Commercial Arithmetic

वाणिज्यिक अंकगणित(Commercial Arithmetic) -

1.शेयर तथा डिविडेन्ड (Shares and Dividends) -
बड़े-बड़े उद्योग-धन्धे चलाने के लिए कुछ इच्छुक साझीदारों के प्रयत्न से एक कम्पनी स्थापित की जाती है। कम्पनी के प्रबन्ध के लिए डायरेक्टर्स चुन लिए जाते हैं। आवश्यक पूँजी को छोटे-छोटे भागों में बाँट दिया जाता है। इन भागों को शेयर (shares) कहते हैं जो प्रायः 100 या 10 रुपये के होते हैं। कोई भी मनुष्य अपनी इच्छानुसार शेयर खरीद व बेच सकता है। शेयर खरीदने वाले को शेयर होल्डर या भागीदार कहते हैं। लगाई हुई पूँजी के अनुपात में भागीदारों में लाभांश अथवा डिविडेन्ड (Dividend) का बँटवारा हो जाता है।
प्रारम्भ में प्रत्येक भागीदार से इसके भागों का सम्पूर्ण धन न लेकर उसका कुछ भाग लिया जाता है। शेयर का शेष भाग आवश्यकता पड़ने पर उनसे माँग लिया जाता है।

Commercial Arithmetic 

कोई भी भागीदार अपने भागों का धन कम्पनी से वापिस नहीं ले सकता। वह अपने भागों को बेच सकता है। यदि कम्पनी लाभ में होती है तो शेयर का बाजार मूल्य वास्तविक मूल्य से बढ़ जाता है तथा हानि पर शेयर का बाजारी मूल्य घट जाता है। परन्तु शेयर के बाजारी मूल्य का प्रभाव व्यापार की पूँजी पर नहीं पड़ता। मान लो सोहन के पास 100 रुपये का एक शेयर है जिस पर कम्पनी उसे 6% लाभ देती है। सोहन को प्रतिवर्ष 5रुपये लाभ मिलेगा। यदि बाजार में शेयर का मूल्य 115 रुपये हो जाए तो भी भागीदार को 6 रुपये ही लाभ होगा।
कम्पनी शेयर के वास्तविक मूल्य पर लाभ देती है उसके बाजारी मूल्य पर नहीं।
कम्पनी शेयर के उस मूल्य पर लाभांश देती है, जो भुगतान कर दिया गया है। ऊपर के उदाहरण में यदि सोहन ने केवल 75 रुपये ही भुगतान किया है तो कम्पनी उसे (75x6)/100 रुपये अर्थात् 4.50 रुपये ही लाभांश देगी।

2.बैंकिंग (Banking) -

 विश्व के प्रत्येक देश की अपनी एक मुद्रा होती है, जिसकी सहायता से व्यापार चलता है। हमारे देश भारत की मुद्रा रुपया है। जो संस्थाएं मुद्रा का क्रय-विक्रय करती है उन्हें बैंक कहा जाता है। दूसरे शब्दों में बैंक वह संस्था है जहाँ लोग अपनी बचत की धनराशि जमा कर सकते हैं और वहाँ से कुछ शर्तों के अधीन ऋण प्राप्त कर सकते हैं।

3.कराधान (Taxation) -

सरकार को कानून तथा व्यवस्था बनाए रखने, उचित न्याय दिलाने, देश की रक्षा करने, मुद्रा की स्थिति बनाए रखने आदि जैसे कुछ बुनियादी कार्यकलापों को पूरा करने में काफी धन खर्च होता है। समय के साथ सामूहिक माँगें भी बढ़ती जा रही है। जिसका परिणाम यह हुआ कि लोग अब सरकार से यह आशा करने लगे हैं कि वह लोगों के जीवन को बेहतर बनाने और उन्हें अधिक से अधिक सुविधा उपलब्ध कराने में एक महत्त्वपूर्ण भूमिका निभाये। लोक कल्याण राज्य की अब नई परिभाषा यह हो गई है कि आम जनता और उच्च वर्ग के व्यक्तियों के बीच के अन्तर को कम से कम किया जाए। बेरोजगारी दूर करने और शिक्षा, स्वास्थ्य आदि के लिए उत्तम सुविधा उपलब्ध कराने जैसे विभिन्न सामाजिक उपायों को लागू करने की माँग आज के नागरिक सरकार से कर रहे हैं। इन सभी कार्य-कलापों ने सरकार पर एक नई जिम्मेदारी डाल दी है और नतीजे के रूप में सरकारी खर्चे में बढ़ोतरी होती जा रही है। इस खर्चे को पूरा करने के लिए  सरकार सरकार को देश के निवासियों और कुछ स्थितियों में (पर्यटकों और यात्रियों जैसे) अनिवासियों से धन जुटाने की व्यवस्था करनी होती है। जुटाया जाने वाला यह धन विभिन्न स्रोतों से प्राप्त होता है जिसमें एक महत्त्वपूर्ण स्रोत है।

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3(1.)कराधान (Taxation) -

आप आयकर, संपत्ति कर, उपहार कर, बिक्री कर आदि के नाम से अवश्य परिचित होंगें। ये सभी कर प्रत्येक वर्ष केन्द्रीय सरकार के बजट या राज्य सरकारों के बजट में प्रस्तावित किए जाते हैं, बढा़ये जाते हैं या कम किए जाते हैं। केन्द्रीय सरकार द्वारा लगाए गये करों के अन्तर्गत आयकर, संपत्ति कर, उपहार कर, केन्द्रीय उत्पाद एवं सीमा शुल्क, केन्द्रीय बिक्री कर आदि आते हैं जबक राज्य सरकारों द्वारा लगाए गए करों के अन्तर्गत, कृषि राजत्व कर, मनोरंजन कर, राज्य उत्पाद शुल्क और बिक्रीकर आदि आते हैं। नगर निगम, नगर पालिकाएं, केन्टोनमेन्ट बोर्ड, जिला परिषद आदि जैसे स्थानीय निकाय भी कुछ लगाते हैं। इनके द्वारा लाये गये करों के अन्तर्गत संपत्ति कर, व्यावसायिक कर, चुंगी, शिक्षा शुल्क आदि आते हैं। दूसरे शब्दों में यह बिल्कुल स्पष्ट है कि केन्द्रीय सरकार को किन-किन क्षेत्रों में कर लगाना होता है। क्योंकि राज्यों और स्थानीय निकायों की तुलना में केन्द्रीय सरकार को कर से काफी धनराशि प्राप्त होती है, अतः विकास पर किए जाने वाले खर्चों को पूरा करने के लिए केन्द्रीय सरकार अपने केन्द्रीय पूल से प्रत्येक राज्य /संघ-शासित क्षेत्र को वित्तीय सहायता प्रदान करती है। कर के निम्नलिखित लक्षण हैं -
(1.)यह एक अनिवार्य योगदान है, हालांकि इसका भुगतान इच्छानुसार किया जा सकता है।
(2.)यह एक व्यक्तिगत दायित्व है।
(3.)यह एक सार्वहित के प्रति किया गया योगदान है और कुछ अतिरिक्त सुविधा प्राप्त करने की कीमत नहीं है।
(4.)इसे कुछ वैधानिक आवश्यकताओं के अनुसार लगाया जाता है।

3(2.)आयकर (Income Tax) -

यह वह कर है जो कि किसी व्यक्ति या व्यक्ति समूह की आय पर लगाया जाता है। प्रत्येक उस व्यक्ति (या व्यक्ति समूह) को, जिसकी वार्षिक आय एक निर्धारित सीमा से अधिक है, अपनी आय का एक अंश आयकर के रूप में सरकार को देना होता है। प्रत्येक वित्तीय वर्ष (Financial Year) के प्रारम्भ में ही सरकार आयकर की दरे निर्धारित कर देती है।
4.किश्तों के अन्तर्गत भुगतान (Payment in Instalments) -
बैंक जो रुपया ऋण के रूप में देते हैं उसका भुगतान प्रायः वे किश्तों के में लेते हैं। बीमा की धनराशि का भुगतान भी किश्तों में किया जाता है। कभी-कभी व्यापारी और दुकानदार भी अपने ग्राहकों को किश्तों पर भुगतान करने की सुविधा देते हैं। कुछ व्यक्ति मकान आदि पर किश्तों पर खरीदते हैं। ऋण शोधन निधि के लिए बचत भी किश्तों में की जाती है।
निश्चित शर्तो के अधीन समान समय अन्तराल पर भुगतान करने को किश्तों में भुगतान करना कहते हैं। जितनी धनराशि एक समय अन्तराल में भुगतान की जाती है उसे किश्त की राशि या संक्षेप में किश्त (Instalment) भी कहते हैं।

5.साझा (Partnership) -

दो अथवा अधिक व्यक्तियों के मिलकर व्यापार करने को साझा (partnership) कहते हैं और प्रत्येक व्यक्ति को साझा या साझीदार (Partner) कहते हैं। साझीदारों के लगे धन को पूँजी कहते हैं। अन्त में व्यापार में होने वाले लाभ या हानि को पूँजी के परिमाण और उसके लगे रहने के समय के अनुपात में साझीदारों को वितरित कर दिया जाता है।
साझा के प्रकार - साझा निम्न दो प्रकार का होता है -
(1.) साधारण साझा (2.) जटिल साझा
(1.)साधारण साझा - वह है जिसमें साझीदार अपनी पूँजी समान समय के लिए लगाते हैं। इसमें लाभ या हानि को पूँजी के अनुपातों के अनुसार बाँट दिया जाता है।
(2.)जटिल साझा - वह है जिसमें साझीदार अपनी पूँजी भिन्न-भिन्न समयों के लिए लगाते हैं। अतः वर्ष के अन्त में प्रत्येक साझीदार को हुआ लाभ या हानि उसके द्वारा लगाई हुई पूँजी तथा समय दोनों पर निर्भर करता है।

Mathematics Club

गणित क्लब (Mathematics club) -

1.भूमिका (Introduction) -

सामान्यतः गणित को एक कठिन विषय के रूप में जाना जाता है। यह स्थिति नई नहीं है। प्राथमिक स्तर से ही इस विषय के संबंध में विद्यार्थियों के ऐसे विचार बन जाते हैं। शायद ऐसे ही विचार शिक्षकों और माता-पिता तथा अभिभावकों के भी हों। दूसरी ओर यह भी स्थिति है कि गणित विषय की ओर विद्यार्थी बड़ी संख्या में आकर्षित होते हैं। इस विरोधाभास का प्रमुख कारण यह है कि गणित को कठिन मानते हुए भी विद्यार्थी इस विषय का चयन इसकी व्यावहारिक उपयोगिता (practical utility) के कारण करते हैं। जीवन में गणित के महत्त्व को सभी समझते हैं। फिर भी इसकी उपयोगिता इसको आकर्षक नहीं बना सकी। गणित प्रतीकों का शास्त्र है। इसमें सूक्ष्म (Abstract) तत्त्वों की प्रधानता है। विद्यार्थी स्कूल जगत के ज्ञान को आसानी से आत्मसात (Assimilate) कर लेते हैं। किन्तु उन्हें गणित के सूक्ष्म तत्त्वों को समझने में कठिनाई होती है। दूसरी बात यह है कि गणित में विद्यार्थियों को मनोरंजक सामग्री बहुत कम मिलती है। अतः गणित में विद्यार्थियों की अभिरूचि बढ़ाने के लिए इसमें मनोरंजन को सम्मिलित किया जाना आवश्यक है। इससे इसकी सूक्ष्मता से होने वाली कठिनाई को कम करना सम्भव है। कक्षा अनुदेशन (class-room instruction) में मनोरंजन को पर्याप्त रूप से शामिल करना मुश्किल है। मनोरंजन हेतु उपयुक्त और औपचारिक संगठन गणित क्लब है। विश्वभर के सभी क्षेत्रों में अवकाश के सदुपयोग और मनोरंजन के लिए क्लबों को बनाया जाता है। अतः गणित विषय को अधिक रुचिकर बनाने के लिए माध्यमिक स्तर पर गणित क्लब का गठन किया जाना चाहिए। क्लब स्वयं तो गणित में अभिरुचि की वृद्धि और उसका अनुरक्षण करता है। साथ ही उपर्युक्त क्रियाओं के आयोजन के लिए सार्थक मंच भी है क्योंकि इनका आयोजन आवश्यकता के अनुरूप कक्षा शिक्षण के अन्तर्गत नहीं किया जा सकता।

2.क्लब की गतिविधि-

Mathematics Club 

मनोरंजन (Recreation) के लिए खेल (Games), क्रीड़ा (plays), पहेलिका (puzzle),प्रश्नोत्तरी (Quiz) ,उपाख्यान (Phecdotes) जैसी क्रियाएं उपलब्ध है किन्तु अनुदेशन में इन क्रियाओं को नियमित रूप से पर्याप्त समय दे पाना सम्भव नहीं है। इनका आयोजन गणित क्लब के द्वारा ही किया जा सकता है। इनके आयोजनों से गणित शिक्षण की नीरसता कम करने में सहायता मिल सकती है।

सभी विद्यार्थी खेलों और क्रीड़ाओं को पसन्द करते हैं। विशेष रूप से उन खेलों को माध्यमिक स्तर तक के विद्यार्थी पसन्द करते हैं जिनमें रहस्य, कौतूहल और आश्चर्य के तत्त्व मौजूद हों। गणितीय पहेलियों, कूट प्रश्नों और प्रतिस्पर्धाओं में ये सब बातें होती हैं। यदि क्लब के द्वारा आयोजित इन क्रियाओं का सन्दर्भ कक्षा-शिक्षण में दिया जाय और इनकी सहायता समस्याओं के समाधान में की जाय तो गणित में विद्यार्थियों की अभिरुचि में आवश्यक वृद्धि की जा सकती है।

