The Man Who Invented Modern Probability

1.व्यक्ति जिसने आधुनिक प्रायिकता का आविष्कार किया (The Man Who Invented Modern Probability)-आंद्रेई कोलमोगोरोव के जीवन में संभावना का सामना

यदि दो सांख्यिकीविदों को एक अनंत जंगल में एक दूसरे को खोना था, पहली चीज जो वे करते हैं वह नशे में हो जाएगी। इस तरह, वे अधिक या कम बेतरतीब ढंग से चलते हैं, जो उन्हें एक दूसरे को खोजने का सबसे अच्छा मौका देगा। हालांकि, सांख्यिकीविदों को शांत रहना चाहिए अगर वे मशरूम चुनना चाहते हैं। नशे के बिना और उद्देश्य के बिना ठोकर खाने से अन्वेषण का क्षेत्र कम हो जाएगा, और यह अधिक संभावना है कि साधक उसी स्थान पर वापस आ जाएंगे, जहां मशरूम पहले से ही चले गए हैं।

The Man Who Invented Modern Probability

इस तरह के विचार "यादृच्छिक चलना" या "शराबी की सैर" के सांख्यिकीय सिद्धांत से संबंधित हैं, जिसमें भविष्य केवल वर्तमान पर निर्भर करता है और अतीत नहीं। आज, यादृच्छिक वॉक का उपयोग अन्य प्रक्रियाओं के साथ शेयर की कीमतों, आणविक प्रसार, तंत्रिका गतिविधि और जनसंख्या की गतिशीलता को मॉडल करने के लिए किया जाता है। यह भी वर्णन करने के लिए सोचा जाता है कि "आनुवंशिक बहाव" का परिणाम एक विशेष जीन में कैसे हो सकता है - कहते हैं, नीली आंखों के रंग के लिए - एक आबादी में प्रचलित हो रहा है। विडंबना यह है कि यह सिद्धांत, जो अतीत की उपेक्षा करता है, का अपना समृद्ध इतिहास है। यह आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा देखे गए कई बौद्धिक नवाचारों में से एक है, जो चौंका देने वाली चौड़ाई और क्षमता के गणितज्ञ हैं, जिन्होंने सोवियत रूस में राजनीतिक और शैक्षणिक जीवन की शिफ्टिंग संभावनाओं की सावधानीपूर्वक बातचीत करते हुए गणित में असम्भव की भूमिका में क्रांति ला दी।

