Colmez लंदन में एक गणित ट्यूटर है। Colmez Schneps की बेटी है, और दोनों Bayes और लॉ रिसर्च कंसोर्टियम के सदस्य हैं। वे मैथ ऑन ट्रायल: हाउ नंबर्स गेट यूज्ड एंड एब्यूज्ड इन द कोर्टरूम, 2013 में प्रकाशित हुए

The Man Who Invented Modern Probability

1.व्यक्ति जिसने आधुनिक प्रायिकता का आविष्कार किया (The Man Who Invented Modern Probability)-आंद्रेई कोलमोगोरोव के जीवन में संभावना का सामना

यदि दो सांख्यिकीविदों को एक अनंत जंगल में एक दूसरे को खोना था, पहली चीज जो वे करते हैं वह नशे में हो जाएगी। इस तरह, वे अधिक या कम बेतरतीब ढंग से चलते हैं, जो उन्हें एक दूसरे को खोजने का सबसे अच्छा मौका देगा। हालांकि, सांख्यिकीविदों को शांत रहना चाहिए अगर वे मशरूम चुनना चाहते हैं। नशे के बिना और उद्देश्य के बिना ठोकर खाने से अन्वेषण का क्षेत्र कम हो जाएगा, और यह अधिक संभावना है कि साधक उसी स्थान पर वापस आ जाएंगे, जहां मशरूम पहले से ही चले गए हैं।

The Man Who Invented Modern Probability

इस तरह के विचार "यादृच्छिक चलना" या "शराबी की सैर" के सांख्यिकीय सिद्धांत से संबंधित हैं, जिसमें भविष्य केवल वर्तमान पर निर्भर करता है और अतीत नहीं। आज, यादृच्छिक वॉक का उपयोग अन्य प्रक्रियाओं के साथ शेयर की कीमतों, आणविक प्रसार, तंत्रिका गतिविधि और जनसंख्या की गतिशीलता को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह भी वर्णन करने के लिए सोचा जाता है कि "आनुवंशिक बहाव" का परिणाम एक विशेष जीन में कैसे हो सकता है - कहते हैं, नीली आंखों के रंग के लिए - एक आबादी में प्रचलित हो रहा है। विडंबना यह है कि यह सिद्धांत, जो अतीत की उपेक्षा करता है, का अपना समृद्ध इतिहास है। यह आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा देखे गए कई बौद्धिक नवाचारों में से एक है, जो चौंका देने वाली चौड़ाई और क्षमता के गणितज्ञ हैं, जिन्होंने सोवियत रूस में राजनीतिक और शैक्षणिक जीवन की शिफ्टिंग संभावनाओं की सावधानीपूर्वक बातचीत करते हुए गणित में असम्भव की भूमिका में क्रांति ला दी।