3.गणित क्लब की उपादेयता

गणित क्लब के द्वारा गणित के अध्ययन को बल और उद्दीपन प्रदान किए जाते हैं। इसकी सहायता स्वैच्छिक होती है इसलिए इसमें वही विद्यार्थी शामिल होते हैं जो कि वास्तव में गणित में रुचि रखते हैं तथा विषय का वह स्वरूप जानना चाहते हैं जो कि कक्षा कार्य से भिन्न होता है। गणित क्लब में होने वाले आयोजन किसी औपचारिक क्रमिक व्यवस्था का अनुसरण नहीं करते। इनमें उन आयोजनों को अवसर दिए जाते हैं जो कि उसके सदस्यों की चाह के अनुरूप हों। माध्यमिक स्तर के विद्यार्थी परस्पर मिल-जुलकर रहना चाहते हैं। वे मानसिक (Mental), सामाजिक (social), पारिवारिक सम्बन्धों (Family Relationship) की पृष्ठभूमि में एक-दूसरे पर आश्रित रहते हैं वे अपने विचार दूसरों को सुनना चाहते हैं तथा दूसरों के विचार भी सुनना चाहते हैं। वे दूसरों की आलोचना का आनंद लेते हैं तो अपनी आलोचना को भी सुनना चाहते हैं। एक-दूसरे से उनकी मत-भिन्नता अभिरुचि (Intrest) को उद्दीप्त (stimulate) और विचार-विमर्श (Discussion) को अभिप्रेरित करती है। गणित क्लब ऐसा आदर्श मंच प्रदान करता है जिसमें गणितीय विचारों का स्वतंत्र (Free) आदान-प्रदान हो सकता है। इसमें गणितीय विचारों की स्पष्ट समालोचना के लिए अवसर मिलते हैं। गणित क्लब ऐसा अनौपचारिक सामाजिक वातावरण उपलब्ध कराता है जैसा कि नियमित कक्षा में सम्भव नहीं हो सकता है। इसमें स्वतन्त्र सामाजिक अन्तर्क्रिया (Interaction) के लिए पर्याप्त अवसर मिलते हैं।

4.गणित क्लब का गठन (Organization) - 

गणित क्लब के सदस्यों का गठन विद्यार्थियों द्वारा होना चाहिए। शिक्षक की भूमिकाएं पथ-प्रदर्शक (Guide) परामर्शदाता (Advisor) तक ही सीमित हो। उनको क्लब का संचालन सही तरह से करने में विद्यार्थियों की सहायता करनी चाहिए।
विद्यालय प्रधान इसके संरक्षक बने। इसकी सहायता स्वैच्छिक हो किन्तु सदस्य संख्या सीमित रखी जानी चाहिए जिससे कि सभी सदस्यों की अपेक्षाओं (Expectations) को सन्तुष्ट किया जा सके। इसके उद्देश्य स्पष्ट हों। प्रत्येक सदस्य में सक्रिय भागीदारी अनिवार्य हो। प्रायोजक (sponsor) गणित का वरिष्ठ शिक्षक हो जो कि इस प्रकार के संगठनों का संचालन कुशलता से करने में प्रवीण हो। क्लब की बैठकें नियमित रूप से विधान के अनुसार आहूत की जायें। इसकी कार्यकारिणी में अध्यक्ष, उपाध्यक्ष, सचिव, सह-सचिव, कोषाध्यक्ष जैसे पदाधिकारी हों। इनका चुनाव सदस्यों द्वारा किया जाय। कार्यकारिणी और साधारण सभा की बैठकें अध्यक्ष के ही सदस्यों द्वारा किया जाए। कार्यकारिणी और साधारण सभा की बैठकें अध्यक्ष के ही सभापतित्व में होनी चाहिए। सदस्यों का मानसिक स्तर लगभग समान हो तो उनकी रुचि क्लब के कार्यक्रमों में बनी रहेगी। इसके लिए सर्वप्रथम एक विधान बनाया जाए। इसकी वित्तीय व्यवस्था विद्यालय कोष तथा सदस्यता शुल्क से की जाए। स्वयंसेवी संगठनों, राज्य एवं केंद्र सरकार के सम्बन्धित विभागों और एन. सी. ई. आर. टी. से वित्तीय अनुदान प्राप्त किए जा सकते हैं।

The Deepest Uncertainty When a hypothesis is neither true nor false

The Deepest Uncertainty When a hypothesis is neither true nor false

1.सबसे गहरी अनिश्चितता जब एक परिकल्पना न तो सत्य है और न ही असत्य(The Deepest Uncertainty When a hypothesis is neither true nor false)-

जॉर्ज कैंटर की मृत्यु 1918 में जर्मनी के हाले में एक अभयारण्य में हुई थी। एक पूर्व-प्रख्यात गणितज्ञ, उन्होंने 1870 के दशक में अनंत संख्याओं के सिद्धांत की नींव रखी थी। उस समय, उनके विचारों को यूरोप के प्रमुख गणितज्ञों से शत्रुतापूर्ण विरोध प्राप्त हुआ, उनमें से प्रमुख, लियोपोल्ड क्रोनकर, एक बार कैंटर के शिक्षक थे। अवसाद के अपने पहले ज्ञात युद्ध में, कैंटर ने स्वीडिश गणितज्ञ गोस्टा मितग-लेफ़लर को 52 पत्र लिखे, जिनमें से प्रत्येक ने क्रोनकर का उल्लेख किया।
लेकिन यह क्रोनर द्वारा सिर्फ अस्वीकृति नहीं थी जिसने कैंटर को अवसाद में धकेल दिया; यह 1878 में तैयार किए गए एक विशेष गणितीय अनुमान को साबित करने में उनकी असमर्थता थी, और यह सच था कि कॉन्टिनम हाइपोथीसिस कहा जाता है। लेकिन अगर वह खुद को दोषी ठहराता है, तो उसने ऐसा किया। अनुमान पर बहस गहन रूप से अनिश्चित है: 1940 में कर्ट गोडेल ने यह साबित कर दिया कि कॉन्टिनम हाइपोथीसिस को अस्वीकार नहीं किया जा सकता है (तकनीकी रूप से, परिकल्पना की उपेक्षा साबित नहीं की जा सकती है), और 1963 में पॉल कोहेन ने साबित कर दिया कि इसे साबित नहीं किया जा सकता है। गरीब कैंटर ने खुद को चाटने के लिए काफी मस्तूल चुना था।
अवसाद के अपने पहले ज्ञात युद्ध में, कैंटर ने स्वीडिश गणितज्ञ गोस्टा मितग-लेफ़लर को 52 पत्र लिखे, जिनमें से प्रत्येक ने क्रोनकर का उल्लेख किया।
हालांकि, यह कैसे संभव है, क्योंकि किसी चीज के लिए न तो साबित करने योग्य है और न ही अस्वीकार्य है? एक सटीक उत्तर में कई पृष्ठ परिभाषाएँ, नींबू और सबूत होंगे। लेकिन हम इस बात को महसूस कर सकते हैं कि इस अजीबोगरीब सच्चाई की स्थिति में और भी तेजी से शामिल है।

2.कैंटर का कॉन्टिनम हाइपोथीसिस(Cantor's Continuum Hypothesis)-

कैंटर का कॉन्टिनम हाइपोथीसिस अनंत के आकार के बारे में एक बयान है। यह देखने के लिए कि अनंत का आकार एक से अधिक कैसे हो सकता है, आइए सबसे पहले खुद से पूछें कि सामान्य संख्या के आकार की तुलना कैसे की जाती है। एक छोटे जंगल में बकरियों के संग्रह पर विचार करें। यदि छह बकरियां और छह पेड़ हैं, और प्रत्येक बकरी को एक अलग पेड़ से जोड़ा जाता है, तो प्रत्येक बकरी और पेड़ को विशिष्ट रूप से जोड़ा जाता है। इस जोड़ी को बकरियों और पेड़ों के बीच एक "पत्राचार" कहा जाता है। यदि, हालांकि, छह बकरियां और आठ पेड़ हैं, तो हम इस तरह के पत्राचार को स्थापित करने में सक्षम नहीं होंगे: चाहे हम कितनी भी कोशिश कर लें, बकरी मुक्त दो पेड़ होंगे।
छह बकरियों की तुलना में बहुत बड़े संग्रह के आकार की तुलना करने के लिए पत्राचार का उपयोग किया जा सकता है - जिसमें अनंत संग्रह शामिल हैं। नियम यह है कि, यदि एक पत्राचार दो संग्रह के बीच मौजूद है, तो उनका आकार समान है। यदि नहीं, तो एक बड़ा होना चाहिए। उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह {1,2,3,4,…} में पाँच {5,10,15,20,…} के सभी गुणकों का संग्रह है। पहली नज़र में, यह इंगित करता है कि प्राकृतिक संख्याओं का संग्रह पांच के गुणकों के संग्रह से बड़ा है। लेकिन वास्तव में वे आकार में समान होते हैं: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को विशिष्ट रूप से पांच के साथ जोड़ा जा सकता है जैसे कि संग्रह में कोई भी संख्या अप्राप्त नहीं है। इस तरह के एक पत्राचार में नंबर 1 को 5, 2 के साथ 10 और इसी तरह जोड़ा जाएगा।
यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के साथ "वास्तविक" संख्याओं की तुलना करने के लिए इस अभ्यास को दोहराते हैं (इनमें संपूर्ण संख्याएँ, भिन्न, दशमलव और अपरिमेय संख्याएँ शामिल हैं), तो हम पाते हैं कि वास्तविक संख्याओं का संग्रह बड़ा है। दूसरे शब्दों में, यह साबित किया जा सकता है कि दो संग्रहों के बीच एक पत्राचार मौजूद नहीं है।
कॉन्टिनम हाइपोथीसिस में कहा गया है कि प्राकृतिक संख्याओं के संग्रह से बड़ा वास्तविक संख्याओं का कोई अनंत संग्रह नहीं है, लेकिन सभी वास्तविक संख्याओं के संग्रह की तुलना में छोटा है। कैंटर आश्वस्त था, लेकिन कभी भी इसे साबित नहीं कर सका।
यह देखने के लिए कि गणित के प्रमाण में क्या है, इस पर विचार करके शुरुआत करें। गणित के परिणाम स्वयंसिद्ध और तर्क का उपयोग करके सिद्ध होते हैं। Axioms आदिम गणितीय अवधारणाओं के बारे में कथन हैं जो इतने सहज रूप से स्पष्ट हैं कि कोई उनकी वैधता पर सवाल नहीं उठाता है। एक स्वयंसिद्ध का एक उदाहरण है, किसी भी प्राकृतिक संख्या (जो एक आदिम अवधारणा है) को देखते हुए, एक बड़ी प्राकृतिक संख्या मौजूद है। यह स्वयं स्पष्ट है, और गंभीर संदेह में नहीं। तर्क का उपयोग तब स्वयंसिद्ध परिणामों से परिष्कृत परिणाम प्राप्त करने के लिए किया जाता है। आखिरकार, हम मॉडल का निर्माण करने में सक्षम हैं, जो गणितीय संरचनाएं हैं जो स्वयंसिद्ध संग्रह को संतुष्ट करती हैं।
तर्क के उपयोग के माध्यम से, स्वयंसिद्ध रूप से स्वयंसिद्ध सिद्ध किया गया कोई भी कथन किसी भी मॉडल में व्याख्या करने पर सही होगा जो उन स्वयंसिद्धों को सत्य बनाता है।
यदि छह बकरियां और आठ पेड़ हैं, तो हम इस तरह के पत्राचार को स्थापित करने में सक्षम नहीं होंगे: कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितना प्रयास करते हैं, बकरी मुक्त दो पेड़ होंगे।
यह एक उल्लेखनीय तथ्य है कि सभी गणित एक संग्रह की आदिम अवधारणा से संबंधित स्वयंसिद्धों का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं (आमतौर पर गणित में "सेट" कहा जाता है)। गणित की शाखा जो इस काम को करती है, उसे सेट सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। पहले सेट की भाषा (जो हमेशा किया जा सकता है) में कथन की व्याख्या करके, पहले गणितीय तर्क को साबित किया जा सकता है, और फिर सेट के स्वयंसिद्धों पर तर्क लागू किया जा सकता है। कुछ सेट स्वयंसिद्धों में शामिल है कि हम एक नए सेट बनाने के लिए एक सेट के विशेष तत्वों को एक साथ इकट्ठा कर सकते हैं; और वहाँ एक अनंत सेट मौजूद है।
कर्ट गोडेल ने एक मॉडल का वर्णन किया जो सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, जो एक अनंत सेट के अस्तित्व के लिए अनुमति नहीं देता है जिसका आकार प्राकृतिक संख्याओं और वास्तविक संख्याओं के बीच है। इसने कॉन्टिनम हाइपोथीसिस को अव्यवस्थित होने से रोक दिया। उल्लेखनीय रूप से, कुछ साल बाद, पॉल कोहेन सेट सिद्धांत के एक अन्य मॉडल को खोजने में सफल रहे, जो सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों को भी संतुष्ट करता है, जो इस तरह के एक सेट के अस्तित्व के लिए करता है। इसने कॉन्टिनम हाइपोथीसिस को साबित होने से रोक दिया।

3. कॉन्टिनम हाइपोथीसिस का प्रमाण होने के लिए दूसरा तरीका (Another way to prove the evidence of continental hypothyroidism)-

दूसरा तरीका रखो: कॉन्टिनम हाइपोथीसिस का प्रमाण होने के लिए, इसे सेट सिद्धांत के सभी मॉडलों में सही होना होगा, जो यह नहीं है। इसी तरह, हाइपोथीसिस को नापसंद करने के लिए, इसे सेट सिद्धांत के सभी मॉडलों में अमान्य रहना होगा, जो कि यह भी नहीं है।
यह संभव है कि नया, जैसा कि अभी तक अज्ञात है, स्वयंसिद्ध हाइपोथीसिस को सही या गलत दिखाएगा। उदाहरण के लिए, मौजूदा लोगों से सेट बनाने के लिए एक नया तरीका प्रदान करने वाला एक स्वयंसिद्ध शब्द हमें हाइपोथीसिस को नापसंद करने वाले अज्ञात अज्ञात सेट बनाने की क्षमता प्रदान कर सकता है। ऐसे कई स्वयंसिद्ध हैं, जिन्हें आमतौर पर "बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध" के रूप में जाना जाता है। ये स्वयंसिद्ध आधुनिक सेट सिद्धांत में अनुसंधान की एक सक्रिय शाखा बनाते हैं, लेकिन कोई कठिन निष्कर्ष नहीं निकला है।
कॉन्टिनम हाइपोथीसिस के आसपास की अनिश्चितता अद्वितीय और महत्वपूर्ण है क्योंकि यह गणित की संरचना के भीतर गहरी निहित है। यह विज्ञान के दर्शन और स्वयंसिद्ध पद्धति के विषय में गहन मुद्दों को उठाता है। ब्रह्मांड का वर्णन करने में गणित को "अनुचित रूप से प्रभावी" दिखाया गया है। इसलिए यह आश्चर्य करना स्वाभाविक है कि क्या ब्रह्मांड में काम करने के तरीके के बारे में गणित में निहित अनिश्चितताएं अंतर्निहित अनिश्चितताओं में बदल जाती हैं। क्या ब्रह्माण्ड के मूल नियमों में मूलभूत रूप से अनुकूलता है? क्या यह संभव है कि अलग-अलग ब्रह्मांड हैं जहां गणितीय तथ्यों को अलग तरीके से प्रस्तुत किया गया है? जब तक कॉन्टिनम की परिकल्पना हल नहीं हो जाती है, तब तक किसी को यह निष्कर्ष निकालने के लिए लुभाया जा सकता है कि वहाँ हैं