एक युवा व्यक्ति के रूप में, कोलमोगोरोव को क्रांतिकारी मास्को के बौद्धिक किण्वन द्वारा पोषण किया गया था, जहां साहित्यिक प्रयोग, कलात्मक अवांट-गार्डे, और कट्टरपंथी नए वैज्ञानिक विचार हवा में थे। 1920 के दशक की शुरुआत में, एक 17 वर्षीय इतिहास के छात्र के रूप में, उन्होंने मास्को विश्वविद्यालय में अपने साथियों के एक समूह को एक पत्र प्रस्तुत किया, जो मध्यकालीन रूसियों के जीवन का एक अपरंपरागत सांख्यिकीय विश्लेषण प्रस्तुत करता है। उदाहरण के लिए, यह पाया गया कि गांवों पर लगाया जाने वाला कर आमतौर पर एक पूरी संख्या थी, जबकि व्यक्तिगत घरों पर करों को अक्सर अंश के रूप में व्यक्त किया जाता था। समय के लिए विवादास्पद रूप से यह निष्कर्ष निकाला गया कि पूरे गाँवों पर करों को लागू किया गया था और फिर परिवारों के बीच विभाजित किया गया था, न कि घरों पर लगाया गया था और गाँव द्वारा संचित किया गया था। "आपको केवल एक प्रमाण मिला है," उनके प्रोफेसर का एसिड अवलोकन था। एक इतिहासकार के लिए यह पर्याप्त नहीं है। आपको कम से कम पांच सबूतों की आवश्यकता है। ”उस समय, कोलमोगोरोव ने अपनी एकाग्रता को गणित में बदलने का फैसला किया, जहां एक प्रमाण पर्याप्त होगा।
यह अजीब रूप से उचित है कि एक मौका घटना ने कोलमोगोरोव को संभाव्यता सिद्धांत की बाहों में खींच लिया, जो उस समय गणित का एक दुर्भावनापूर्ण उप-अनुशासन था। पूर्व-आधुनिक समाजों को अक्सर देवताओं की इच्छा की अभिव्यक्ति के रूप में देखा जाता है; प्राचीन मिस्र और शास्त्रीय ग्रीस में, पासा फेंकने को एक विश्वसनीय पद्धति के रूप में देखा गया था जो कि अटकल और भाग्य को बता रहा था। 19 वीं शताब्दी की शुरुआत तक, यूरोपीय गणितज्ञों ने बाधाओं की गणना के लिए तकनीकों का विकास किया था, और सभी समान रूप से संभावित मामलों की संख्या के अनुकूल मामलों की संख्या के अनुपात में आसुत संभाव्यता। लेकिन यह दृष्टिकोण परिपत्रता से पीड़ित था - संभावना को समान रूप से संभावित मामलों के संदर्भ में परिभाषित किया गया था - और केवल संभावित परिणामों की सीमित संख्या के साथ सिस्टम के लिए काम किया। यह गणनीय अनन्तता को संभाल नहीं सकता था (जैसे कि असीम रूप से कई चेहरों के साथ पासा का खेल) या एक निरंतरता (जैसे कि गोलाकार मरने वाला खेल, जहाँ गोला पर प्रत्येक बिंदु एक संभावित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है)। ऐसी स्थितियों से जूझने का प्रयास विरोधाभासी परिणाम उत्पन्न करता है, और संभावना खराब प्रतिष्ठा अर्जित की है।
पूर्व-आधुनिक समाजों को अक्सर देवताओं की इच्छा की अभिव्यक्ति के रूप में देखा जाता है; प्राचीन मिस्र और शास्त्रीय ग्रीस में, पासा फेंकने को एक विश्वसनीय पद्धति के रूप में देखा गया था जो कि अटकल और भाग्य को बता रहा था।