एक युवा व्यक्ति के रूप में, कोलमोगोरोव को क्रांतिकारी मास्को के बौद्धिक किण्वन द्वारा पोषण किया गया था, जहां साहित्यिक प्रयोग, कलात्मक अवांट-गार्डे, और कट्टरपंथी नए वैज्ञानिक विचार हवा में थे। 1920 के दशक की शुरुआत में, एक 17 वर्षीय इतिहास के छात्र के रूप में, उन्होंने मास्को विश्वविद्यालय में अपने साथियों के एक समूह को एक पत्र प्रस्तुत किया, जो मध्यकालीन रूसियों के जीवन का एक अपरंपरागत सांख्यिकीय विश्लेषण प्रस्तुत करता है। उदाहरण के लिए, यह पाया गया कि गांवों पर लगाया जाने वाला कर आमतौर पर एक पूरी संख्या थी, जबकि व्यक्तिगत घरों पर करों को अक्सर अंश के रूप में व्यक्त किया जाता था। समय के लिए विवादास्पद रूप से यह निष्कर्ष निकाला गया कि पूरे गाँवों पर करों को लागू किया गया था और फिर परिवारों के बीच विभाजित किया गया था, न कि घरों पर लगाया गया था और गाँव द्वारा संचित किया गया था। "आपको केवल एक प्रमाण मिला है," उनके प्रोफेसर का एसिड अवलोकन था। एक इतिहासकार के लिए यह पर्याप्त नहीं है। आपको कम से कम पांच सबूतों की आवश्यकता है। ”उस समय, कोलमोगोरोव ने अपनी एकाग्रता को गणित में बदलने का फैसला किया, जहां एक प्रमाण पर्याप्त होगा।
यह अजीब रूप से उचित है कि एक मौका घटना ने कोलमोगोरोव को संभाव्यता सिद्धांत की बाहों में खींच लिया, जो उस समय गणित का एक दुर्भावनापूर्ण उप-अनुशासन था। पूर्व-आधुनिक समाजों को अक्सर देवताओं की इच्छा की अभिव्यक्ति के रूप में देखा जाता है; प्राचीन मिस्र और शास्त्रीय ग्रीस में, पासा फेंकने को एक विश्वसनीय पद्धति के रूप में देखा गया था जो कि अटकल और भाग्य को बता रहा था। 19 वीं शताब्दी की शुरुआत तक, यूरोपीय गणितज्ञों ने बाधाओं की गणना के लिए तकनीकों का विकास किया था, और सभी समान रूप से संभावित मामलों की संख्या के अनुकूल मामलों की संख्या के अनुपात में आसुत संभाव्यता। लेकिन यह दृष्टिकोण परिपत्रता से पीड़ित था - संभावना को समान रूप से संभावित मामलों के संदर्भ में परिभाषित किया गया था - और केवल संभावित परिणामों की सीमित संख्या के साथ सिस्टम के लिए काम किया। यह गणनीय अनन्तता को संभाल नहीं सकता था (जैसे कि असीम रूप से कई चेहरों के साथ पासा का खेल) या एक निरंतरता (जैसे कि गोलाकार मरने वाला खेल, जहाँ गोला पर प्रत्येक बिंदु एक संभावित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है)। ऐसी स्थितियों से जूझने का प्रयास विरोधाभासी परिणाम उत्पन्न करता है, और संभावना खराब प्रतिष्ठा अर्जित की है।
पूर्व-आधुनिक समाजों को अक्सर देवताओं की इच्छा की अभिव्यक्ति के रूप में देखा जाता है; प्राचीन मिस्र और शास्त्रीय ग्रीस में, पासा फेंकने को एक विश्वसनीय पद्धति के रूप में देखा गया था जो कि अटकल और भाग्य को बता रहा था।
प्रतिष्ठा और त्याग, ऐसे गुण थे जो कोलमोगोरोव बेशकीमती थे। अपने प्रमुख को बदलने के बाद, कोलमोगोरोव को शुरू में मास्को विश्वविद्यालय के करिश्माई शिक्षक निकोलाई लुज़िन के आसपास के समर्पित गणितीय सर्कल में खींचा गया था। लूजिन के शिष्यों ने अपने प्रोफेसर के नाम और प्रथम विश्व युद्ध में डूब चुके प्रसिद्ध ब्रिटिश जहाज पर एक समूह "लूजिटानिया" का नाम रखा। "दिलों की संयुक्त धड़कन" से वे एकजुट हो गए, जैसा कि कोलमोगोरोव ने वर्णित किया, नए गणितीय नवाचारों को निकालने या निकालने के लिए कक्षा के बाद इकट्ठा करना। उन्होंने आंशिक अंतर समीकरणों को "आंशिक अपरिवर्तनीय समीकरणों" के रूप में और "ठीक रात के अंतरों" के रूप में परिमित अंतर का मज़ाक उड़ाया, संभाव्यता के सिद्धांत, ठोस सैद्धांतिक नींवों की कमी और विरोधाभासों के साथ बोझ, को "दुर्भाग्य का सिद्धांत" कहा गया।
यह ल्यूजिटानिया के माध्यम से था कि कोलमोगोरोव की संभावना का मूल्यांकन अधिक व्यक्तिगत मोड़ पर ले गया। 1930 के दशक तक, स्तालिनवादी आतंक की शुरुआत का मतलब था कि कोई भी गुप्त पुलिस द्वारा दरवाजे पर रात को दस्तक देने की उम्मीद कर सकता है, और अंधा मौका लोगों के जीवन पर शासन करता है। डर के कारण लकवाग्रस्त, कई रूसियों ने निंदा में भाग लेने के लिए मजबूर महसूस किया, जिससे उनके बचने की संभावना बढ़ गई। गणितज्ञों के बीच बोल्शेविक कार्यकर्ताओं, जिसमें लुज़िन के पूर्व छात्र शामिल थे, ने लुज़िन पर राजनीतिक असहमति का आरोप लगाया और उन्हें विदेशों में प्रकाशित करने के लिए उकसाया। कोलमोगोरोव ने खुद विदेश में प्रकाशित होने के बाद अपनी स्वयं की भेद्यता का एहसास किया। उन्होंने अपने कैरियर की खातिर राजनीतिक समझौता करने के लिए पहले से ही एक स्पष्ट तत्परता प्रदर्शित की थी, एक शोध संस्थान के निदेशक के रूप में एक स्थिति को स्वीकार करते हुए जब उनके पूर्ववर्ती को धार्मिक स्वतंत्रता का समर्थन करने के लिए बोल्शेविक शासन द्वारा कैद कर लिया गया था। अब कोलमोगोरोव आलोचकों में शामिल हो गया और लूजिन के खिलाफ हो गया। लुज़िन विज्ञान अकादमी द्वारा एक शो परीक्षण के अधीन थे और सभी आधिकारिक पदों को खो दिया था, लेकिन आश्चर्यजनक रूप से रूसी अधिकारियों द्वारा गिरफ्तार किए जाने और गोली मारने से बच गए। लुजीतानिया चला गया था, अपने ही दल द्वारा डूब गया।
कोलमोगोरोव के फैसले का नैतिक आयाम एक तरफ, उन्होंने सफलतापूर्वक बाधाओं को निभाया और अपने काम को जारी रखने की स्वतंत्रता प्राप्त की। अपनी खुद की राजनीतिक अनुरूपता के सामने, कोलमोगोरोव ने एक कट्टरपंथी और अंततः, संभाव्यता सिद्धांत के मूलभूत संशोधन को प्रस्तुत किया। उन्होंने रूस से फ्रांस के लिए एक फैशनेबल आयात, माप सिद्धांत पर भरोसा किया। माप सिद्धांत "लंबाई," "क्षेत्र," या "वॉल्यूम" के विचारों के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता था, जब पारंपरिक साधनों को पर्याप्त नहीं होने पर विभिन्न अजीब गणितीय वस्तुओं को मापने की अनुमति दी जाती थी। उदाहरण के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र की गणना करने में मदद कर सकता है, इसमें अनंत संख्या में छेद होते हैं, इसे अनंत टुकड़ों में काटते हैं, और एक अनंत विमान में बिखर जाते हैं। माप सिद्धांत में, इस बिखरी हुई वस्तु के "क्षेत्र" (माप) की बात करना अभी भी संभव है।