Great Expectations in Mathematics Education

1.शिक्षा में शानदार उम्मीदें(Great Expectations in Education)-

Great Expectations in Education

पांडित्य जानबूझकर। हम सभी लोगों के रूप में विकसित हुए, अपने आप को, दुनिया को और इसके भीतर अपनी जगह को बेहतर ढंग से समझने के लिए। हमने महानता हासिल की।
यह महानता उच्च उम्मीदों का परिणाम थी। इसमें शामिल प्रत्येक हितधारक दूसरों के लिए उच्च उम्मीदें रखता था। फिर, हमने एक दूसरे का समर्थन किया और हमारे सीखने की जगह और संस्कृति को बनाने में सहयोग किया। सीखने के बारे में अनुसंधान द्वारा सूचित, हमने सहयोगी रूप से शिक्षाशास्त्र, कार्यक्रम और पाठ्यक्रम के लिए एक रूपरेखा तैयार की। हमने नियमित रूप से छात्र और शिक्षक की प्रतिक्रिया और आवश्यकताओं की मांग की और जवाब दिया। शिक्षकों ने ग्रेड पुरस्कार या प्रदर्शन का आकलन नहीं किया। उन्होंने सीखने के अर्थ देने और जवाबदेही को आकार देने में छात्रों का समर्थन किया। और, यह शक्तिशाली रूप से कठोर था। हमने महानता हासिल की क्योंकि हम इस धारणा में झुक गए थे कि व्यक्तिगत विकास सीखने के समर्थक और चुनौतीपूर्ण समुदाय होने पर निर्भर था।

2.शिक्षण और शिक्षण का सिद्धांत (Principle of Learning and Teaching)-

महानता के लिए निशाना लगाओ और इसे प्राप्त करने की हर किसी की क्षमता पर विश्वास करो।
उच्च उम्मीदों को पकड़ना उन शिक्षकों के बीच लंबे समय से रुकावट है जो हर छात्र की सेवा करना चाहते हैं, न कि केवल कक्षा में पहुंचने वाले लोग प्रदर्शन के लिए तैयार हैं। पारंपरिक शिक्षाशास्त्र में, उच्च उम्मीदें ग्रेड, टेस्ट स्कोर और व्यवहार के बारे में हैं। वे छात्र की भूमिका निभाने में सफलता के बारे में हैं - सामग्री प्राप्त करते हैं और इसे पुन: प्राप्त करके "महारत" साबित करते हैं। शिक्षक की भूमिका एक सम्मोहक तरीके से सामग्री की पेशकश करना और मानकों को पूरा करने के लिए छात्रों को जिम्मेदार ठहराना है।
आपको इस दृष्टिकोण की विफलता के सबूत खोजने के लिए दूर नहीं देखना पड़ेगा। हमारे सिस्टम में महानता की कमी के लिए कौन जिम्मेदार है, इस पर शिक्षकों की यूनियनों, प्रशासकों और नीति निर्माताओं ने लड़ाई की कॉलेज के संक्रमण में छात्रों के साथ मेरे काम में, यहां तक ​​कि असाधारण ग्रेड और परीक्षा के अंकों के माध्यम से "महानता" हासिल करने वालों को कॉलेज के प्रवेश से परे कोई उद्देश्य या अर्थ नहीं था। कॉलेज प्रवेश के रूप में प्रतिस्पर्धी के रूप में, यह उपलब्धि के लिए एक दर्दनाक कम बार है। यह गुणात्मक मान्यताओं में निहित है जो केवल कुछ ही महान हो सकते हैं।
शिक्षा में महान परिणामों को प्राप्त करने के लिए शिक्षार्थियों और शिक्षकों के लिए उच्च अपेक्षाओं की आवश्यकता होती है। लेकिन, इसके लिए इससे अधिक की आवश्यकता है। इसे एक सामान्य लक्ष्य की ओर पूरे सीखने वाले समुदाय के बीच सहयोग की आवश्यकता होती है। इसके लिए गंभीर रूप से जांच की गई है और स्पष्ट रूप से स्पष्ट मूल्यों की आवश्यकता है। छात्रों में सभी सही इनपुट डालने के बारे में महानता प्राप्त करना सही नहीं है, इसलिए वे सही आउटपुट बाहर थूकते हैं। यह व्यक्तिगत जिम्मेदारी और पारस्परिक समर्थन में निहित एक केंद्रित समुदाय बनाने के बारे में है। हर कोई महान शिक्षा और महान शिक्षण के लिए जिम्मेदार है।

3."महानता" को परिभाषित करना(Defining “Greatness”)-

मैं शिक्षा में महान उपलब्धि को दुनिया और खुद को समझने की निरंतर खोज मानता हूं ताकि हम अपने जीवन को अपने मूल्यों के साथ संरेखित कर सकें। शिक्षार्थियों द्वारा पूछे जाने वाले प्रश्नों की गुणवत्ता में महानता देखी जा सकती है, विनम्रता जिसके साथ वे समझ का पीछा करते हैं, और उनकी क्षमता दूसरों को प्रभावी रूप से सीखने की प्रक्रिया में लाने की क्षमता है। महानता का मूल्यांकन सीखने वाले की समाज में सार्थक और सकारात्मक योगदान करने की क्षमता से होता है।
महानता के इस निर्धारण से प्रत्येक व्यक्ति में पर्याप्त क्षमता है। यह सीखने की क्षमताओं या चुनौतियों के आधार पर महानता को सीमित नहीं करता है। यह जाति, धर्म, वर्ग या लिंग को महानता की क्षमता को प्रभावित नहीं करता है। यह एक "महानता" से अलग है जो मेरिटोक्रेसी के साथ संरेखित करता है, जहां हमारे समाज में "जीतने वाले" इसके लायक हैं, और बाकी सभी या तो काम नहीं कर सकते हैं या नहीं करेंगे।
वास्तविक दुनिया में इस तरह की महानता क्या दिखती है? यह इस तथ्य को स्वीकार करता है कि दुनिया किसी भी चीज़ की "महारत" का दावा करने के लिए बहुत जटिल और गतिशील है। वे स्वीकार करते हैं कि वे क्या नहीं जानते हैं, अच्छे सवाल पूछने पर ध्यान केंद्रित करें, और दूसरों को उनकी जिज्ञासा में साझा करने के लिए कहें। वे उन समुदायों में योगदान करते हैं, जो उत्तरों के साथ व्यक्ति के रूप में देखे जाने की होड़ में नहीं हैं, बल्कि लोगों को एक साथ लाकर सहयोगात्मक समझ पैदा करते हैं, परिकलित जोखिम उठाते हैं, और लगातार परिणामों में सुधार करते हैं। वे दूसरों की वास्तविकताओं को देखते हुए, उनके मूल्यों पर गंभीर रूप से प्रतिबिंबित करते हैं, और पूरे समुदाय की सेवा करने के लिए अपनी आवाज़ का लाभ उठाते हुए सेवा करते हैं।

4.एक शिक्षक के रूप में महानता हासिल करना(Pursuing Greatness as a Teacher)-

यह सिद्धांत मानता है कि सभी में महानता की क्षमता है, जिसमें शिक्षक भी शामिल हैं। कोई भी शिक्षक मानविकी, परिवर्तनकारी शिक्षा देने के लिए तैयार सीखने की जगह में कदम नहीं रखता है। शिक्षा एक ऐसा पेशा है, जहां 44% नए शिक्षक पांच साल के भीतर कक्षा छोड़ देंगे। और, महान शिक्षण के लिए वर्षों के अनुभव और जानबूझकर समर्थन की आवश्यकता होती है। यह महत्वपूर्ण है कि हम सीखने वाले समुदायों का निर्माण करें जो शिक्षकों को महानता की खोज में उनका समर्थन करते हैं। इसके लिए चिंतनशील अभ्यास, छात्रों के साथ सीखने की जगह का साझा स्वामित्व और प्रतिक्रिया सुनने और प्राप्त करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।
कक्षा में मेरे पहले वर्ष के दौरान, एक अनुभवी शिक्षक ने चार युवा शिक्षकों को चिंतनशील अभ्यास के लिए एक टीम बनाने के लिए आमंत्रित किया। प्रत्येक सप्ताह, हमने अवलोकन करने के लिए एक शिक्षक की पहचान की। उनकी अनुमति मांगने के बाद, हम पंद्रह मिनट तक निरीक्षण करते हैं। हमारे नेता ने एक सख्त नियम निर्धारित किया है: केवल उन चीज़ों पर ध्यान दें, जिन्हें हम पसंद करते हैं। मंगलवार की दोपहर, हम अपनी टिप्पणियों को साझा करने के लिए स्कूल के बाद इकट्ठा होते हैं और चर्चा करते हैं कि शिक्षक के शिक्षण और अभ्यास ने हमारे अपने काम के बारे में हमारी सोच को कैसे चुनौती दी। फिर हम नोट्स संकलित करते हैं और उन्हें प्रेक्षित शिक्षक के साथ साझा करते हैं।
मैंने पहले या बाद में एक शिक्षक के रूप में कुछ भी नहीं किया है, मेरे शिक्षण पर इतना नाटकीय प्रभाव पड़ा है। मैंने प्रभावी सामग्री सहभागिता और कक्षा प्रबंधन रणनीतियों का अवलोकन किया। मुझे अपने साथियों और हमारी टीम की मूलभूत रूप से सकारात्मक संस्कृति में भावनात्मक समर्थन मिला। हालाँकि टिप्पणियों ने मुझे याद दिलाया कि मैं जिस महानता की आकांक्षा से एक लंबा रास्ता तय कर रहा था, उन्होंने मुझे भी आशा की भावना दी कि मैं वहाँ पहुँच सकता हूँ। मैंने सीखा कि महान शिक्षण के लिए कोई जादू नहीं है। यह जानबूझकर मेरी व्यक्तिगत ताकत में झुकाव और सुधार के लिए क्षेत्रों को संबोधित करने के बारे में है। मुझे अपने विद्यालय में एक शिक्षार्थी के रूप में समर्थन की आवश्यकता थी। दुर्भाग्य से, कई स्कूल शिक्षकों के लिए इस स्थान और संस्कृति को बनाने में विफल रहते हैं। हमारे चिंतनशील अभ्यास कार्य के छह सप्ताह के बाद, प्रशासन ने हमें इस चिंता से बाहर निकलने के लिए मजबूर किया कि हम कुछ सहयोगियों को असहज कर सकते हैं। उस तर्क से मुझे कोई मतलब नहीं था, और यह अभी भी नहीं है।
जब मैंने बाद में मध्य विद्यालय के शिक्षकों की एक टीम का नेतृत्व किया, तो मैंने अपनी टीम के चिंतनशील
अभ्यास में अवलोकन और प्रतिबिंब को शामिल किया। हमने इसके बाद छात्रों और अभिभावकों के साथ नियमित रूप से पूछताछ की। समुदाय की बैठकें, ईमेल संचार और फोन कॉल ने इस बात की गहरी जानकारी दी कि कैसे हमारे शिक्षक सफल हो रहे थे और कई बार, अपने छात्रों का समर्थन करने में विफल रहे। इन संचारों में, हम अक्सर एक स्कूल समुदाय के रूप में हमारे मिशन और दृष्टि से संबंधित प्रश्न करते हैं। छात्रों और अभिभावकों ने अपने दृष्टिकोण, इच्छाओं और आशंकाओं को साझा किया, जिससे संकाय को हमारी समझ को आकार देने में मदद मिली कि कौन सी बड़ी उपलब्धि दिखती है। हालांकि फीडबैक के लिए खुला रहना और शिक्षण समुदाय के सहयोगी आकार देने में संलग्न होना मुश्किल था, लेकिन इसका छात्रों और शिक्षकों दोनों के अनुभवों पर एक शक्तिशाली और मानवीय प्रभाव था।

5.उच्च अपेक्षाओं का एक शिक्षाशास्त्र(A Pedagogy of High Expectations)-

महानता प्राप्त करना कोई छोटी उपलब्धि नहीं है। मानकों से बड़े आकार के क्षेत्र में, इस तरह की उपलब्धि का समर्थन करने के लिए सीखने के समुदायों को बनाना या विकसित करना, कक्षा से बहुत दूर, सूत्र और राजनीतिक एजेंडा बनाना, अविश्वसनीय रूप से चुनौतीपूर्ण है। लेकिन, मेरे अनुभव में, छोटे बदलावों का पर्याप्त प्रभाव हो सकता है। शुरुआती जगह के रूप में, विचार करें कि आपके सीखने की जगह में कैसे शामिल हो सकते हैं:
सीखना जो शिक्षार्थी, शिक्षक और दुनिया के लिए सार्थक है;
जिज्ञासा और विनम्रता से प्रेरित जांच का एक चक्र;
मुख्य विषय की समझ उत्पन्न करने के लिए अनुभवात्मक शिक्षण और विविध दृष्टिकोणों के साथ शैक्षणिक संसाधनों को शामिल करना और अन्य लोग इसका अनुभव कैसे करते हैं;
सीखना जो समझने के लिए संदर्भ और मूल धारणाओं की धारणाओं को कैसे आकार देता है।
शिक्षार्थियों और शिक्षकों के रूप में अपनी शैक्षिक भूमिकाओं को प्रभावी ढंग से निभाने वाले व्यक्तियों से महान शैक्षिक उपलब्धि नहीं होती है। यह एक एकजुट सीखने वाले समुदाय का परिणाम है जहां प्रत्येक हितधारक उच्च उम्मीदें रखता है और उच्च उम्मीदों को पूरा करने की जिम्मेदारी है। यह एक ऐसी संस्कृति का परिणाम है जो सीखता है और मनाता है कि शिक्षार्थी और शिक्षक इसमें एक साथ हैं, कि कोई भी दूसरों की सफलता के बिना सफल नहीं हो सकता है। यदि हम परिवर्तनकारी और मानवीय शिक्षा की दिशा में प्रदर्शनकारी दृष्टिकोण से आगे बढ़ना चाहते हैं, तो हमारे सीखने के स्थानों में यह सांस्कृतिक और संरचनात्मक बदलाव आवश्यक है।