प्रतिष्ठा और त्याग, ऐसे गुण थे जो कोलमोगोरोव बेशकीमती थे। अपने प्रमुख को बदलने के बाद, कोलमोगोरोव को शुरू में मास्को विश्वविद्यालय के करिश्माई शिक्षक निकोलाई लुज़िन के आसपास के समर्पित गणितीय सर्कल में खींचा गया था। लूजिन के शिष्यों ने अपने प्रोफेसर के नाम और प्रथम विश्व युद्ध में डूब चुके प्रसिद्ध ब्रिटिश जहाज पर एक समूह "लूजिटानिया" का नाम रखा। "दिलों की संयुक्त धड़कन" से वे एकजुट हो गए, जैसा कि कोलमोगोरोव ने वर्णित किया, नए गणितीय नवाचारों को निकालने या निकालने के लिए कक्षा के बाद इकट्ठा करना। उन्होंने आंशिक अंतर समीकरणों को "आंशिक अपरिवर्तनीय समीकरणों" के रूप में और "ठीक रात के अंतरों" के रूप में परिमित अंतर का मज़ाक उड़ाया, संभाव्यता के सिद्धांत, ठोस सैद्धांतिक नींवों की कमी और विरोधाभासों के साथ बोझ, को "दुर्भाग्य का सिद्धांत" कहा गया।
यह ल्यूजिटानिया के माध्यम से था कि कोलमोगोरोव की संभावना का मूल्यांकन अधिक व्यक्तिगत मोड़ पर ले गया। 1930 के दशक तक, स्तालिनवादी आतंक की शुरुआत का मतलब था कि कोई भी गुप्त पुलिस द्वारा दरवाजे पर रात को दस्तक देने की उम्मीद कर सकता है, और अंधा मौका लोगों के जीवन पर शासन करता है। डर के कारण लकवाग्रस्त, कई रूसियों ने निंदा में भाग लेने के लिए मजबूर महसूस किया, जिससे उनके बचने की संभावना बढ़ गई। गणितज्ञों के बीच बोल्शेविक कार्यकर्ताओं, जिसमें लुज़िन के पूर्व छात्र शामिल थे, ने लुज़िन पर राजनीतिक असहमति का आरोप लगाया और उन्हें विदेशों में प्रकाशित करने के लिए उकसाया। कोलमोगोरोव ने खुद विदेश में प्रकाशित होने के बाद अपनी स्वयं की भेद्यता का एहसास किया। उन्होंने अपने कैरियर की खातिर राजनीतिक समझौता करने के लिए पहले से ही एक स्पष्ट तत्परता प्रदर्शित की थी, एक शोध संस्थान के निदेशक के रूप में एक स्थिति को स्वीकार करते हुए जब उनके पूर्ववर्ती को धार्मिक स्वतंत्रता का समर्थन करने के लिए बोल्शेविक शासन द्वारा कैद कर लिया गया था। अब कोलमोगोरोव आलोचकों में शामिल हो गया और लूजिन के खिलाफ हो गया। लुज़िन विज्ञान अकादमी द्वारा एक शो परीक्षण के अधीन थे और सभी आधिकारिक पदों को खो दिया था, लेकिन आश्चर्यजनक रूप से रूसी अधिकारियों द्वारा गिरफ्तार किए जाने और गोली मारने से बच गए। लुजीतानिया चला गया था, अपने ही दल द्वारा डूब गया।
कोलमोगोरोव के फैसले का नैतिक आयाम एक तरफ, उन्होंने सफलतापूर्वक बाधाओं को निभाया और अपने काम को जारी रखने की स्वतंत्रता प्राप्त की। अपनी खुद की राजनीतिक अनुरूपता के सामने, कोलमोगोरोव ने एक कट्टरपंथी और अंततः, संभाव्यता सिद्धांत के मूलभूत संशोधन को प्रस्तुत किया। उन्होंने रूस से फ्रांस के लिए एक फैशनेबल आयात, माप सिद्धांत पर भरोसा किया। माप सिद्धांत "लंबाई," "क्षेत्र," या "वॉल्यूम" के विचारों के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता था, जब पारंपरिक साधनों को पर्याप्त नहीं होने पर विभिन्न अजीब गणितीय वस्तुओं को मापने की अनुमति दी जाती थी। उदाहरण के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र की गणना करने में मदद कर सकता है, इसमें अनंत संख्या में छेद होते हैं, इसे अनंत टुकड़ों में काटते हैं, और एक अनंत विमान में बिखर जाते हैं। माप सिद्धांत में, इस बिखरी हुई वस्तु के "क्षेत्र" (माप) की बात करना अभी भी संभव है।