संभाव्यता के सिद्धांत, ठोस सैद्धांतिक नींवों की कमी और विरोधाभासों के साथ बोझ, को मजाक में "दुर्भाग्य का सिद्धांत" कहा जाता था।

2.संभाव्यता का  गणितीय विश्लेषण(Mathematical Analysis of Probability)-

कोलमोगोरोव ने प्रायिकता और माप के बीच समानता को आकर्षित किया, जिसके परिणामस्वरूप पांच स्वयंसिद्ध, अब आम तौर पर छह बयानों में तैयार किए गए, जिसने संभाव्यता को गणितीय विश्लेषण का एक सम्मानजनक हिस्सा बनाया। कोलमोगोरोव के सिद्धांत की सबसे बुनियादी धारणा "प्राथमिक घटना" थी, जो एकल प्रयोग का परिणाम था, जैसे सिक्का उछालना। सभी प्राथमिक घटनाओं ने एक "नमूना स्थान" बनाया, सभी संभावित परिणामों का सेट। मैसाचुसेट्स में बिजली के हमलों के लिए, उदाहरण के लिए, नमूना स्थान राज्य में उन सभी बिंदुओं से मिलकर होगा जहां बिजली हिट हो सकती है।एक यादृच्छिक घटना को एक नमूना स्थान में "औसत दर्जे का सेट" के रूप में परिभाषित किया गया था, और इस सेट के "माप" के रूप में एक यादृच्छिक घटना की संभावना। उदाहरण के लिए, बोस्टन में बिजली गिरने की संभावना केवल इस शहर के क्षेत्र ("माप") पर निर्भर करेगी। एक साथ होने वाली दो घटनाओं को उनके उपायों के प्रतिच्छेदन द्वारा दर्शाया जा सकता है; उपायों को विभाजित करके सशर्त संभावनाएं; और संभावना है कि दो असंगत घटनाओं में से एक उपायों को जोड़कर घटित होगी (यानी, संभावना है कि बोस्टन या कैम्ब्रिज बिजली की चपेट में आकर अपने क्षेत्रों की राशि के बराबर होगा)।

The Man Who Invented Modern Probability

ग्रेट सर्कल का विरोधाभास एक प्रमुख गणितीय पहेली था जिसे कोलमोगोरोव की संभावना की अवधारणा ने अंततः आराम दिया। मान लें कि एलियंस एक पूरी तरह से गोलाकार पृथ्वी पर बेतरतीब ढंग से उतरा और उनके लैंडिंग की संभावना समान रूप से वितरित की गई। इसका मतलब यह है कि वे समान रूप से किसी भी सर्कल के साथ कहीं भी उतरने की संभावना रखते हैं, जो गोले को दो समान गोलार्धों में विभाजित करता है, जिसे "महान सर्कल" के रूप में जाना जाता है। मध्याह्न के साथ, भूमध्य रेखा की ओर बढ़ने की संभावना और ध्रुवों पर घटती हुई। दूसरे शब्दों में, एलियंस गर्म जलवायु में उतरना चाहते हैं। इस अजीब खोज को अक्षांश के वृत्तों द्वारा समझाया जा सकता है, क्योंकि वे भूमध्य रेखा के करीब आते जाते हैं - फिर भी यह परिणाम बेतुका लगता है, क्योंकि हम गोले को घुमा सकते हैं और इसके भूमध्य रेखा को मेरिडियन में बदल सकते हैं। कोलमोगोरोव ने दिखाया कि महान सर्कल का माप शून्य है, क्योंकि यह एक लाइन खंड है और इसका क्षेत्र शून्य है। यह सशर्त लैंडिंग संभावनाओं में स्पष्ट विरोधाभास को दर्शाता है यह दिखा कर कि इन संभावनाओं की कठोरता से गणना नहीं की जा सकती है।