The Coin Toss and the Love Triangle

The Coin Toss and the Love Triangle

1. हमारे जीवन में अनिश्चितता के दो स्वाद हैं। गणित  दोनों की मदद करता है।(There are two flavors of uncertainty in our lives. Math helps with both.)-

मैं लौट आया, और सूरज के नीचे देखा, कि दौड़ तेज करने के लिए नहीं है, न ही मजबूत करने के लिए लड़ाई, न तो अभी तक बुद्धिमानों को रोटी, और न ही समझ के पुरुषों के लिए धन, और न ही कौशल के पुरुषों के पक्ष में; लेकिन समय और मौका उन सभी को होता है।
—सुविधाओं 9:11, किंग जेम्स बाइबल (शुद्ध कैम्ब्रिज अधिकृत संस्करण)
"मौका" एक एकल, एकात्मक चीज़ का नाम देता है। लेकिन इसकी वंशावली, इसका पारिवारिक इतिहास, उलझा हुआ है। इसकी शाखायुक्त उत्पत्ति को समझने का एक तरीका साहित्य की ओर मुड़ना है: हम दो अलग-अलग उपन्यासों को देख सकते हैं।
कॉर्मैक मैक्कार्थी के उपन्यास नो कंट्री फॉर ओल्ड मेन के विरोधी एंटोन चिगुरह अपने पीड़ितों को एक सिक्का टॉस के परिणाम का अनुमान लगाने के लिए मजबूर करते हैं, यदि वे गलती से अनुमान लगाते हैं तो उनकी जान ले सकते हैं। मैकार्थी के खलनायक अपने पीड़ितों के जीवन में सबसे क्रूर तरीके से अंधा मौका देते हैं। वह मौका पूरी तरह से निहित है, चिगुर में नहीं, बल्कि टॉस में - प्रकृति में ही। यह अनिश्चितता का एक स्रोत है।
दूसरे स्रोत को समझने के लिए, हम मैककार्थी के अमेरिकी साउथवेस्ट से जितना संभव हो सके यात्रा करते हैं। हेनरी जेम्स की द विंग्स ऑफ द डव का पहला खंड एक अमीर अमेरिकी उत्तराधिकारी, मिल्ली थिले के साथ समाप्त होता है, जो लंदन में नेशनल गैलरी का दौरा करते हैं। अपने आश्चर्य के लिए वह अपने सबसे अच्छे दोस्त केट क्रॉय की कंपनी में एक परिचित, मर्टन डेन्शर को देखती है। इस बिंदु से पुस्तक का कथानक आगे एक ही प्रश्न पर टिका है: क्या मिल्ली को पता चल जाएगा कि पाठक पहले से ही जानता है - कि मर्टन और केट प्यार में हैं और चुपके से शादी करने के लिए लगे हुए हैं।
अनुक्रम में, मिल्ली के दृष्टिकोण से कहा गया है, हम देखते हैं कि केट - एक अंतरंग दोपहर को साझा करते हुए कैसे पकड़ा - इस तरह से काम करता है कि अपने दोस्त के लिए एक वैकल्पिक परिकल्पना उत्पन्न करता है: कि मर्टन उसे अच्छी तरह से उत्सुक हो सकती है, लेकिन वह, केट, उस पर उत्सुक नहीं है।
यहां प्रकृति में अन्यथा नहीं पाई जाने वाली अनिश्चितताएं हैं: संभाव्यता के बारे में संभावनाएं, दूसरों द्वारा रखे गए विश्वासों के बारे में विश्वास।
हम में से कई के लिए, सिक्का टॉस की भौतिक दुनिया मौका के लिए एक संकेत हो सकती है। लेकिन प्रेम त्रिकोण का संज्ञानात्मक संसार उतना ही भयावह है और, अपनी सीमा पर, उतने ही अवसर के रूप में, जितना कि एक तुक्के वाले सिक्के के रूप में। हम मनुष्य चक्कर और अपरिहार्य दोनों की अनिश्चितता की एक डिग्री पेश करने में सक्षम हैं।
इसलिए, एक्लेयस्टेस दो बार सही था। अनिश्चितताओं - प्राकृतिक और मानव दोनों - को तेज, मजबूत, बुद्धिमान और सक्षम होने से भी निपटा जाना चाहिए। हमारा उद्देश्य प्रत्येक प्रकार की अनिश्चितता की गहराई को प्रदर्शित करना और गणित का परिचय देना है जो हमें दोनों के साथ आने में मदद कर सकता है।

2.सिक्का सिक्का(The Coin Toss)-

एक सिक्का टॉस पर आपने सबसे ज्यादा क्या देखा है?
- नो कंट्री फॉर ओल्ड मेन, कॉर्मैक मैकार्थी (2005)
पर्याप्त रूप से कई काल्पनिक हत्यारों ने अपने पीड़ितों के साथ खिलवाड़ किया है, आज, विचार क्लिच और पैरोडी पर सीमा करता है। लेकिन चिगरु का खेल हमें अभी भी शांत करता है, शायद उनके संदेश के केंद्रित रूप के कारण। उनका निष्पक्ष, घातक सिक्का टॉस हमारे अपने जीवन में अवसर के प्रभुत्व की याद दिलाता है।
जिन हादसों से हम बचते हैं या उनसे मिले हैं, उनसे जो रिश्ते बने हैं और जिन संस्थानों से हम जुड़े हैं, उनसे जुड़े - प्रत्येक तथ्य अपने बारे में घटनाओं की एक श्रृंखला पर निर्भर करता है, जिनमें से कोई भी एक और तरीका हो सकता है। । इस तरह के संयोगों के एक टॉवर के ऊपर खड़े होने और नीचे देखने से हमें एक संकेत मिलता है। जीवन के कौन से पहलू वास्तविक हैं, हम पूछते हैं, और कौन सा भाग्य?
यह सवाल एक तरफ, बहुत साहित्य और कला के दिल में है; दूसरी ओर, यह गणितीय विज्ञानों में एक कठिन प्रश्न है।

3.कई काल्पनिक हत्यारों ने अपने पीड़ितों के साथ खिलवाड़ किया है(Many fictional murderers have toyed with their victims)-

विशेष रूप से, गणित की शाखा को सूचना सिद्धांत के रूप में जाना जाता है कि कैसे मौका और अनिश्चितता का वर्णन किया जाए। यह किसी विशेष जीवन की अनौचित्यता को सहज ज्ञान के साथ समेट लेता है कि किसी के जीवन का आकार बस मौका नहीं है।
यह देखने के लिए कि, संयोगों के टॉवर के आधार पर हमें शुरुआत में कैसे शुरू करना चाहिए। मान लीजिए कि चिगुर का सिक्का टॉस उचित है - समान रूप से सिर या पूंछ बाहर आने की संभावना है। उनके शिकार को किन संभावित रणनीतियों पर विचार करना चाहिए? हमेशा लगता है पूंछ? प्रमुखों? कुछ विकल्प?
क्या टॉस निष्पक्ष होना चाहिए, कोई भी रणनीति दूसरे से बेहतर नहीं है। वास्तव में, रणनीतियाँ एक दूसरे से अप्रभेद्य हैं। यह समस्या की समरूपता के कारण है: हम किसी भी समय चिगुर के सिक्के के प्रत्येक तरफ लेबल को स्वैप कर सकते हैं और किसी भी पर्चे को किसी भी अन्य में बदल सकते हैं। मैकार्थी के रेगिस्तान के परिदृश्य में, रणनीति और कारण अर्थहीन हैं। मौके की लंबवत हम पर है।
यह, निश्चित रूप से, उस दुनिया का वर्णन नहीं करता है जिसका हम आम तौर पर सामना करते हैं। हमारी दुनिया में परिणाम के बीच वरीयता के साथ और तर्कसंगत विकल्प की संभावना के साथ पूर्वानुमान है। टूटी हुई समरूपता हमारे जीवन के लिए प्रासंगिक है।
लेकिन यह हमें मौका के चक्कर से नहीं बचाता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, चिगुर का सिक्का सिर के ऊपर आने की थोड़ी अधिक संभावना है। अब, रणनीति अलग हैं। एक सिर-पक्षपाती सिक्के के लिए, पसंदीदा अनुमान लगाने के लिए पसंदीदा और सबसे तर्कसंगत रणनीति हमेशा होती है।
अपने जीवन के दौरान आपको कई निर्णय लेने की आवश्यकता होती है। क्या होगा अगर आपको एक बार से अधिक सिक्का टॉस करने का अनुमान था? एक हजार बार पक्षपाती सिक्के को उछालने पर विचार करें। चूंकि प्रत्येक टॉस पहले एक से स्वतंत्र है, इसलिए सबसे अधिक संभावित परिणाम प्रत्येक के अलग-अलग परिणाम की बार-बार होने वाली घटना है। और इस प्रकार, सभी संभावित इतिहासों को हम पूर्वाभास कर सकते हैं, सभी का सबसे अजीब अनुक्रम, सिर का एक अटूट रन:

Elementary math, beautiful math: Numbers

1.प्राथमिक गणित, सुंदर गणित: संख्या, भाग 1(Elementary math, beautiful math: Numbers)-

तो, पीटर, उम्र 3, गिनती करना सीख रहा है। 1, 2, 3…। कितना ठंडा है! और जल्द ही वह यह जान लेता है कि संख्या के नामकरण की एक प्रणाली है (हालांकि वह इस बात पर बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि "ग्यारह" को "एक-किशोर" क्यों नहीं और "बीस" को "धुंधली" क्यों नहीं कहा गया)। और वह प्रसन्न हुआ। वह सभी संख्याओं के बारे में जानता है!

Elementary math, beautiful math: Numbers

अब तक उसने जो संख्याएं सीखी हैं, उन्हें प्राकृतिक या गिनती संख्या कहा जाता है; या, यदि आप कट्टर नामों को पसंद करते हैं, तो सकारात्मक पूर्णांक।
तब कोई उनसे पूछता है कि "यदि आपके पास 2 कैंडी हैं और कोई आपको 3 और देता है, तो आपके पास कितने हैं?" और वह अभी भी ठीक है कोई भी दो नंबर जोड़ें और आपको दूसरा नंबर मिल जाएगा। उदाहरण के लिए 2 + 4 = 6।

सकारात्मक पूर्णांक इसके अतिरिक्त बंद हैं

फिर कोई पूछता है कि "यदि आपके पास 7 कैंडी हैं और कोई व्यक्ति 3 लेता है, तो आपके पास कितने हैं?" (वह घटाव)। और, सबसे पहले, वह अभी भी ठीक है।
वह सोचता है कि प्राकृतिक संख्या घटाव के तहत बंद हैं
लेकिन वह एक जिज्ञासु व्यक्ति है और वह आश्चर्यचकित है ... यदि आपके पास you-३ हो सकते हैं, तो ३-– लेने से क्या होता है?
अब पीटर गणित कर रहा है। अब तक, वह सिर्फ अंकगणित कर रहा है। अंकगणित गणित के लिए है क्योंकि वर्तनी रचनात्मक लेखन के लिए है।
यह उसे थोड़ा आश्चर्यचकित करता है और वह अपने पूर्वस्कूली शिक्षक से पूछता है और सौभाग्य से वह उसके लिए "यह एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न है" या यहां तक ​​कि "आप बहुत छोटे हैं, यह जानने के लिए" कहते हैं लेकिन उसे नकारात्मक संख्याओं के बारे में पढ़ाना शुरू करने की कोशिश करते हैं। यह उसके दिमाग को उड़ा देता है।
वह शिक्षक एक सुपरस्टार और एक नायक है। उसने आग लगा दी है।
लेकिन एक बार उन्होंने अपने शस्त्रागार में नकारात्मक संख्याओं को जोड़ दिया, तो वह शांत हो गए। गुणन अभी भी काम करता है।
जोड़, घटाव और गुणा पूरे नंबर के तहत बंद है, या, अगर आपको फैंसी शब्द, पूर्णांक पसंद हैं
और उसका मन दयालु हो गया है। यह रूपात्मक आग पर है। "यदि घटाव इसके अतिरिक्त है, तो गुणन के विपरीत क्या होगा?" वह थोड़ा खेलता है। 4/2 = 2. 8/4 = 2 फिर से। 9/3 = 3. लेकिन, 3/2 के बारे में क्या। हममम ... ..