संभाव्यता के सिद्धांत, ठोस सैद्धांतिक नींवों की कमी और विरोधाभासों के साथ बोझ, को मजाक में "दुर्भाग्य का सिद्धांत" कहा जाता था।

2.संभाव्यता का  गणितीय विश्लेषण(Mathematical Analysis of Probability)-

कोलमोगोरोव ने प्रायिकता और माप के बीच समानता को आकर्षित किया, जिसके परिणामस्वरूप पांच स्वयंसिद्ध, अब आम तौर पर छह बयानों में तैयार किए गए, जिसने संभाव्यता को गणितीय विश्लेषण का एक सम्मानजनक हिस्सा बनाया। कोलमोगोरोव के सिद्धांत की सबसे बुनियादी धारणा "प्राथमिक घटना" थी, जो एकल प्रयोग का परिणाम था, जैसे सिक्का उछालना। सभी प्राथमिक घटनाओं ने एक "नमूना स्थान" बनाया, सभी संभावित परिणामों का सेट। मैसाचुसेट्स में बिजली के हमलों के लिए, उदाहरण के लिए, नमूना स्थान राज्य में उन सभी बिंदुओं से मिलकर होगा जहां बिजली हिट हो सकती है।एक यादृच्छिक घटना को एक नमूना स्थान में "औसत दर्जे का सेट" के रूप में परिभाषित किया गया था, और इस सेट के "माप" के रूप में एक यादृच्छिक घटना की संभावना। उदाहरण के लिए, बोस्टन में बिजली गिरने की संभावना केवल इस शहर के क्षेत्र ("माप") पर निर्भर करेगी। एक साथ होने वाली दो घटनाओं को उनके उपायों के प्रतिच्छेदन द्वारा दर्शाया जा सकता है; उपायों को विभाजित करके सशर्त संभावनाएं; और संभावना है कि दो असंगत घटनाओं में से एक उपायों को जोड़कर घटित होगी (यानी, संभावना है कि बोस्टन या कैम्ब्रिज बिजली की चपेट में आकर अपने क्षेत्रों की राशि के बराबर होगा)।

The Man Who Invented Modern Probability

ग्रेट सर्कल का विरोधाभास एक प्रमुख गणितीय पहेली था जिसे कोलमोगोरोव की संभावना की अवधारणा ने अंततः आराम दिया। मान लें कि एलियंस एक पूरी तरह से गोलाकार पृथ्वी पर बेतरतीब ढंग से उतरा और उनके लैंडिंग की संभावना समान रूप से वितरित की गई। इसका मतलब यह है कि वे समान रूप से किसी भी सर्कल के साथ कहीं भी उतरने की संभावना रखते हैं, जो गोले को दो समान गोलार्धों में विभाजित करता है, जिसे "महान सर्कल" के रूप में जाना जाता है। मध्याह्न के साथ, भूमध्य रेखा की ओर बढ़ने की संभावना और ध्रुवों पर घटती हुई। दूसरे शब्दों में, एलियंस गर्म जलवायु में उतरना चाहते हैं। इस अजीब खोज को अक्षांश के वृत्तों द्वारा समझाया जा सकता है, क्योंकि वे भूमध्य रेखा के करीब आते जाते हैं - फिर भी यह परिणाम बेतुका लगता है, क्योंकि हम गोले को घुमा सकते हैं और इसके भूमध्य रेखा को मेरिडियन में बदल सकते हैं। कोलमोगोरोव ने दिखाया कि महान सर्कल का माप शून्य है, क्योंकि यह एक लाइन खंड है और इसका क्षेत्र शून्य है। यह सशर्त लैंडिंग संभावनाओं में स्पष्ट विरोधाभास को दर्शाता है यह दिखा कर कि इन संभावनाओं की कठोरता से गणना नहीं की जा सकती है।