स्तालिनवादी पर्स की बहुत वास्तविक दुनिया से शून्य-माप सशर्त संभावनाओं के पंचांग क्षेत्र में पार करने के बाद, कोलमोगोरोव जल्द ही वास्तविकता में वापस आ गया था। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, रूसी सरकार ने कोलमोगोरोव से तोपखाने की आग की प्रभावशीलता को बढ़ाने के लिए तरीके विकसित करने के लिए कहा। उन्होंने दिखाया कि प्रत्येक शॉट की संभावना को अधिकतम करने की कोशिश करने के बजाय, अपने लक्ष्य को मारना संभव है, कुछ मामलों में यह सही लक्ष्य से छोटे विचलन के साथ फ्यूसिलाड को फायर करने के लिए बेहतर होगा, जिसे "कृत्रिम फैलाव" के रूप में जाना जाता है। संभाव्यता सिद्धांत, जिसमें से वह प्रमुख बन गया था, कम ऊंचाई, कम गति की बमबारी के लिए बैलिस्टिक तालिकाओं की भी गणना की। 1944 और 1945 में, सरकार ने अपने युद्धकालीन योगदान के लिए कोलमोगोरोव को लेनिन के दो आदेशों से सम्मानित किया, और युद्ध के बाद, उन्होंने थर्मोन्यूक्लियर हथियार कार्यक्रम के लिए एक गणित सलाहकार के रूप में कार्य किया।
लेकिन कोलमोगोरोव के हितों ने उन्हें और अधिक दार्शनिक दिशाओं में भी प्रेरित किया। गणित ने उन्हें यह विश्वास दिलाने के लिए नेतृत्व किया था कि दुनिया संयोग से संचालित होती है और मौलिक रूप से संभाव्यता के नियमों के अनुसार आदेश दिया जाता है। वह अक्सर मानवीय मामलों में असंभव की भूमिका पर प्रतिबिंबित करता था। 1929 में एक कैनोइंग यात्रा पर साथी गणितज्ञ पावेल एलेक्जेंड्रोव के साथ कोलमोगोरोव की मौका मुलाकात एक अंतरंग, आजीवन दोस्ती शुरू हुई। ट्रेन में अजनबियों से बात करने में अलेक्जेंडरोव ने कोलमोगोरोव का पीछा करते हुए लंबे, स्पष्ट अक्षरों में से एक में, यह कहते हुए कि इस तरह के मुठभेड़ों किसी व्यक्ति के वास्तविक चरित्र में अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए बहुत ही सतही थे। कोलमोगोरोव ने आपत्ति जताई, जिसमें सामाजिक सहभागिता का एक कट्टरपंथी संभावनावादी दृष्टिकोण था जिसमें लोगों ने बड़े समूहों के सांख्यिकीय नमूनों के रूप में काम किया। "एक व्यक्ति आस-पास की आत्मा को अवशोषित करने और अधिग्रहित जीवन शैली और विश्वदृष्टि को चारों ओर किसी को भी प्रसारित करने के लिए जाता है, न कि केवल एक चुनिंदा दोस्त के लिए," उसने अलेक्जेंड्रोव को वापस लिखा।

गणित ने उन्हें यह विश्वास दिलाने के लिए नेतृत्व किया था कि दुनिया संयोग से संचालित होती है और मौलिक रूप से संभाव्यता के नियमों के अनुसार आदेश दिया जाता है।