2.वंडर एंड प्ले गणित का सार है(Wonder and play are the essence of mathematics)-

उसे भिन्नों की जरूरत है, उर्फ ​​अनुपात। और वह फिर ठीक है। अंशों और नकारात्मकताओं के साथ, चार बुनियादी ऑपरेशन सभी काम करते हैं।
परिमेय संख्याओं में जोड़, घटाव, गुणा और भाग बंद होते हैं
अभी के लिए इतना ही। मैंने यहां प्राथमिक विद्यालय के कई वर्षों को कवर किया है - या गणित के इतिहास के कई हजार साल। यदि आप अधिक चाहते हैं तो मुझे बताएं

A Modest Research Proposal for Mathematics Education

1,गणित शिक्षा के लिए एक मामूली शोध प्रस्ताव(A Modest Research Proposal for Mathematics Education)-

कई हजारों, या शायद लाखों, शब्दों को लिखा गया है, या तो "शिक्षा के लिए मूल बातें" दृष्टिकोण के पक्ष में, या अधिक "रचनावादी" दृष्टिकोण के पक्ष में। यह बहस राजनीतिक, और कई बार शातिर है, लेकिन यह एक आवश्यक है। यह बहस पिछले पाठयक्रम दृष्टिकोण (क्या काम किया है? क्या काम नहीं किया है?), और भविष्य में आगे बढ़ने के साथ उन्हें ताज़ा रखने की आवश्यकता के बीच निरंतर धक्का और खींचता है।
गणित के शिक्षकों के लिए, यह बहस कभी खत्म नहीं होती है। इसके सबसे अधिक पुनरावर्ती में, हमारे पास निरंतर मीडिया चक्र है जो गणित के शिक्षण और परीक्षण के स्कोर को सीखना कम कर देता है, और अक्सर एक अतीत के लिए तरस जाता है जिसमें छात्र समय सारणी और संख्या तथ्यों के साथ अधिक कुशल थे। रिड्यूसिव लॉजिकेटिव कदम "दूसरे पक्ष" को गणित के निर्देश को "जॉम्बी" के रूप में जानने के लिए प्रेरित किया जाता है, जो कि परीक्षण पर सूत्र और एल्गोरिदम को थूकने की तुलना में थोड़ा अधिक सक्षम हैं।
एक ओर, हमारे पास "बुनियादी कौशल" का वास्तविक या कथित नुकसान है, आमतौर पर तुरंत याद के माध्यम से बहस में संकेत दिया जाता है, और दूसरी ओर, हमारे पास यह विचार है कि हमारे छात्र समस्या-समाधान के लिए पर्याप्त नहीं हैं "आधुनिक दुनिया", या "भविष्य" के लिए।
यह ध्यान देने योग्य है कि यह बहस कई पीढ़ियों पुरानी है।

A Modest Research Proposal for Mathematics Education

नीचे दी गई तस्वीर में दर्शाया गया भाव 1991 में प्रकाशित हुआ था। एक पीढ़ी बाद में, और हम अभी भी अटके हुए हैं, उसी बहस के कीचड़ में।
1989 से NCTM सुधार शुरू होने के बाद से गणित के शिक्षण और शिक्षण में कई तरह से प्रगति हुई है। यह 1960 के दशक के बाद से कई मायनों में आगे बढ़ गया है, जब पहले "New Mathematics" पाठ्यक्रम की कोशिश की गई थी (और अंततः छोड़ दिया गया था)। टिंकरिंग के एक सुसंगत मार्ग या यहां तक ​​कि असफल सुधार जैसा क्या लगता है, वास्तव में शिक्षण अभ्यास का एक निरंतर शोधन है। यह कहना है, पाठ्यक्रम और अभ्यास में सुधार सूक्ष्म है, लेकिन निरंतर है। खुद को सिखाना एक पुनरावृति कला है। ध्रुवीकरण नीतिवाद राजनीतिज्ञों के लिए है, शिक्षकों के लिए नहीं।
शिक्षक शिक्षण में सर्वश्रेष्ठ हैं। यह उनकी कला और शिल्प है। सीधे शब्दों में कहें: गणित का सन्निहित ज्ञान और इसे कैसे पढ़ाया जाता है यह लगातार विकसित हो रहा है और अपडेट हो रहा है, क्योंकि नए शिक्षक पेशे में प्रवेश करते हैं, और पुराने इसे छोड़ देते हैं। हालांकि, धीमी गति से परिवर्तन की एक स्थिर और स्थिर दर है। समय आगे बढ़ता है, और हम ऐसा करते हैं।
लेकिन शोध शिक्षण को सूचित कर सकता है। यह लेख भविष्य के प्रकार के अनुसंधान को आगे बढ़ाने का एक तरीका है जो गणित शिक्षा में शिक्षक अभ्यास को सूचित कर सकता है।

2.एक झूठी दिचोटॉमी?(A False Dichotomy?)-

एच। वू (1999) का एक दिलचस्प लेख "मिथ्या द्वंद्ववाद" के रूप में बुनियादी कौशल बनाम वैचारिक समझ बहस की विशेषता है।
एक लंबा उद्धरण इस बिंदु को बनाने में मदद करेगा:
गणित की शिक्षा में, यह बहस "बुनियादी कौशल या वैचारिक समझ" का रूप लेती है। यह फर्जी द्वंद्ववाद सार्वजनिक और शिक्षा समुदाय के एक वर्ग द्वारा आयोजित गणित की एक आम गलत धारणा से उत्पन्न होता है: सटीक और प्रवाह की मांग स्कूली गणित में बुनियादी कौशल के निष्पादन में वैचारिक समझ के अधिग्रहण के लिए काउंटर चलाता है। सच्चाई यह है कि गणित में, कौशल और समझ पूरी तरह से परस्पर जुड़े हुए हैं। ज्यादातर मामलों में, कौशल के निष्पादन में सटीकता और प्रवाह वैचारिक समझ को व्यक्त करने के लिए अपेक्षित वाहन हैं। एक तरफ "वैचारिक समझ" और दूसरी तरफ "समस्या-सुलझाने का कौशल" नहीं है।
लेखक स्पष्ट रूप से मिथक पर सवाल उठा रहा है, एक व्यापक, कि वैचारिक समझ * को पहले आना चाहिए। इस बात पर विचार करें कि दोनों प्रक्रियात्मक समझ (जिसे हम मोटे तौर पर "बुनियादी" कौशल कह सकते हैं) और वैचारिक समझ को आपस में जोड़ा गया है, या इंटरवॉवन-के रूप में रस्सी की मोटी ब्रैड में, जहां दोनों किस्में मूल रूप से एक साथ बुने जाते हैं।
यह मेरा विश्वास है कि शिक्षकों, शोधकर्ताओं और समाचार पत्रों के लिए लेख लिखने वालों को इस विश्वास को छोड़ने की जरूरत है कि एक को दूसरे से पहले होना चाहिए। भविष्य के शोध अध्ययन के अधिग्रहण का परीक्षण कर सकते हैं जिसे हम मोटे तौर पर "प्रक्रियात्मक स्थिति", और "वैचारिक स्थिति" कह सकते हैं।
आइए पाइथोगोरियन संबंधों को पढ़ाने का एक सरल उदाहरण दें।
छात्रों के दो समूहों पर विचार करें, निम्नलिखित दो निर्देशात्मक रास्ते नीचे जा रहे हैं।

3.निर्देशात्मक पथ एक(Instructional Path One)-

बोर्ड पर सूत्र नीचे लिखें। बताएं कि यह सूत्र कैसे काम करता है।
छात्रों को काम करने के लिए प्रश्नों का एक सेट दें। उन्हें दिखाओ कि कैसे कर्ण के समाधान के लिए काम करना है।
छात्रों को या तो पाद  के लिए हल करने से प्रश्न पूछें।
गलत धारणाओं और समस्याओं का समाधान करें।
छात्रों को अधिक जटिल समस्याएं दें, और उनकी समझ पर उनका मूल्यांकन करें।

4.निर्देशात्मक मार्ग दो(Instructional Path Two)-

छात्रों को प्रमेय का ज्यामितीय प्रमाण दिखाएं। क्या उन्हें समकोण त्रिभुजों के भुजाओं से जोड़ते हैं। आपके द्वारा खोजे गए संबंध की जांच करें।
बीजगणित में अपने निष्कर्षों का अनुवाद करें। ज्यामितीय प्रतिनिधित्व द्वारा बनाई गई "चित्र" का अनुवाद बीजगणितीय रूप में किया जाता है।
छात्रों को फॉर्मूला काम करने का तरीका दिखाएं। उन्हें अभ्यास करने के लिए प्रश्न दें।
4. छात्रों को अधिक जटिल समस्याएं दें, और उनकी समझ पर उनका मूल्यांकन करें।
यहाँ पर्याप्त अंतर दूसरे पथ में ज्यामितीय तत्व है। लेकिन इस तत्व को पहले निर्देशात्मक मार्ग में काम किया जा सकता था, शायद बाद में।
आप अपने लिए यह तय कर सकते हैं कि निर्देशात्मक मार्ग में निम्नलिखित संकेत कहाँ हैं। शुरुआत की ओर? जब प्रमेय की खोज? या अंत में, छात्रों की सोच को आगे बढ़ाने के एक तरीके के रूप में, उन्हें बीजगणित में महारत हासिल करने के बाद?

A Modest Research Proposal for Mathematics Education

हमारा शोध प्रश्न यह हो सकता है: क्या छात्रों के ये दो समूह पाइथागोरस संबंध को एक ही तरह से और एक ही गहराई से समझ पाएंगे? यदि हम अपने शोध अध्ययन से एक ठोस निष्कर्ष निकाल सकते हैं, तो हम प्रक्रियात्मक या वैचारिक पक्ष पर उतर सकते हैं, और यदि नहीं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दोनों समूहों का समापन बिंदु लगभग बराबर है। यहां ध्यान देने योग्य बात: दोनों मार्गों में प्रक्रियात्मक और वैचारिक तत्व कहलाएंगे। उनके बीच आगे और पीछे असली है।

5.एक बैक-एंड-फोर्थ, या प्रक्रियात्मक और वैचारिक समझ के बीच परिवर्तन(A Back-and-Forth, or Iteration Between Procedural and Conceptual Understanding)-

यदि हम प्रक्रियात्मक समय की एक निश्चित अवधि में प्रक्रियात्मक और वैचारिक समझ के बीच आगे-पीछे, और आगे-पीछे जा रहे हैं, तो इन दोनों श्रेणियों के बीच कोई कठिन और तेज़ बाधाएँ नहीं हैं।
रिटल-जॉनसन, सीगलर, और अलीबली (2001) का एक पेपर इस बिंदु को मदद करता है, और संभवतः भविष्य के शोध के लिए आगे का रास्ता बताता है। वे ध्यान देते हैं कि आम तौर पर हम ज्ञान के एक "प्रकार" को दूसरे की मिसाल के रूप में देखते हैं। लेखकों का मानना ​​है कि ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है, और यह ऐसा करने के लिए बेकार है:
इस पिछले शोध और सिद्धांत के विपरीत, हम प्रस्ताव करते हैं कि विकास के दौरान, वैचारिक और प्रक्रियात्मक ज्ञान एक दूसरे को प्रभावित करते हैं। विशेष रूप से, हम प्रस्ताव करते हैं कि वैचारिक और प्रक्रियात्मक ज्ञान पुनरावृत्त रूप से विकसित होते हैं, एक प्रकार के ज्ञान में वृद्धि के साथ दूसरे प्रकार के ज्ञान में वृद्धि होती है, जो पहले में नई वृद्धि को ट्रिगर करती है।
अध्ययन का डिज़ाइन (दो भागों में, n = 74, और n = 59) छात्रों को एक संख्या रेखा पर दशमलव अंश (1 के तहत दशमलव) रखने वाले छात्रों के लिए था। उन्होंने इस कार्य को प्रक्रियात्मक बताया। उनका निष्कर्ष यह था कि प्रक्रियात्मक ज्ञान ने वैचारिक ज्ञान को सूचित किया, और इसके विपरीत। सबसे रोमांचक बात यह है कि दोनों ही बेहतर समस्या प्रतिनिधित्व का समर्थन करते हैं।
प्रतिनिधित्व सोच का एक अधिनियमन है; छात्रों के पास गणितीय अवधारणाओं के बारे में सोचने के तरीके होने चाहिए। हमारा लक्ष्य सिर्फ एक प्रक्रिया को पूरा करने में सक्षम है, या सिर्फ गणित की अवधारणाओं के बारे में सामान्य तरीके से सोचने के लिए है। हमें अवधारणाओं को दुनिया में लाने की जरूरत है। जैसा कि लेखक ध्यान दें, डोमेन ज्ञान में कौशल और अवधारणा दोनों शामिल हैं।
अध्ययन इस विचार की ओर इशारा करता है कि प्रतिनिधित्व जटिल है। एक प्रक्रिया, उदाहरण के लिए, के बारे में सोचा जा सकता है, और यह समझा और प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। एक प्रक्रिया को एक अवधारणा से पूरी तरह से अलग "चीज" के रूप में व्यवहार करना, उदाहरण के लिए, शायद एक बुरी चीज है। गुणन के लिए मानक एल्गोरिथ्म जगह मूल्य की धारणाओं, और आंशिक उत्पादों को लेने में बंधा हुआ है, जो तब कुल हैं। कोई कारण नहीं है कि इस प्रक्रिया को पढ़ाना एक पुनरावृत्ति प्रक्रिया-अवधारणा और कौशल हो सकता है जिसे हम "एल्गोरिथ्म सीखना" कहते हैं।
इस तरह के भविष्य के अध्ययन से यह पता लगाने की कोशिश की जा सकती है कि यह पुनरावृत्ति कैसे होती है। प्रक्रियाएं और अवधारणाएं एक साथ कैसे काम करती हैं, एक-दूसरे के खिलाफ नहीं? यह स्वीकार करना कि उन्हें एक-दूसरे के खिलाफ काम नहीं करना है, और वास्तव में, कि वे एक साथ काम कर सकते हैं और एक शुरुआत होगी।
गणितीय समझ बनाने के लिए प्रक्रियाएँ और अवधारणाएँ एक साथ कैसे काम करती हैं?
केवल सबसे कट्टर डाइकोटोमिस्ट इस बिंदु पर, इस बात को मानने से इंकार कर देगा कि आम जमीन है। यह इस आम जमीन पर है कि, एक दिन, "गणित  युद्धों" के युद्धविराम पर हस्ताक्षर किए जाएंगे। या, कम से कम, हमारे पास बेहतर और अधिक शोध होगा जो दर्शाता है कि आम जमीन पर मिलना भी संभव है।

Can Topology Prevent Another Financial Crash?

Stock exchange crisis (Can Topology Prevent Another Financial Crash?)

1.क्या टोपोलॉजी दूसरे वित्तीय संकट को रोक सकती है?(Can Topology Prevent Another Financial Crash?)-

नए नियम वैश्विक वित्त के पुनर्गठन के लिए नेटवर्क विज्ञान को लागू कर रहे हैं
क्या केविन बेकन हमें 2008 के वित्तीय संकट से बचा सकते थे? शायद ऩही। लेकिन केविन बेकन के छह डिग्री के पीछे नेटवर्क विज्ञान बस अच्छी तरह से हो सकता है।
प्रसिद्ध कहावत के अनुसार, हर फिल्म अभिनेता केविन बेकन से छह डिग्री अलग या उससे कम, सह-कलाकार से सह-कलाकार तक जा रहा होता है (वास्तव में बेकन केवल तीन डिग्री से अलग हो जाते हैं)। अभिनेता एक "छोटे-विश्व" नेटवर्क का निर्माण करते हैं, जिसका अर्थ है कि किसी एक सदस्य से किसी अन्य व्यक्ति को प्राप्त करने के लिए आश्चर्यजनक रूप से कम संख्या में कनेक्शन होते हैं। सभी प्रकार के प्राकृतिक और मानव निर्मित छोटे-विश्व नेटवर्क बेहद सामान्य हैं: पश्चिमी संयुक्त राज्य अमेरिका की इलेक्ट्रिक पावर ग्रिड, नेमाटोड वर्म सी। एलिगेंस का तंत्रिका नेटवर्क, जीव विज्ञान में इंटरनेट, प्रोटीन और जीन नेटवर्क, वैज्ञानिक में उद्धरण कागजात, और अधिकांश सामाजिक नेटवर्क छोटे हैं।

Can Topology Prevent Another Financial Crash?