स्तालिनवादी पर्स की बहुत वास्तविक दुनिया से शून्य-माप सशर्त संभावनाओं के पंचांग क्षेत्र में पार करने के बाद, कोलमोगोरोव जल्द ही वास्तविकता में वापस आ गया था। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, रूसी सरकार ने कोलमोगोरोव से तोपखाने की आग की प्रभावशीलता को बढ़ाने के लिए तरीके विकसित करने के लिए कहा। उन्होंने दिखाया कि प्रत्येक शॉट की संभावना को अधिकतम करने की कोशिश करने के बजाय, अपने लक्ष्य को मारना संभव है, कुछ मामलों में यह सही लक्ष्य से छोटे विचलन के साथ फ्यूसिलाड को फायर करने के लिए बेहतर होगा, जिसे "कृत्रिम फैलाव" के रूप में जाना जाता है। संभाव्यता सिद्धांत, जिसमें से वह प्रमुख बन गया था, कम ऊंचाई, कम गति की बमबारी के लिए बैलिस्टिक तालिकाओं की भी गणना की। 1944 और 1945 में, सरकार ने अपने युद्धकालीन योगदान के लिए कोलमोगोरोव को लेनिन के दो आदेशों से सम्मानित किया, और युद्ध के बाद, उन्होंने थर्मोन्यूक्लियर हथियार कार्यक्रम के लिए एक गणित सलाहकार के रूप में कार्य किया।
लेकिन कोलमोगोरोव के हितों ने उन्हें और अधिक दार्शनिक दिशाओं में भी प्रेरित किया। गणित ने उन्हें यह विश्वास दिलाने के लिए नेतृत्व किया था कि दुनिया संयोग से संचालित होती है और मौलिक रूप से संभाव्यता के नियमों के अनुसार आदेश दिया जाता है। वह अक्सर मानवीय मामलों में असंभव की भूमिका पर प्रतिबिंबित करता था। 1929 में एक कैनोइंग यात्रा पर साथी गणितज्ञ पावेल एलेक्जेंड्रोव के साथ कोलमोगोरोव की मौका मुलाकात एक अंतरंग, आजीवन दोस्ती शुरू हुई। ट्रेन में अजनबियों से बात करने में अलेक्जेंडरोव ने कोलमोगोरोव का पीछा करते हुए लंबे, स्पष्ट अक्षरों में से एक में, यह कहते हुए कि इस तरह के मुठभेड़ों किसी व्यक्ति के वास्तविक चरित्र में अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए बहुत ही सतही थे। कोलमोगोरोव ने आपत्ति जताई, जिसमें सामाजिक सहभागिता का एक कट्टरपंथी संभावनावादी दृष्टिकोण था जिसमें लोगों ने बड़े समूहों के सांख्यिकीय नमूनों के रूप में काम किया। "एक व्यक्ति आस-पास की आत्मा को अवशोषित करने और अधिग्रहित जीवन शैली और विश्वदृष्टि को चारों ओर किसी को भी प्रसारित करने के लिए जाता है, न कि केवल एक चुनिंदा दोस्त के लिए," उसने अलेक्जेंड्रोव को वापस लिखा।

गणित ने उन्हें यह विश्वास दिलाने के लिए नेतृत्व किया था कि दुनिया संयोग से संचालित होती है और मौलिक रूप से संभाव्यता के नियमों के अनुसार आदेश दिया जाता है।

कोलमोगोरोव के लिए संगीत और साहित्य का गहरा महत्व था, उनका मानना ​​था कि वह मानव मस्तिष्क के आंतरिक कामकाज में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए संभावित रूप से उनका विश्लेषण कर सकते हैं। वह एक सांस्कृतिक अभिजात्य व्यक्ति था जो कलात्मक मूल्यों के पदानुक्रम में विश्वास करता था। शिखर पर गोएथ, पुश्किन और थॉमस मान के लेखन थे, जो बाख, विवाल्डी, मोजार्ट और बीथोवेन की रचनाओं के साथ-साथ काम करते हैं, जिनके स्थायी मूल्य शाश्वत गणितीय सत्य से मिलते-जुलते हैं। कोलमोगोरोव ने जोर देकर कहा कि कला का हर सच्चा काम एक अनूठी रचना है, परिभाषा के अनुसार कुछ असंभव नहीं है, सरल सांख्यिकीय आर्थिक एकता के दायरे के बाहर कुछ है। "क्या यह संभव है कि टॉल्स्टॉय के युद्ध और शांति] को 'सभी संभावित उपन्यासों' के सेट में शामिल किया जाए और इस सेट में एक निश्चित संभावना वितरण के अस्तित्व को आगे बढ़ाया जाए?", उन्होंने व्यंग्यात्मक रूप से 1965 के लेख में पूछा। ।
फिर भी उन्होंने कलात्मक रचनात्मकता की प्रकृति को समझने की कुंजी खोजने की लालसा की। 1960 में कोलमोगोरोव ने शोधकर्ताओं के एक समूह को इलेक्ट्रोमैकेनिकल कैलकुलेटर के साथ सशस्त्र किया और उन पर रूसी कविता की लयबद्ध संरचनाओं की गणना के कार्य का आरोप लगाया। कोलमोगोरोव विशेष रूप से शास्त्रीय मीटर से वास्तविक लय के विचलन में रुचि रखते थे। पारंपरिक काव्यों में, आयम्बिक मीटर एक लय है जिसमें एक अस्थिर शब्दांश होता है जिसके बाद एक तनावपूर्ण शब्दांश होता है। लेकिन व्यवहार में, इस नियम का शायद ही कभी पालन किया जाता है। पुश्किन की यूजीन वनगिन में, रूसी भाषा की सबसे प्रसिद्ध शास्त्रीय आयंबिक कविता, इसकी 5,300 लाइनों में से लगभग तीन-चौथाई आयंबिक मीटर की परिभाषा का उल्लंघन करती है, और सभी सिलेबल्स के पांचवें से अधिक भी अस्थिर है। कोलमोगोरोव का मानना ​​था कि शास्त्रीय मीटर से तनाव के विचलन की आवृत्ति एक कवि के उद्देश्य "सांख्यिकीय चित्र" की पेशकश करती है। तनावों का एक असंभावित पैटर्न, उन्होंने सोचा, कलात्मक आविष्कार और अभिव्यक्ति का संकेत दिया। पुश्किन, पास्टर्नक और अन्य रूसी कवियों का अध्ययन करते हुए, कोलमोगोरोव ने तर्क दिया कि उन्होंने अपनी कविताओं या अंशों को "सामान्य रंग" देने के लिए मीटर में हेरफेर किया था।