कोलमोगोरोव के लिए संगीत और साहित्य का गहरा महत्व था, उनका मानना ​​था कि वह मानव मस्तिष्क के आंतरिक कामकाज में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए संभावित रूप से उनका विश्लेषण कर सकते हैं। वह एक सांस्कृतिक अभिजात्य व्यक्ति था जो कलात्मक मूल्यों के पदानुक्रम में विश्वास करता था। शिखर पर गोएथ, पुश्किन और थॉमस मान के लेखन थे, जो बाख, विवाल्डी, मोजार्ट और बीथोवेन की रचनाओं के साथ-साथ काम करते हैं, जिनके स्थायी मूल्य शाश्वत गणितीय सत्य से मिलते-जुलते हैं। कोलमोगोरोव ने जोर देकर कहा कि कला का हर सच्चा काम एक अनूठी रचना है, परिभाषा के अनुसार कुछ असंभव नहीं है, सरल सांख्यिकीय आर्थिक एकता के दायरे के बाहर कुछ है। "क्या यह संभव है कि टॉल्स्टॉय के युद्ध और शांति] को 'सभी संभावित उपन्यासों' के सेट में शामिल किया जाए और इस सेट में एक निश्चित संभावना वितरण के अस्तित्व को आगे बढ़ाया जाए?", उन्होंने व्यंग्यात्मक रूप से 1965 के लेख में पूछा। ।
फिर भी उन्होंने कलात्मक रचनात्मकता की प्रकृति को समझने की कुंजी खोजने की लालसा की। 1960 में कोलमोगोरोव ने शोधकर्ताओं के एक समूह को इलेक्ट्रोमैकेनिकल कैलकुलेटर के साथ सशस्त्र किया और उन पर रूसी कविता की लयबद्ध संरचनाओं की गणना के कार्य का आरोप लगाया। कोलमोगोरोव विशेष रूप से शास्त्रीय मीटर से वास्तविक लय के विचलन में रुचि रखते थे। पारंपरिक काव्यों में, आयम्बिक मीटर एक लय है जिसमें एक अस्थिर शब्दांश होता है जिसके बाद एक तनावपूर्ण शब्दांश होता है। लेकिन व्यवहार में, इस नियम का शायद ही कभी पालन किया जाता है। पुश्किन की यूजीन वनगिन में, रूसी भाषा की सबसे प्रसिद्ध शास्त्रीय आयंबिक कविता, इसकी 5,300 लाइनों में से लगभग तीन-चौथाई आयंबिक मीटर की परिभाषा का उल्लंघन करती है, और सभी सिलेबल्स के पांचवें से अधिक भी अस्थिर है। कोलमोगोरोव का मानना ​​था कि शास्त्रीय मीटर से तनाव के विचलन की आवृत्ति एक कवि के उद्देश्य "सांख्यिकीय चित्र" की पेशकश करती है। तनावों का एक असंभावित पैटर्न, उन्होंने सोचा, कलात्मक आविष्कार और अभिव्यक्ति का संकेत दिया। पुश्किन, पास्टर्नक और अन्य रूसी कवियों का अध्ययन करते हुए, कोलमोगोरोव ने तर्क दिया कि उन्होंने अपनी कविताओं या अंशों को "सामान्य रंग" देने के लिए मीटर में हेरफेर किया था।

कोलमोगोरोव के लिए संगीत और साहित्य का गहरा महत्व था, उनका मानना ​​था कि वह मानव मस्तिष्क के आंतरिक कामकाज में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए संभावित रूप से उनका विश्लेषण कर सकते हैं।

ग्रंथों की कलात्मक योग्यता को मापने के लिए, कोलमोगोरोव ने प्राकृतिक भाषा के एन्ट्रापी का मूल्यांकन करने के लिए एक पत्र-अनुमान विधि भी नियुक्त की। सूचना सिद्धांत में, एन्ट्रॉपी अनिश्चितता या अप्रत्याशितता का एक उपाय है, जो किसी संदेश की सूचना सामग्री के अनुरूप होता है: जितना अधिक अप्रत्याशित संदेश, उतनी ही अधिक जानकारी होती है। कोलमोगोरोव ने कलात्मक मौलिकता के एक उपाय में प्रवेश किया। उनके समूह ने प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित की, जिसमें स्वयंसेवकों को रूसी गद्य या कविता का एक टुकड़ा दिखाया गया और उनसे अगले अक्षर, फिर अगला, और इसी तरह का अनुमान लगाने के लिए कहा गया। कोलमोगोरोव ने निजी तौर पर टिप्पणी की कि, सूचना सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सोवियत समाचार पत्र कविता की तुलना में कम जानकारीपूर्ण थे, क्योंकि राजनीतिक प्रवचन ने बड़ी संख्या में स्टॉक वाक्यांशों को नियोजित किया था और इसकी सामग्री में अत्यधिक पूर्वानुमान था। दूसरी ओर, महान कवियों के छंदों को काव्य रूप द्वारा उन पर लगाए गए कठोर सीमाओं के बावजूद, भविष्यवाणी करना अधिक कठिन था। कोलमोगोरोव के अनुसार, यह उनकी मौलिकता का प्रतीक था। सच्ची कला की संभावना नहीं थी, एक गुणवत्ता संभावना सिद्धांत को मापने में मदद मिल सकती है।
कोलमोगोरोव ने सभी उपन्यासों के एक संभाव्य नमूना स्थान में युद्ध और शांति को रखने के विचार को जन्म दिया - लेकिन वह इसकी जटिलता की गणना करके अपनी अप्रत्याशितता व्यक्त कर सकता था। कोलमोगोरोव ने किसी वस्तु के सबसे छोटे विवरण की लंबाई के रूप में जटिलता की कल्पना की, या एक वस्तु का उत्पादन करने वाले एल्गोरिथ्म की लंबाई। नियतात्मक वस्तुएँ सरल हैं, इस अर्थ में कि वे एक छोटे एल्गोरिथ्म द्वारा उत्पादित कर सकते हैं: कहते हैं, शून्य और लोगों का आवधिक अनुक्रम। वास्तव में यादृच्छिक, अप्रत्याशित वस्तुएं जटिल हैं: किसी भी एल्गोरिथम को पुन: उत्पन्न करने वाली वस्तुओं को स्वयं वस्तुओं के रूप में लंबे समय तक रहना होगा। उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याएं - जिन्हें अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है - निश्चित रूप से दशमलव बिंदु के बाद दिखाई देने वाली संख्याओं में कोई पैटर्न नहीं है। इसलिए, अधिकांश तर्कहीन संख्याएं जटिल वस्तुएं होती हैं, क्योंकि वास्तविक अनुक्रम लिखकर ही उनका पुनरुत्पादन किया जा सकता है। जटिलता की यह समझ सहज धारणा के साथ फिट बैठती है कि ऐसी कोई विधि या एल्गोरिथ्म नहीं है जो यादृच्छिक वस्तुओं का अनुमान लगा सके। यह एक वस्तु को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल संसाधनों के एक उपाय के रूप में अब महत्वपूर्ण है, और आधुनिक-दिन नेटवर्क रूटिंग, एल्गोरिदम को छांटने और डेटा संपीड़न में कई एप्लिकेशन पाता है।