इनमें से अधिकांश छोटे नेटवर्क अन्य नोड्स के लिए विशेष रूप से बड़ी संख्या में लिंक के साथ हब, या नोड का उपयोग करते हैं। केविन बेकन एक केंद्र है, क्योंकि उसने कई फिल्मों में अभिनय किया है। सी। एलिगेंस के छोटे मस्तिष्क में आरएमजी न्यूरॉन भी एक केंद्र है और अपने सामाजिक व्यवहारों (जैसे वे हैं) का समन्वय करता है। हब अन्यथा दूर के नोड्स के बीच शॉर्टकट की आपूर्ति करके छोटे-छोटे संसार बनाते हैं। और यह एक बहुत अच्छी बात हो सकती है।
1978 के बाद एयरलाइन एयरलाइन अधिनियम ने सरकारी नियंत्रण को समाप्त कर दिया, उदाहरण के लिए, एयरलाइनों ने हब-एंड-प्रवक्ता उड़ान मार्ग को स्थानांतरित कर दिया। एयरफेयर नीचे चला गया और कब्जे वाली सीटें कुल के 50 से 85 प्रतिशत तक बढ़ गईं। जब 90 के दशक में लोवे के हार्डवेयर स्टोर एक हब-एंड-स्पोक डिस्ट्रीब्यूशन सिस्टम में बदल गए, तो हर 30 या उसके स्टोर को सेवा देने के लिए एक 30-फुटबॉल-फील्ड-बड़ा केंद्र बनाकर - इसने वितरण लागत में 40 से 50 के बीच कटौती की प्रतिशत।
जब तक आप वित्त के बारे में नहीं जानते हैं, मैं शर्त लगाता हूं कि आपने एक ही वाक्य में "टोपोलॉजी" और "2008 के वित्तीय संकट" शब्द नहीं सुना होगा।
यह दक्षता छोटे नेटवर्क के जटिल संचालन को समेकित करने के तरीके से आती है। लिंक बनाना और बनाए रखना महंगा हो सकता है, और छोटे नेटवर्क उनमें से कम हैं। हब्स और प्रवक्ता पर आधारित नेटवर्क भी सरल और यादृच्छिक नोड विफलताओं के खिलाफ मजबूत हैं - क्योंकि अधिकांश नोड नोटहब हैं और इसलिए नेटवर्क के संचालन के लिए बहुत महत्वपूर्ण नहीं हैं।
जो हमें केविन बेकन और 2008 में वापस लाता है। आपको लगता है कि, यदि आप वास्तव में एक महत्वपूर्ण नेटवर्क डिजाइन कर रहे थे, जैसे, वैश्विक वित्तीय प्रणाली, आप एक छोटे से विश्व नेटवर्क का उपयोग करना चाहते हैं, बहुत कम के साथ हब्स की संख्या। हालांकि, यह नहीं है कि हमारे वित्तीय नेटवर्क क्या दिखते थे - हाल ही में।

2. In2013, फ़ेडरल रिज़र्व के उपाध्यक्ष जेनेट येलेन ने दिखाया कि यार्न के एक पेचीदा गेंद की तरह दिखते हैं, जो अर्थशास्त्रियों के कमरे में रहते हैं:

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दुनिया का सबसे बड़ा बाजार: क्रेडिट डिफ़ॉल्ट स्वैप बाजार का एक नक्शा। प्रत्येक डॉट एक बैंक या अन्य वित्तीय संस्थान का प्रतिनिधित्व करता है (हम सिर्फ उन्हें बैंक कहते हैं)। ब्लू डॉट्स क्रेडिट डिफॉल्ट स्वैप के शुद्ध खरीदार हैं, लाल वाले विक्रेता हैं। लाइनें दर्शाती हैं कि किन बैंकों ने एक-दूसरे के साथ कारोबार किया है। बैंक ऑफ इंटरनेशनल सेटलमेंट्स के हालिया अनुमान के अनुसार, वैश्विक रूप से ओटीसी व्युत्पन्न अनुबंधों का कुल मूल्य $ 493 ट्रिलियन है। संदर्भ के लिए, विश्व बैंक के अनुसार 2015 में वैश्विक सकल घरेलू उत्पाद $ 77.9 ट्रिलियन था।
गन्दी दिखने वाली आकृति ने क्रेडिट डिफ़ॉल्ट स्वैप (सीडीएस) बाजार नेटवर्क का प्रतिनिधित्व किया, और बहुत छोटे डोरियों में बहुत अधिक डोरियों की तरह देखा। जिस तरह से बैंकों ने परंपरागत रूप से कारोबार किया है, उससे उलट नतीजे आए हैं, जिन्हें ओटीसी के लिए "ओवर-द-काउंटर" कहा जाता है: सीधे, स्वतंत्र रूप से, जब भी, और हालांकि वे चाहें। यह 1970 के दशक के बाद से सबसे अधिक डेरिवेटिव खरीदा और बेचा गया है, जब डेरिवेटिव में उछाल ने उन्हें दुनिया का सबसे बड़ा बाजार बना दिया। आज, दुनिया के सभी शेयर और बॉन्ड बाजारों की तुलना में डेरिवेटिव ट्रेडिंग से वित्तीय प्रणाली के माध्यम से अधिक पैसा बहता है।
येलन ने यार्न की टंगल्स की अपनी गेंद के साथ समस्या ली। यदि CDS नेटवर्क को हब-एंड-स्पोक आकार में पुन: कॉन्फ़िगर किया गया था, तो येलन ने कहा, यह अधिक सुरक्षित होगा - और यह वास्तव में, संकट के बाद के वित्तीय विनियमन का एक जोर है। केविन बेकन और लोव्स हार्डवेयर की दक्षता और सरलता वैश्विक व्युत्पन्न व्यापार पर लागू की जा रही है।
SANITIZED: क्रेडिट डिफॉल्ट स्वैप मार्केट का एकल-हब और स्पोकन संस्करण। चार्ट: जेनेट एल येलन
सितंबर 2009 में संकट के मद्देनजर, G20 (विकसित राष्ट्रों की मुख्य आर्थिक परिषद) के नेताओं ने पिट्सबर्ग में मुलाकात की और हब-एंड-स्पोक नेटवर्क को लागू करने के लिए काम किया। वे "स्पष्ट जनादेश" नामक कुछ लगाने के लिए सहमत हुए। ओटीसी व्युत्पन्न बाजार पर - एक विनियमन का अर्थ है कि वित्तीय प्रणाली को हब और प्रवक्ता को अनिवार्य बनाकर सुरक्षित करना। शासनादेश आवश्यक है कि सभी मानक ओटीसी डेरिवेटिव एक्सचेंजों पर कारोबार किया जाए और केंद्रीय समाशोधन समकक्षों, या एसीपी के माध्यम से मंजूरी दे दी जाए। CCPs बस कंपनियां हैं जो डेरिवेटिव्स के खरीदारों और विक्रेताओं के बीच खड़ी होती हैं। 2010 में, डोड-फ्रैंक कानून ने यू.एस. में इस आवश्यकता को संहिताबद्ध किया। अन्य देशों ने तब से सूट किया है। अब, फ्री-फॉर-दैट के विपरीत जो पहले व्युत्पन्न व्यापार पर हावी था, ज्यादातर समय, जब बैंक ए बैंक बी से व्युत्पन्न एक्स खरीदना चाहता है, बी को पहले एक्स को एक सीसीपी को बेचना चाहिए, जो तब घूमता है और एक्स बेचता है को ए।
और वह आवश्यकता येलन की पहली तस्वीर में सीडीएस नेटवर्क को ले जाती है, और इसे हब के सीसीपी के साथ इसे सुव्यवस्थित हब के रूप में पेश करती है और अपने दूसरे की बात करती है।
जनादेश का कार्यान्वयन अभी भी एक कार्य प्रगति पर है, लेकिन ज्यादातर यह एक सौदा है। ब्याज दर व्युत्पन्न में ओटीसी बाजार का लगभग 80 प्रतिशत शामिल है और अब, जनादेश के कारण, यूएस में सीएमई क्लीयरिंग और यूरोप में एलसीएच क्लैरेट के स्वैक्लियर जैसे सीसीपी प्रत्येक सप्ताह ब्याज दर के 70 प्रतिशत को मंजूरी दे रहे हैं। क्रेडिट क्रेडिट भी हैं साथ में, 79 प्रतिशत पर। येलेन इस प्रगति को सिस्टम को सुरक्षित बनाने की दिशा में विचार करता है।

3.लेकिन क्या यह है?

यह विचार कि वित्तीय संलयन और प्रणालीगत जोखिम के लिए एक वित्तीय नेटवर्क के आकार (या टोपोलॉजी) का महत्वपूर्ण योगदान हो सकता है, और अपेक्षाकृत स्पष्ट नहीं है। वास्तव में, जब तक आप वित्त का एक अंश नहीं रखते हैं, तो मैं शर्त लगाता हूं कि आपने "टोपोलॉजी" और "2008 के वित्तीय संकट" शब्दों को एक ही वाक्य में नहीं सुना होगा।
टोपोलॉजी को 2008 के गणितीय संदर्भ के रूप में समझें। जिस तरह खतरनाक ऋण देने के तरीके हैं, उसी तरह खतरनाक टोपोलॉजी भी हैं। यह एक, उदाहरण के लिए:
ट्रोलिंग के लिए प्रतीक्षा: इस खिलौना नेटवर्क में, प्रत्येक बॉक्स एक बैंक का प्रतिनिधित्व करता है। बैंकों के बीच के तीर ऋण का प्रतिनिधित्व करते हैं: बैंक ए का बैंक बी पैसा है; B, C पर समान राशि बकाया है, और इसी तरह। चित्रण: एलन, एफ। एंड गेल, डी। वित्तीय छूत। राजनीतिक अर्थव्यवस्था की पत्रिका 108, 1-33 (2000)।
इस नेटवर्क में चार बैंक (और उनके द्वारा बकाया राशि) समान हैं: प्रत्येक में पूंजी की समान राशि है, जिसका अर्थ है कि दिवालिया होने से पहले नुकसान की समान क्षमता। आप एक बैंक के ईंधन के रूप में पूंजी के बारे में सोच सकते हैं: अपने गियर को बंद करने के लिए पीसने से पहले अपने टैंक से ली जाने वाली राशि।
अब, कल्पना कीजिए कि बैंक ए पैसे का एक गुच्छा खो देता है, पर्याप्त है कि यह दिवालिया हो जाता है और यह बी को भुगतान करने वाले सभी का भुगतान नहीं करता है। उस स्थिति में, बी को एक नुकसान भी होता है। और अगर बी का नुकसान इसकी पूंजी से अधिक है, तो यह भी नीचे चला जाएगा। यदि A और B मिलकर पर्याप्त हार जाते हैं, तो C भी विफल हो जाएगा। अंत में, एक नुकसान, या रिसाव, सभी पूंजी की कुल राशि को निकालने के लिए पर्याप्त है कि नेटवर्क के सभी बैंकों ने पूरी प्रणाली को नीचे ले जाएगा।
अब इसके विपरीत जो निम्न नेटवर्क में होता है:

4.इंटरकनेक्टेड: 