कोलमोगोरोव के लिए संगीत और साहित्य का गहरा महत्व था, उनका मानना ​​था कि वह मानव मस्तिष्क के आंतरिक कामकाज में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए संभावित रूप से उनका विश्लेषण कर सकते हैं।

ग्रंथों की कलात्मक योग्यता को मापने के लिए, कोलमोगोरोव ने प्राकृतिक भाषा के एन्ट्रापी का मूल्यांकन करने के लिए एक पत्र-अनुमान विधि भी नियुक्त की। सूचना सिद्धांत में, एन्ट्रॉपी अनिश्चितता या अप्रत्याशितता का एक उपाय है, जो किसी संदेश की सूचना सामग्री के अनुरूप होता है: जितना अधिक अप्रत्याशित संदेश, उतनी ही अधिक जानकारी होती है। कोलमोगोरोव ने कलात्मक मौलिकता के एक उपाय में प्रवेश किया। उनके समूह ने प्रयोगों की एक श्रृंखला आयोजित की, जिसमें स्वयंसेवकों को रूसी गद्य या कविता का एक टुकड़ा दिखाया गया और उनसे अगले अक्षर, फिर अगला, और इसी तरह का अनुमान लगाने के लिए कहा गया। कोलमोगोरोव ने निजी तौर पर टिप्पणी की कि, सूचना सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सोवियत समाचार पत्र कविता की तुलना में कम जानकारीपूर्ण थे, क्योंकि राजनीतिक प्रवचन ने बड़ी संख्या में स्टॉक वाक्यांशों को नियोजित किया था और इसकी सामग्री में अत्यधिक पूर्वानुमान था। दूसरी ओर, महान कवियों के छंदों को काव्य रूप द्वारा उन पर लगाए गए कठोर सीमाओं के बावजूद, भविष्यवाणी करना अधिक कठिन था। कोलमोगोरोव के अनुसार, यह उनकी मौलिकता का प्रतीक था। सच्ची कला की संभावना नहीं थी, एक गुणवत्ता संभावना सिद्धांत को मापने में मदद मिल सकती है।
कोलमोगोरोव ने सभी उपन्यासों के एक संभाव्य नमूना स्थान में युद्ध और शांति को रखने के विचार को जन्म दिया - लेकिन वह इसकी जटिलता की गणना करके अपनी अप्रत्याशितता व्यक्त कर सकता था। कोलमोगोरोव ने किसी वस्तु के सबसे छोटे विवरण की लंबाई के रूप में जटिलता की कल्पना की, या एक वस्तु का उत्पादन करने वाले एल्गोरिथ्म की लंबाई। नियतात्मक वस्तुएँ सरल हैं, इस अर्थ में कि वे एक छोटे एल्गोरिथ्म द्वारा उत्पादित कर सकते हैं: कहते हैं, शून्य और लोगों का आवधिक अनुक्रम। वास्तव में यादृच्छिक, अप्रत्याशित वस्तुएं जटिल हैं: किसी भी एल्गोरिथम को पुन: उत्पन्न करने वाली वस्तुओं को स्वयं वस्तुओं के रूप में लंबे समय तक रहना होगा। उदाहरण के लिए, अपरिमेय संख्याएं - जिन्हें अंश के रूप में नहीं लिखा जा सकता है - निश्चित रूप से दशमलव बिंदु के बाद दिखाई देने वाली संख्याओं में कोई पैटर्न नहीं है। इसलिए, अधिकांश तर्कहीन संख्याएं जटिल वस्तुएं होती हैं, क्योंकि वास्तविक अनुक्रम लिखकर ही उनका पुनरुत्पादन किया जा सकता है। जटिलता की यह समझ सहज धारणा के साथ फिट बैठती है कि ऐसी कोई विधि या एल्गोरिथ्म नहीं है जो यादृच्छिक वस्तुओं का अनुमान लगा सके। यह एक वस्तु को निर्दिष्ट करने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल संसाधनों के एक उपाय के रूप में अब महत्वपूर्ण है, और आधुनिक-दिन नेटवर्क रूटिंग, एल्गोरिदम को छांटने और डेटा संपीड़न में कई एप्लिकेशन पाता है।