कोलमोगोरोव के स्वयं के उपाय से, उनका जीवन एक जटिल था। जब वे मारे गए, तब तक 1987 में, 84 साल की उम्र में, उन्होंने न केवल एक क्रांति, दो विश्व युद्ध और शीत युद्ध की भविष्यवाणी की थी, लेकिन उनके नवाचारों ने कुछ गणितीय क्षेत्रों को अछूता छोड़ दिया, और शिक्षाविदों की सीमाओं से परे अच्छी तरह से बढ़ाया। चाहे जीवन के माध्यम से उनकी बेतरतीब पैदल यात्रा उदासीन थी या मशरूम-चुनने की विविधता थी, इसके मोड़ और मोड़ न तो विशेष रूप से अनुमानित थे और न ही आसानी से वर्णित थे। असंभव को पकड़ने और लागू करने में उनकी सफलता ने संभाव्यता सिद्धांत का पुनर्वास किया था, और अनगिनत वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग परियोजनाओं के लिए टेरा फ़र्मा बनाया था। लेकिन उनके सिद्धांत ने अप्रत्याशितता और इसे वर्णित करने के लिए गणितीय उपकरण की स्पष्ट शक्ति के बारे में मानव अंतर्ज्ञान के बीच तनाव को भी बढ़ाया।

कोलमोगोरोव के लिए, उनके विचारों ने न तो मौके को खत्म किया, और न ही हमारी दुनिया के बारे में एक मौलिक अनिश्चितता की पुष्टि की; वे बस एक कठोर भाषा प्रदान करते हैं जो कुछ के लिए ज्ञात नहीं हो सकती है। "निरपेक्ष यादृच्छिकता" की धारणा ने "पूर्ण नियतत्ववाद" से अधिक कोई मतलब नहीं बनाया, उन्होंने एक बार टिप्पणी की, निष्कर्ष निकाला, "हमें अनजाने के अस्तित्व का सकारात्मक ज्ञान नहीं हो सकता है।" कोलमोगोरोव के लिए धन्यवाद, हालांकि, हम कब और क्या समझा सकते हैं। हम क्यों नहीं।

The Case for Writing in Mathematics Classes

गणित कक्षाओं में लेखन के लिए मामला(The Case for Writing in Mathematics Classes)-

छात्र आज अक्सर खुद को गणित और विज्ञान के प्रति उत्साही या उदार कला और मानविकी aficionados के रूप में वर्गीकृत करते हैं। बेशक, ऐसे लोगों का एक छोटा समूह हो सकता है जो सभी क्षेत्रों में रुचि व्यक्त करते हैं, लेकिन एक व्यक्ति का शैक्षणिक ध्यान आमतौर पर द्विआधारी होता है। हाई स्कूल जूनियर्स और सीनियर्स को गणित पढ़ाने के मेरे विभिन्न अनुभवों से, छात्र या तो तकनीकी गणनाओं और चुनौतियों को स्वीकार करते हैं, जो गणित उनकी अंग्रेजी कक्षाओं में लेखन असाइनमेंट को पूरी तरह से निरस्त करते हुए लाती है, या वे अपने गणित पाठ्यक्रमों को लिखना और नापसंद करना पसंद करते हैं। गणित और अंग्रेजी को व्यावहारिक रूप से मेरे समुदाय के विपरीत माना जाता है, और शायद कई अन्य लोगों में भी, लेकिन जब मैं गणित पढ़ाता हूं, तो मैं इस तथाकथित विरोध को नजरअंदाज कर देता हूं और हर अवसर पर अपने पाठों में लेखन को एकीकृत करता हूं।
हाल ही में, अमेरिकियों की एक व्यापक उदार कला शिक्षा पर एसटीईएम पाठ्यक्रम के पक्ष में अमेरिकियों की धारणा के बारे में गंभीर चर्चा हुई है, जिसमें सामान्य शिक्षा प्रदान करने के बजाय तकनीकी निर्देश पर जोर दिया गया है जो एसटीईएम क्षेत्रों को दूसरों के साथ शामिल करता है, जैसे साहित्य। एक शक के बिना, उदार कला किशोरों में महत्वपूर्ण सोच और कल्पना को विकसित करने में एक जबरदस्त भूमिका निभाती है और उनकी शिक्षा में समान रूप से शामिल होने के लायक है। गणित वर्ग, जहाँ संगणना और विश्लेषणात्मक लेखन एक दूसरे के पूरक हैं, ऐसा करने के लिए एक शानदार जगह है।