इस मॉडल में, बैंकों के बीच अधिक से अधिक कनेक्शन नेटवर्क को अधिक से अधिक आघात को अवशोषित करने की अनुमति देता है। चित्रण: एलन, एफ। एंड गेल, डी। वित्तीय छूत। राजनीतिक अर्थव्यवस्था की पत्रिका 108, 1-33 (2000)।
बैंक स्वयं पहले जैसे ही हैं: उन सभी के पास एक ही पूंजी और एक ही ऋण है। केवल एक चीज है जो नेटवर्क की टोपोलॉजी है: कौन किससे और कितना उधार ले रहा है। इस बार सभी बैंकों ने अपने उधार और ऋण को चारों ओर फैला दिया है, जिससे नेटवर्क अधिक जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, बैंक ए के पास पहले की तरह ही ऋण है, लेकिन इस बार इसका एक तिहाई बी, सी, डी और डी पर बकाया है।
तो फिर से कल्पना करें कि स्प्रिंग्स एक रिसाव है, ताकि एक निश्चित मात्रा में राजकोषीय द्रव प्रणाली से बाहर निकल जाए। इस बार अंतर यह है कि ए की कमी (यह जो बकाया है और जो भुगतान कर सकता है, उसके बीच का अंतर) बैंकों बी, सी और डी के बीच समान रूप से विभाजित है, इसलिए बी, सी और डी में से प्रत्येक नुकसान का सिर्फ एक तिहाई हिस्सा है। B ने पहले किया था। और इसका मतलब है कि A को दूसरे बैंक को लेने के लिए पहले की तुलना में तीन गुना बड़ा घाटा होना चाहिए। यह दूसरे नेटवर्क का अधिक जुड़ा हुआ टोपोलॉजी इसके रिंग-आकार वाले रिश्तेदार की तुलना में एक बड़े झटके को अवशोषित करने में सक्षम बनाता है।
2008 में एक बड़ा कारण क्रेडिट बाजार जम गया था, बस भ्रम था कि कौन किसके सामने आया।
ये चार-बैंक नेटवर्क उदाहरण 2000 में अर्थशास्त्रियों फ्रेंकलिन एलेन और डगलस गेल द्वारा लिखे गए एक प्रभावशाली पत्र से आए हैं। उनका मॉडल और विश्लेषण जितना मैंने यहां वर्णित किया है, उससे कहीं अधिक परिष्कृत था, लेकिन वे एक ही निष्कर्ष पर आते हैं: अधिक जुड़ा हुआ एक वित्तीय नेटवर्क है, और अधिक मजबूत है, जिसका अर्थ है कि बैंक विफलताओं के अनुक्रम को ट्रिगर करने के लिए एक बड़ा झटका लगता है।
दूसरी ओर, यह छोटा सा चार-बैंक मॉडल अत्यधिक जुड़े नेटवर्क की एक खतरनाक विशेषता को भी दिखाता है। जैसा कि एलन और गेल ने अपने पेपर में बताया, सभी चार बैंकों की पूंजी को खत्म करने के लिए पर्याप्त नुकसान एक पूरी तरह से जुड़े नेटवर्क को नीचे लाएगा, निश्चित रूप से यह रिंग के आकार का एक नीचे लाएगा। अंतर यह है कि, जबकि रिंग नेटवर्क एक समय में एक बैंक में विफल रहता है, पूरी तरह से जुड़ा हुआ एक अचानक और सभी एक बार में विफल रहता है। यह बैंक ऑफ इंग्लैंड के मुख्य अर्थशास्त्री और कार्यकारी निदेशक, एंड्रयू हैल्डेन, अत्यधिक जुड़े नेटवर्क की "मजबूत अभी तक नाजुक" गुणधर्म  कहते हैं
वास्तव में, हाल्डेन कहते हैं, वास्तविक वित्तीय नेटवर्क की अत्यधिक जुड़ी हुई प्रकृति ने पिछले संकट के "बीज बोए थे"। लेकिन हम कैसे जानते हैं कि हल्दाने और येलन दोनों का समर्थन करने वाले हब-एंड-स्पोक समाधान अनजाने परिणामों की कीमत पर एक प्रकार के खतरे को कम नहीं करते हैं जो और भी खतरनाक हो सकते हैं?
यह अर्थशास्त्र का सवाल है, ऐसा विशेषज्ञों को खोजना मुश्किल नहीं है जो सोचते हैं कि वास्तव में ऐसा ही है।
मुझे ब्लूमबर्ग टीवी पर लाइव देखने के कुछ मिनट बाद फोन पर यूनिवर्सिटी ऑफ ह्यूस्टन के फाइनेंस प्रोफेसर क्रेग पियरसॉन्ग को मिल गया, जहां उन्होंने पूछा कि क्या "नहीं" कहा गया है कि क्या सीसीपी सिस्टम को अधिक ध्वनि बना रहे हैं।
उन्होंने कहा, "यह सही है, हाँ," जब मैंने उन्हें याद दिलाया। "कभी-कभी मुझे ऐसा लगता है कि मुझे कैंपफ़ायर के बगल में अपनी ठोड़ी के नीचे टॉर्च के साथ बात करनी चाहिए।"
CCPs को जोखिम जोखिम को कम करने के लिए माना जाता है जोखिम लेनदारों की कुल राशि को व्युत्पन्न व्यापार से देनदारों को कम करना है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, डेरिवेटिव के कारण, रिंग बैंक के आकार वाले चार-बैंक नेटवर्क में प्रत्येक बैंक ने अगले 100 मिलियन का बकाया देखा। तब सिस्टम में कुल क्रेडिट एक्सपोज़र $ 400 मिलियन होगा, क्योंकि लेनदारों के पास कुल राशि का जोखिम है। दूसरी ओर, यदि सभी बैंक एक-दूसरे के साथ CCP के माध्यम से कारोबार करते हैं, तो, चूंकि प्रत्येक बैंक CCP $ 100 मिलियन का बकाया होगा और CCP $ 100 मिलियन का बकाया होगा, इसलिए दोनों ऋण रद्द कर दिए जाएंगे और शून्य पर शुद्ध हो जाएंगे। प्रणाली में भव्य कुल ऋण जोखिम भी शून्य होगा।
अधिक यथार्थवादी परिदृश्यों में, एक CCP ने सिस्टम के क्रेडिट एक्सपोज़र को शून्य से कम नहीं किया, लेकिन जो हब और स्पोक आकार बनाता है, वह अभी भी इसे कम करेगा। यह नेटवर्क में कम लिंक के माध्यम से सिस्टम के ऋणों को फ़नलिंग करके, नेटिंग के लिए अधिक अवसर प्रदान करता है। यह एयरलाइन मामले के समान है जहां हब-एंड-स्पोक रूटिंग मार्गों की संख्या कम कर देता है, जिससे यात्रियों को उड़ानों को साझा करने का अधिक अवसर मिलता है। उस स्थिति में, लाभ कम खाली सीटें हैं। वित्तीय मामले में, लाभ कम क्रेडिट जोखिम है। उस एक्सपोजर का हाल ही में बैंक ऑफ इंटरनेशनल सेटलमेंट्स ने अनुमान लगाया था कि वह $ 2008 ट्रिलियन से घटकर 2.9 ट्रिलियन डॉलर रह जाएगा, जो कि 2008 के अंत में CCPs के कारण हुआ था।
"हम अभी भी वित्तीय नेटवर्क के मानचित्रण के पत्थर की उम्र में थोड़ा सा हैं। यह वास्तव में भयावह हिस्सा है।
हब-एंड-स्पोक्स का सरल आकार - उनके कनेक्शन और मार्गों की छोटी संख्या, उनके आसानी से समझ में आने वाले प्रवाह - पारदर्शिता को भी बढ़ावा देते हैं, जो स्वयं जोखिम को कम करता है। 2008 में एक बड़ा कारण क्रेडिट बाजार जम गया था, बस भ्रम था कि कौन किसके सामने आया। जैसा कि स्टैनफोर्ड के वित्त और व्युत्पन्न विशेषज्ञ डेरेल डफी ने कहा, लेहमैन के निधन के लिए बैंकरों की मानसिकता की नकल करते हुए, "गोश, अगर लेहमैन विफल रहा, तो लेहमैन से जुड़े अन्य कौन विफल हो सकते हैं?" और जो मैं उससे जुड़ा हूं वह लेहमैन से जुड़ा हो सकता है जो विफल हो सकता है? गोश, यह वास्तव में जटिल है। मुझे लगता है कि मैं केवल क्रेडिट प्रदान करना बंद करने जा रहा हूं।
शिपर्स, रिटेलर्स और एयरलाइंस को समान कारणों से हब और स्पोक्स से फायदा होता है। एयरलाइंस के पास ट्रैक रखने के लिए कम मार्ग हैं। फास्ट-फूड चेन में साल्मोनेला और अन्य दूषित पदार्थों के स्रोत को ट्रैक करने का एक आसान समय है।
वास्तव में, डफी ने कहा कि नियामकों और नेताओं के उत्साह के बारे में स्पष्ट जनादेश के लिए, “यह इतना अधिक नहीं था कि लोगों को भरोसा था कि यह जोखिम को कम करने वाला था। यह मूल रूप से अधिक पारदर्शिता बनाने का एक तरीका था, और उस प्रकार के जोखिम के बारे में अधिक आश्वस्त होना जो हम वास्तव में सामना करते हैं। ”
बड़े बैंकों ने लंबे समय तक वित्तीय नेटवर्क में हब के रूप में कार्य किया है, जिससे यह छोटा हो गया है। CCPs के साथ अंतर यह है कि बड़े बैंकों की तुलना में उनमें से बहुत कम हैं, जिससे वे एक छोटी सी दुनिया को भी छोटा बना रहे हैं। इसके अलावा, CCPs में एक और केवल एक ही काम करने का गुण है: दोनों पक्षों के बीच का व्यापार। वे बैंकों की तुलना में बहुत सरल और अधिक पारदर्शी हैं, और जैसा कि डफी बताते हैं, “CCP अर्जेंटीना को, या एरिज़ोना में रियल एस्टेट विकास के लिए पैसा उधार नहीं दे सकता है, जबकि बैंक कर सकते हैं। इसमें जोखिम लेने का कोई विवेक नहीं है। "

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5.FORECLOSED: 

2008 का संकट, जिसने पूरे संयुक्त राज्य अमेरिका में फौजदारी की लहर फैला दी थी, डेरिवेटिव बाजारों के पेचीदा टोपोलॉजी द्वारा भाग में लाया गया था।
और फिर भी, ऐसे लोग हैं जो आश्वस्त नहीं हैं।
जब मैंने तर्क दिया कि CCPs फ्रेंकलिन एलेन के सामने जोखिम भरे व्यवहार में शामिल नहीं होंगे, जो डफी की तुलना में सुरक्षा में उनके योगदान पर अधिक संदेह करते हैं, तो उन्होंने पीछे धकेल दिया। "मैं इससे असहमत हूं," उन्होंने कहा, "क्योंकि यदि आप निक लेसन और बारिंग्स जैसे इन डेरिवेटिव घोटालों को देखते हैं, तो इन जोखिमों को नियंत्रित करना बहुत मुश्किल है, इसलिए जब धोखाधड़ी और चीजें शामिल होती हैं, तो यह सिर्फ इतना है कि चीजें डॉन ' t काम बहुत अच्छा है। तब आपको इन भयावह विफलताओं के लिए क्षमता मिलती है। ”
पीरॉन्ग का नज़रिया यह है कि नियामक इसे कम करने के बजाय केवल जोखिम उठा रहे हैं। "आप मूल रूप से गुब्बारे को एक सिरे से निचोड़ते हैं और यह सिर्फ दूसरे को बाहर निकालता है," उसने मुझे बताया, सारांश यह है कि वह क्लियरिंग जनादेश को सबसे अधिक व्यापार-बंद के रूप में मानता है: कुल क्रेडिट जोखिम (जिसे सीसीपी को कम करना चाहिए) के बीच और "तरलता जोखिम" जो CCPs वास्तव में बढ़ सकता है।
वित्त में तरलता का अर्थ है नकदी तक पहुंच, या नकदी के लिए आसानी से बेची गई संपत्ति। तरलता जोखिम की आवश्यकता होने पर तरलता नहीं होने का खतरा होता है। CCPs संकट के दौरान एक तरलता की कमी को बढ़ा सकते हैं क्योंकि वे बैंक की चूक से खुद को बचाते हैं:बैंकों को CCP में न केवल उन ऋणों के खिलाफ जमानत देने के लिए कठोर नियमों को लागू करने की आवश्यकता होती है, लेकिन उन ऋणों के विरुद्ध जो बैंक संभवतः CCP को दे सकते हैं। CCPs संपार्श्विक के रूप में तरल संपत्ति की मांग करते हैं। इसलिए, उच्च बाजार में उतार-चढ़ाव या दुर्घटना के कारण CCPs को अपने आप को बचाने के लिए बैंकों पर बड़े मार्जिन से कॉल करने की जरूरत पड़ सकती है, जब यह सबसे ज्यादा जरूरत होती है। और इससे कुछ बैंक अपने अन्य अल्पकालिक ऋणों पर चूक कर सकते हैं, जिससे उन्हें सीसीपी के लिए अनिवार्य रूप से दिवालिया हो जाना पड़ता है।
पीरॉन्ग को इस बात की भी चिंता है कि क्लीयरिंग जनादेश का असर वित्तीय नेटवर्क के सदस्यों पर पड़ेगा, जो ट्रेड डेरिवेटिव बिल्कुल नहीं करते हैं। उनके एक कागजात से पता चलता है कि कैसे CCPs की नेटिंग और मार्जिनिंग की आवश्यकताएं बैंकों को अन्य लेनदारों को कम कर सकती हैं - जैसे कि मुद्रा बाजार फंड, जो कि डेरिवेटिव के बजाय ऋण के माध्यम से बैंकों को उधार देते हैं - यदि बैंक दिवालिया हो जाता है तो पुनर्प्राप्त करें।
"एक प्रणालीगत दृष्टिकोण से," पीरॉन्ग ने कहा, "हर किसी को देखकर, यह स्पष्ट नहीं है कि एक्सपोज़र कम हो गए हैं। कुछ एक्सपोज़र कम कर दिए गए हैं, लेकिन अन्य एक्सपोज़र बढ़ा दिए गए हैं। ”
सहयोगी हॉक्सियांग झू के साथ डफी ने दिखाया है कि सीसीपी हमेशा कुल ऋण जोखिम को कम नहीं करते हैं, और वास्तव में इसे बढ़ा सकते हैं। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि बैंकों के बीच फायदेमंद नेटिंग तब भी होती है जब वे सीधे एक-दूसरे के साथ व्यापार करते हैं - उनके व्यापार आम तौर पर ऋण में परिणाम दोनों तरीके से निर्देशित किया। वास्तविक-विश्व CCPs आमतौर पर उन सभी ट्रेडों के बीच खड़े नहीं होते हैं जो दो समकक्षों ने एक-दूसरे के साथ किए हैं, लेकिन केवल कुछ। इसलिए, एक सीसीपी के शुद्ध लाभ नेटिंग लाभ की कीमत पर आते हैं जो द्विपक्षीय प्रणाली अन्यथा होती थी।
डफी ने पारंपरिक ज्ञान के बारे में मुझसे कहा, "मुझे नहीं लगता कि किसी ने वास्तव में सीसीपी के बाहर बहुपक्षीय जाल के बीच इस व्यापार-बंद पर विचार किया था।" जबकि उनका मानना ​​है कि नियामक स्पष्ट समाशोधन को अपनाने के लिए सही थे, उनका यह भी मानना ​​है कि "उनकी नियोजन प्रक्रियाएं शायद इतनी अच्छी नहीं थीं, कि उनके पास यह विश्वास करने के लिए विश्लेषण नहीं था कि यह वास्तव में जोखिम का एक महत्वपूर्ण कमी होगा। शुरू होने से पहले। ”
यह अभी भी समस्या का हिस्सा है, जो एक समस्या को देखते हैं: कि वित्तीय नेटवर्क इतना बड़ा और जटिल है कि केवल व्यापक डेटा और इसके पूर्ण मॉडलिंग से हमें यह बताने की उम्मीद है कि क्या जनादेश, अन्य व्युत्पन्न का उल्लेख नहीं करना है नियम, वास्तव में अच्छा कर रहे हैं।इस विषय पर हाल के अर्थशास्त्र साहित्य की एक स्कैन से पता चलता है कि इसमें से अधिकांश खिलौना मॉडल पर ध्यान केंद्रित करते हैं, जैसे कि एलन और गेल, वास्तविक दुनिया के नाटकीय सरलीकरण हैं। यह एक आवश्यक पहला कदम है, क्योंकि आपको चलने से पहले चलना चाहिए, और क्योंकि पूर्ण वित्तीय नेटवर्क को चिह्नित करने के लिए डेटा अभी तक उपलब्ध नहीं है।
लेकिन अभी के लिए, स्टैनफोर्ड में डफी के सहयोगी के रूप में, अर्थशास्त्री मैथ्यू जैक्सन ने मुझसे कहा, "हम अभी भी वित्तीय नेटवर्क के मानचित्रण के पत्थर की उम्र में थोड़ा सा हैं। बहुत सारे लोग महसूस करते हैं कि यह एक मुद्दा है और हम अभी तक उपकरण के साथ सुसज्जित नहीं हैं कि वास्तव में एक अच्छा काम करते हैं, इसलिए हम यह कहना आश्वस्त हैं कि हमें वास्तव में यह नियंत्रण में है ... यह वास्तव में भयावह हिस्सा है। "
वास्तव में, स्थिति इससे भी अधिक पेचीदा है, क्योंकि एक बार भी सभी डेटा और मॉडल जो हम ऑनलाइन चाहते हैं, अभी भी व्यापार-बंद होंगे जो अकेले विज्ञान नहीं कर सकता है। जैक्सन ने कहा, उदाहरण के लिए, "कौन सा नेटवर्क इष्टतम है यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप इसे किस तरह के झटके के साथ मार रहे हैं ... कुछ वास्तव में बहुत सारे छोटे बदलावों के लिए मजबूत हो सकता है और तब यह एक विनाशकारी नेटवर्क हो सकता है जब यह एक बड़े वित्तीय मंदी की ओर आता है एक बड़ी फर्म। ”
फिर एक बात यह है कि मेरे द्वारा सहमति व्यक्त की गई प्रत्येक अर्थशास्त्री कमरे में हाथी था: सीसीपी ही विफल रहता है।
हब विफलता हब-एंड-स्पोक नेटवर्क का अकिलीस एड़ी है। यही कारण है कि कार्यकर्ता अपनी रानी की रक्षा करने के लिए झुंड में रहते हैं, क्यों जीवविज्ञानी जोर्डी बासकोम्प्टे ने उच्च संरक्षण प्राथमिकताओं को प्राप्त करने के लिए परागण नेटवर्क में हब प्रजातियों का आह्वान किया है, have 9/11 के बाद से सैनिकों ने ग्रैंड सेंट्रल टर्मिनल पर गश्त क्यों की है, और नियामक द्वारा सीसीपी की आवश्यकता क्यों है संपार्श्विक इकट्ठा करने के लिए।
CCPs अतीत में विफल रहे हैं, लेकिन केवल छोटे बाजारों में। अब जब वे दुनिया के सबसे बड़े बाजार के केंद्र में हैं, एलन ने मुझसे कहा, "यह उस तरह के प्रणालीगत जोखिम के कारण संकट की संभावना को कम करता है, लेकिन अगर ऐसा संकट उत्पन्न होने वाला था, यह अधिक गंभीर होगा। "
दूसरे शब्दों में, CCPs ने बाज़ार के सभी अंडों को एक टोकरी में रख दिया।
डफी उस रूपक की तरह नहीं है ("अच्छी तरह से गणितीय रूप से अच्छी तरह से सूचित किया गया है ... नेटिंग के कारण"), और वह बताता है कि एक बड़ी नोड की विफलता जरूरी नहीं है कि कई छोटे नोड विफल होते हैं। वह जो सबसे महत्वपूर्ण है, वह कहता है, क्या नियामकों ने सीसीपी की विफलता की संभावना को "पर्याप्त रूप से छोटा" बना दिया है और दूसरा, क्या उनके पास "एक तरीका है जो एक असफल सीसीपी के इलाज के लिए उचित है।"
जोड़ने से पहले एक अशुभ क्षण की तरह महसूस करने के लिए डफी ने रोका:
"उनके पास अभी तक एक भी नहीं है।"
यह परिचित लग सकता है। बड़े बैंकों और अन्य वित्तीय कंपनियों के संबंध में यह अनिवार्य रूप से वही स्थिति है जो 2008 में हमारे पास थी। इसने भालू-स्टर्न और एआईजी के तदर्थ खैरात और लेहमन के पतन को घेरने वाली अराजकता को जन्म दिया।
तो, क्या कोई उम्मीद है कि नेटवर्क विज्ञान दुनिया को एक और वित्तीय आपदा से बचाने में मदद करेगा? संभवतः। लेकिन अगर ऐसा है, तो यह केवल मार्क ट्वेन की कोरोलरी से सहायता के साथ होगा: "अपने सभी अंडे एक टोकरी में रख दें और -" इस तरह से देखें "।