कोलमोगोरोव के स्वयं के उपाय से, उनका जीवन एक जटिल था। जब वे मारे गए, तब तक 1987 में, 84 साल की उम्र में, उन्होंने न केवल एक क्रांति, दो विश्व युद्ध और शीत युद्ध की भविष्यवाणी की थी, लेकिन उनके नवाचारों ने कुछ गणितीय क्षेत्रों को अछूता छोड़ दिया, और शिक्षाविदों की सीमाओं से परे अच्छी तरह से बढ़ाया। चाहे जीवन के माध्यम से उनकी बेतरतीब पैदल यात्रा उदासीन थी या मशरूम-चुनने की विविधता थी, इसके मोड़ और मोड़ न तो विशेष रूप से अनुमानित थे और न ही आसानी से वर्णित थे। असंभव को पकड़ने और लागू करने में उनकी सफलता ने संभाव्यता सिद्धांत का पुनर्वास किया था, और अनगिनत वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग परियोजनाओं के लिए टेरा फ़र्मा बनाया था। लेकिन उनके सिद्धांत ने अप्रत्याशितता और इसे वर्णित करने के लिए गणितीय उपकरण की स्पष्ट शक्ति के बारे में मानव अंतर्ज्ञान के बीच तनाव को भी बढ़ाया।

कोलमोगोरोव के लिए, उनके विचारों ने न तो मौके को खत्म किया, और न ही हमारी दुनिया के बारे में एक मौलिक अनिश्चितता की पुष्टि की; वे बस एक कठोर भाषा प्रदान करते हैं जो कुछ के लिए ज्ञात नहीं हो सकती है। "निरपेक्ष यादृच्छिकता" की धारणा ने "पूर्ण नियतत्ववाद" से अधिक कोई मतलब नहीं बनाया, उन्होंने एक बार टिप्पणी की, निष्कर्ष निकाला, "हमें अनजाने के अस्तित्व का सकारात्मक ज्ञान नहीं हो सकता है।" कोलमोगोरोव के लिए धन्यवाद, हालांकि, हम कब और क्या समझा सकते हैं। हम क्यों नहीं।