The Case for Writing in Mathematics Classes

जब अधिकांश छात्र गणित के बारे में सोचते हैं, तो नंबर और गणना पहली चीजें हैं जो उनके दिमाग में आती हैं। वे क्लास में सिखाए गए सावधानीपूर्वक तकनीकों और एल्गोरिदम का उपयोग करके समस्याओं के अनगिनत पृष्ठों को हल करने में समय बिताने की उम्मीद करते हैं। इन तकनीकों का बार-बार उपयोग करने से उन्हें सब कुछ याद रखने में मदद मिलेगी, लेकिन यह व्याख्या और महत्वपूर्ण सोच के लिए बहुत कम जगह नहीं छोड़ता है। निश्चित रूप से, छात्र इन समस्याओं को हल करने वाली प्रक्रियाओं का सटीक रूप से पालन कर सकते हैं और सही उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, और यह संभवतः शिक्षक को यह आभास देता है कि छात्र जानता है कि वे क्या कर रहे हैं और अगले विषय पर आगे बढ़ने के लिए तैयार हैं। लेकिन क्या छात्र को समस्या ठीक लगी क्योंकि वे प्रश्न को अच्छी तरह से समझते हैं, या क्योंकि वे इस प्रक्रिया को करना जानते हैं - समीकरण X या सूत्र Y का उपयोग करने के लिए? प्रश्न को थोड़ा बदलें, और अधिकांश छात्र उसी प्रक्रिया का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं, जिस तरह से केवल नए समाधान को खोजते हुए ठोकर खाते हैं। कार्य की लाइनें दिखाकर एक एल्गोरिथ्म का अनुसरण करना छात्रों को संख्यात्मक अभिकलन पर ध्यान केंद्रित करने में मदद करता है, लेकिन आमतौर पर यह गणितीय सिद्धांत या क्यों और क्या वे वास्तव में कर रहे हैं, यह समझने में उनकी मदद नहीं करते हैं।