The Game of Gaussian Elimination: An Introduction to Linear Algebra

1.गाऊसी उन्मूलन का खेल: रैखिक बीजगणित का एक परिचय(The Game of Gaussian Elimination: An Introduction to Linear Algebra)-

बीजगणित से मातृवंश की भूमि तक छलांग लेना
स्वीकारोक्ति: मुझे रैखिक बीजगणित बहुत पसंद है। ठीक है, हो सकता है कि यह एक स्वीकारोक्ति के अधिक नहीं है, लेकिन मैं इसे प्यार करता हूँ! एक बड़े हिस्से में, क्योंकि रैखिक बीजगणित बाकी गणित की तरह महसूस नहीं करता है, यह एक पहेली की तरह लगता है।

अब वह पागल लग सकता है, लेकिन मेरी बात सुन लो।

मेट्रिसेस और वैक्टर की यह नई भूमि भयभीत कर सकती है और महसूस कर सकती है, और अच्छे कारण के लिए: नया अंकन, नए नियम, नए गुण। यह थोड़ा अलग है। लेकिन शायद इसे एक पहेली के रूप में देखने से आपको उस नए नोटेशन बाधा पर कूदने में मदद मिलेगी।

यह एक कोशिश देने के लिए तैयार हैं?

2.कहा से शुरुवात करे?(Where to start?)-

मेरा मानना ​​है कि रेखीय बीजगणित के साथ शुरू करने के लिए सबसे अच्छी जगह समीकरणों को सुलझाने की प्रणाली के साथ है क्योंकि यह कुछ ऐसा है जिसे आप शायद पहले से ही सीख चुके हैं। प्रतिस्थापन और उन्मूलन के तरीकों को याद रखें ?? क्या वो घंटी बजाते हैं? यदि नहीं, तो आप अपनी स्मृति को यहाँ ताज़ा कर सकते हैं। 
आज हम गौसियन उन्मूलन नामक एक विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए एक नया दृष्टिकोण लेने जा रहे हैं।

3.गाऊसी उन्मूलन क्या है ??(What is Gaussian Elimination??)-

गाऊसी उन्मूलन एक ऐसी विधि है जहां हम अपने समीकरणों का एक मैट्रिक्स में अनुवाद करते हैं और सिस्टम को हल करने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग करते हैं (यानी प्रत्येक चर के लिए समाधान खोजें जो सभी समीकरणों को सच बनाते हैं)।
मैं आज आपको एक सरल उदाहरण के माध्यम से चरण-दर-चरण चलने जा रहा हूं (संख्या अच्छी तरह से काम करती है इसलिए अभी तक बहुत कम कदम हैं!)। यदि आप अधिक गहराई से उदाहरण चाहते हैं, तो नीचे दिए गए l

4.स्थापित करना(The Set Up)-

जैसे फेरबदल और व्यवहार करके कार्ड गेम शुरू करना, गॉसियन एलिमिनेशन के हमारे खेल की शुरुआत एक मैट्रिक्स में हमारे समीकरणों का अनुवाद करके शुरू होती है।
यहाँ हम जिस सिस्टम को हल करने जा रहे हैं, वह है:
                    y+2Z= -4
                    x+2y-z=6
                    2y+z=1
सबसे पहली बात जो आपको पहचाननी है, वह यह है कि हमारे सिस्टम में बहुत सारी छिपी हुई जानकारी है। लाल में मैं प्लेसहोल्डर शून्य और अन्य में जोड़ूंगा।
                                         0x+1y+2z= -4
                    1x+2y-1z=6
                    0x+2y+1z=1
अगला, हम सभी महत्वपूर्ण सांख्यिक सूचनाओं को बाहर के प्रतीकों से अलग करने जा रहे हैं। अब लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, आप उन सभी महत्वपूर्ण सूचनाओं को प्राप्त करेंगे जिनके साथ हम काम करेंगे
                                         0x+1y+2z= -4
                    1x+2y-1z=6
                    0x+2y+1z=1
हमें मैट्रिक्स के रूप में ऊपर के संख्यात्मक मानों को फिर से लिखना होगा। हम अक्षरों, समान संकेतों और अतिरिक्त प्रतीकों (लेकिन माइनस सिंबल नहीं!) को छोड़ देंगे और बस उन सटीक क्रमों और नंबरों को लिखें जो वे ऊपर दिखाई देते हैं।
ऐसा करने के बाद हम बड़े ब्रैकेट प्रतीकों को एक साथ जोड़ने के लिए जोड़ देंगे। यह हमारा मैट्रिक्स है:
                                     
                 

The Game of Gaussian Elimination: An Introduction to Linear Algebra

5.नियम ✅(The Rules )-
किसी भी खेल की तरह, कुछ नियम हैं जिनका हमें पालन करना है:
आप किसी भी दो पंक्तियों को स्वैप कर सकते हैं
आप किसी भी पंक्ति को एक मूल्य से गुणा या विभाजित कर सकते हैं
आप किसी भी दो पंक्तियों को एक साथ जोड़ या घटा सकते हैं
* नोट: आप इन नियमों को किसी भी एक चाल में जोड़ सकते हैं।
अगर यह अभी तक समझ में नहीं आता है, तो चिंता न करें। जब आप हमारे उदाहरण के माध्यम से काम करते हैं तो आप देखेंगे कि वे कैसे काम करते हैं।

6,कैसे जीतें 🎉(How to Win)-

जब आपका मैट्रिक्स ऐसा दिखता है तो आप जीत जाते हैं:

The Game of Gaussian Elimination: An Introduction to Linear Algebra

जहां # चिह्न किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं, और बाकी मैट्रिक्स में विकर्ण को छोड़कर प्रत्येक स्थिति में शून्य है। इसे Reduced-Row Echelon Form कहा जाता है।

7.चलो खेलें!(Let’s Play!)-

सेटअप चरण के दौरान आपके द्वारा किए गए मैट्रिक्स से शुरू करें। अब हम इस मैट्रिक्स को फिनिश लाइन के पार पाने के लिए नियमों का उपयोग करने जा रहे हैं!

The Game of Gaussian Elimination: An Introduction to Linear Algebra

मैट्रिक्स शुरू करना
मूव 1: स्वैप रो वन और रो टू
इस मैट्रिक्स को जीतने के रूप में प्राप्त करने के लिए बहुत सारे अलग-अलग तरीके हैं, लेकिन मुझे लगता है कि शुरू करने का सबसे आसान तरीका पहली और दूसरी पंक्ति को स्वैप करना है। इस तरह हम पहली पंक्ति की पहली स्थिति में 1 और दूसरी पंक्ति की पहली स्थिति में एक 0 प्राप्त करते हैं।

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मूव 2: -2 बार रो टू टू रो थ्री जोड़ें
एक चीज जो हमें करने की अनुमति है वह एक चरण में कई नियमों का एक साथ उपयोग करना है। इस चाल में, हम -2 बार पंक्ति दो लेंगे और उन उत्पादों को पंक्ति तीन में जोड़ देंगे। यह पंक्ति को दो अपरिवर्तित छोड़ देगा लेकिन हमें तीसरी पंक्ति दूसरी स्थिति में एक शून्य प्राप्त करने में मदद करेगा।

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मूव 3: रो थ्री को -3 से विभाजित करें
अगला, हम केवल पंक्ति तीन को -3 से विभाजित करेंगे ताकि हम तीसरी पंक्ति के तीसरे स्थान पर 1 प्राप्त कर सकें।

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मूव 4: -2 बार रो थ्री को रो टू में जोड़ें
अब हमारे पास नीचे के बाएं कोने में सभी शून्य हैं, जो 1 के विकर्ण से घिरा हुआ है, हम 1 के ऊपर के पदों में शून्य प्राप्त करने पर काम शुरू करने के लिए तैयार हैं।
लेकिन इससे पहले कि हम ऐसा करते हैं, मैं थोड़ा साइड नोट करना चाहता हूं: हमारा मैट्रिक्स वर्तमान में पंक्ति में है। इस रूप में, आप अपनी मैट्रिक्स को समीकरणों के एक सेट में अनुवाद कर सकते हैं, यदि आप चाहें, और आसानी से x, y और z के लिए हल कर पाएंगे। आज हम अपने समीकरण को कम रो इकोलोन फॉर्म में लाने पर काम कर रहे हैं, जिसका अर्थ है कि हम 1 के ऊपर के पदों में शून्य प्राप्त करना चाहते हैं। रैखिक बीजगणित में अक्सर आपको कम से कम पंक्ति वाले इकोलोन रूप में काम करने के लिए कहा जाएगा क्योंकि यह उत्तर को पढ़ने के लिए सबसे आसान रूप है।
ठीक है, हमारे गणित पर वापस। इस अगले कदम में, हम तीसरी पंक्ति से -2 गुना लेंगे और इसे दूसरी पंक्ति में जोड़ देंगे ताकि हम पंक्ति 2 की तीसरी स्थिति में 0 प्राप्त कर सकें।

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चाल 5: पंक्ति तीन को पंक्ति एक में जोड़ें
इसके बाद, हम बस पंक्ति तीन को पंक्ति -1 से जोड़ेंगे -1 + 1 = 0, इससे हमें पहली पंक्ति की तीसरी स्थिति में 0 प्राप्त करने में मदद मिलेगी।

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मूव 6: -2 बार पंक्ति दो को पंक्ति एक में जोड़ें
अंत में, हम पहली पंक्ति की दूसरी स्थिति में शून्य प्राप्त करने के लिए पहली पंक्ति में -2 बार पंक्ति दो जोड़ देंगे।

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बधाई हो, आप जीत गए !! WIN
हम सब करने के लिए छोड़ दिया है जवाब बंद पढ़ा है! ऐसा करने के लिए बस अपने मैट्रिक्स को समीकरणों के एक सेट में अनुवाद करें, और आप देखेंगे कि आपने x, y और z के लिए समाधान खोज लिए हैं।
                 1x+0y+0z =-1
                 0x+1y+0z=2
                 0x+0y+1z=-3
सभी शून्य शर्तों को छोड़ने, आपको मिलता है:
                    x= -1
                    y= 2
                    z= -3
इसका मतलब यह है कि 3-आयामी अंतरिक्ष में चौराहे बिंदु जहां तीन विमानों के बीच अंतर है (-1,2, -3)।
याद रखें कि आप हमेशा मूल समीकरणों में मानों को प्लग करके अपने समाधान की जांच कर सकते हैं