The Case for Writing in Mathematics Classes

लेखन इस कमी को संबोधित करने के साथ सहायता करता है। कैलकुलस सिखाते समय, मेरे पास मेरे छात्र अपने कदमों, प्रश्न की विचारधारा और उनके संख्यात्मक कार्यों के अलावा किसी भी दिए गए आंकड़े की व्याख्या करते हुए कुछ वाक्य लिखते हैं। यदि वे एक निश्चित सूत्र या तकनीक का उपयोग करते हैं, तो मैं उन्हें यह लिखने के लिए कहता हूं कि उन्होंने उस विशिष्ट पद्धति का उपयोग क्यों किया या किन शर्तों ने इस प्रश्न को संतुष्ट किया कि उन्हें इसका उपयोग करने के लिए मजबूर किया। आमतौर पर, एक बार जब वे लिखना शुरू करते हैं, तो वे रुक नहीं सकते एक विचार और वाक्य के रूप में सबसे पहले क्या शुरू होता है एक श्रृंखला प्रतिक्रिया होती है जो उन प्रतिक्रियाओं में समाप्त होती है जो खूबसूरती से तर्क और विस्तृत हैं।
इन प्रतिक्रिया पत्रों में, छात्रों द्वारा उपयोग की जाने वाली विभिन्न व्याख्याओं और दृष्टिकोणों को देखना आश्चर्यजनक है। शायद एक दृष्टिकोण को कम काम की आवश्यकता होती है, जबकि दूसरा एक अलग ऑपरेशन का उपयोग करता है। लेखन छात्रों को उनके और मेरे बीच एक महान संचार उपकरण के रूप में सेवा करते समय अपने विचारों का विश्लेषण करने और स्पष्ट रूप से बताने में मदद करता है। मेरे छात्रों की प्रतिक्रियाएँ मुझे यह आकलन करने की अनुमति देती हैं कि वे किसी निश्चित प्रश्न या विषय को कैसे देखते हैं और उसका उपयोग कैसे करते हैं। लिखने से, छात्रों ने मुझे उनके संख्यात्मक कार्यों को शुरू में दिखाने की तुलना में बहुत अधिक जानकारी प्रदान की है।
लेखन भी छात्रों और उनके साथियों के बीच संचार विकसित करने में मदद करता है। व्यक्तिगत व्याख्याएं इतनी अनोखी हैं कि छात्र हमेशा किसी भी सहकर्मी से सहकर्मी चर्चा के दौरान एक-दूसरे से सीखते हैं। लेखन के माध्यम से सहयोग संचार और टीमवर्क कौशल के लिए महान अभ्यास के रूप में कार्य करता है, जिसका उपयोग छात्र अपने भविष्य के स्कूल और काम के सहयोगियों के साथ बातचीत करते समय करेंगे।
अपने विचारों को दूसरों के साथ साझा करने का प्रयास करते समय अच्छे संचार कौशल आवश्यक हैं। यह समझना बहुत कठिन है, कभी-कभी असंभव होता है कि कोई दूसरा व्यक्ति गणित को केवल संख्याओं को देखकर क्या सोच रहा है या कर रहा है। आज, हमारे पास उपलब्ध शैक्षिक गणित प्रौद्योगिकियों में हमें ऐसा करने की अनुमति देने की विशेषताएं हैं: लिखना।
उदाहरण के लिए, वुल्फ्राम के मैथमेटिका, केवल एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (CAS) नहीं है जो संगणना की सुविधा प्रदान करता है, बल्कि एक उपकरण भी है जो उपयोगकर्ताओं को नोटबुक बनाने की अनुमति देता है जहां वे गणितीय अभिव्यक्तियों या भूखंडों के पास पाठ और एनोटेशन सम्मिलित करते हैं। व्यक्तिगत समीकरणों और सूत्रों सहित नोटबुक के कुछ खंडों को एक तीर के प्रेस के साथ प्रदर्शित या छिपाया जा सकता है। सबक या प्रस्तुति देते समय इंटरएक्टिव गणितीय टाइपसेटिंग अविश्वसनीय रूप से उपयोगी हो सकता है। उपयोगकर्ता उचित समय पर कुछ वस्तुओं के लिए एनोटेशन प्रदर्शित कर सकते हैं और बाद में उन्हें छिपा सकते हैं, सभी दृश्य सौंदर्य बनाए रखते हुए।
पहली बार जब मैंने गणित वर्ग के लिए लिखा था, मेरे मल्टीवीरेट कैलकुलस पाठ्यक्रम में हाई स्कूल के वरिष्ठ वर्ष के दौरान था। मेरे शिक्षक ने हमें एक त्रिभुज के बारे में एक छोटा पत्र लिखने के लिए कहा और उसमें एक चित्र भी शामिल किया।
हम छात्रों ने तुरंत प्रश्न किए। त्रिभुज 3 डी अंतरिक्ष में था? क्या यह एकपक्षीय होना था? क्या हमें इसका क्षेत्र खोजना था? मेरे शिक्षक ने कुछ और कहने से इनकार कर दिया। हमने असाइनमेंट स्वीकार कर लिया और, छुट्टी के बाद, अपने कागजात में बदल गए। अगर मुझे सही से याद है, तो किसी ने पिज्जा के त्रिकोणीय स्लाइस के बारे में लिखा। एक अन्य छात्र ने आइसक्रीम कोन के सामने के दृश्य के बारे में लिखा। किसी ने उनकी त्रिकोणीय नाक के बारे में भी लिखा था!
मुझे नहीं पता कि शिक्षक ने यह असाइनमेंट क्यों दिया, लेकिन मुझे इसमें कोई उद्देश्य नहीं मिला। गणित में लिखना छात्रों में रचनात्मकता और कल्पनाशीलता लाता है, और ये गुण तब बहुत महत्वपूर्ण होते हैं जब किशोर मन अभी भी विकसित हो रहा है। गणित में लिखने से छात्रों को गंभीर रूप से सोचने का मौका मिलता है और केवल संख्याओं की कमी के बजाय विवरण और सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करने का मौका मिलता है। यह शिक्षकों को यह देखने की अनुमति देता है कि छात्र क्या और कैसे सोच रहे हैं, जो कक्षा के लिए गति निर्धारित करने में मदद करता है। यह उन पेशेवरों को आश्वासन देता है कि ये छात्र, जिन्हें वे निकट भविष्य में काम पर रख रहे हैं, को अपने कार्यक्षेत्र में सहयोग करने और अच्छा प्रदर्शन करने के लिए पर्याप्त लेखन अनुभव है।
लेखन के लाभ अंतहीन हैं और गणित वर्ग में नहीं रुकते हैं। छात्रों और शिक्षकों दोनों को अपने गणित पाठ्यक्रमों में कम से कम कुछ लिखने का अभ्यास करने का अभ्यास करना चाहिए। लाभ सामग्री को समझने और एक अच्छी ग्रेड प्राप्त करने पर नहीं रुकते हैं, बल्कि आने वाले वर्षों के लिए जारी रहते हैं।