How Brain of Euclid Works

1.कैसे यूक्लिड का दिमाग काम करता है की भूमिका (Introduction of How Brain of Euclid Works)-

इस आर्टिकल में बताया गया है कि यूक्लिड ने बुद्धि का प्रयोग करके गणित के क्षेत्र में महान योगदान दिया है। गणित में उनके योगदान आज भी प्रासंगिक है और उनकी कृति एलिमेण्टस है जो वर्तमान में भी प्रसिद्ध ग्रन्थ है। प्राॅक्लस (Proclus) के कथनानुसार यूक्लिड का कार्यकाल लगभग 300 ई. पूर्व माना जाता है। उनके वास्तविक के विषय में बहुत कम जानकारी है। वे टाॅलमी प्रथम (Ptilemy) के सहकालिक माने जाते हैं। आर्कमिडीज ने यूक्लिड के सम्बन्ध में लिखा है। वे स्वयं टाॅलमी प्रथम के बाद हुए हैं। प्राॅक्लस (Proclus) जो पाँचवीं सदी में लगभग यूक्लिड से 800 वर्षों बाद हुए। यूक्लिड का समय लगभग 300 ई. पू. प्लेटो (Plato) के विद्यार्थियों और आर्कमिडीज की सशक्त दूरी के बीच मानते हैं।

How Brain of Euclid Works

प्राॅक्लस (Proclus) के पास कोई प्रमाण नहीं थे। प्राॅक्लस के यूक्लिड की प्रथम पुस्तक (Euclid's Book I) के विवरण (commentary) से उनके कार्यों पर प्रकाश पड़ता है। यह अधिकार के साथ कहा जा सकता है कि यूक्लिड सिकन्दरिया (Alexandria) के प्रसिद्ध विश्वविद्यालय (University) के प्रथम प्रोफेसर (Professor) थे। वे ही एलेक्जण्डिया स्कूल आॅफ मैथेमेटिक्स (Alexandria School of Mathematics) के संस्थापक थे। इस बात के भी प्रमाण मिलते हैं कि उन्होंने गणित में प्रशिक्षण ऐथन्स (Athens) के प्लाटोनिक स्कूल (Platonic School) में प्राप्त की उन्होंने कम से कम 10 शोध पत्र (Treatise) लिखे। उन पर कुछ दूसरे बहुत कम ऐतिहासिक टिप्पणियाँ (Historical Comments) भी मिलती है। इनमें पैपस (Pappus) की टिप्पणी जो कि चौथी ई. सन् की शताब्दी में की गई थी, प्रमुख है। इसके अनुसार अपोलोनियस (Appollonius) तीसरी शताब्दी ई. पू. में यूक्लिड (Euclid) के विद्यार्थियों के साथ अलक्जण्ड्रिया (Alexandria) में अध्ययन करते थे यद्यपि यूक्लिड के जीवन के सम्बन्ध में बहुत कम ऐतिहासिक विवरण उपलब्ध हैं, किन्तु अन्य प्राचीन कालीन गणितज्ञों की अपेक्षा उनके अधिक लेख (writings) उपलब्ध है ।ऐलिमेण्ट्स (Elements) के अतिरिक्त उनमें डेटा (Data), संख्याओं के विभाजन (On Divisions of Figures), दि फैनाॅमिना(The Phaenomena) और आॅप्टिका (Optica) गणित में महत्त्वपूर्ण स्थान रखते हैं। इनकी रचना ऐलिमेण्ट्स (Elements) गणित की एक महान धरोहर विश्व को उपलब्ध है। टाॅलमी (Tolamy) जो कि स्वयं ग्रीक के शासक थे, ने एक बार यूक्लिड से पूछा, क्या ज्यामिति में ऐलिमेण्ट्स के अलावा अन्य सरल रास्ता नहीं है? यूक्लिड ने सहज रूप से कहा - "ज्यामिति में तत्वों के लिए कोई राजमार्ग नहीं है।"
इस आर्टिकल में इन छ:समस्याओं का वर्णन किया गया है। यदि यह आर्टिकल आपको पसन्द आए तो अपने मित्रो के साथ शेयर व लाईक करें ।आपकी कोई समस्या हो या कोई सुझाव हो तो कमेंट करके बताएं ।

2.यूक्लिड का इतिहास और ग्रन्थ (History and Text of Euclid)-

यूक्लिड के जन्म और मृत्यु का ठीक-ठीक पता नहीं है। इतना अवश्य मालूम है कि उसका समय 300 ई. पू. के लगभग था। इनकी प्रारम्भिक शिक्षा एथेन्स में हुई। टोलेमी प्रथम (ptolemy I) के राज्यकाल (306 ई. पू. से 283 ई. पू. तक) में इन्होंने सिकन्दरिया (Alexanderia) में एक स्कूल खोला। ऐसा कहा जाता है कि एक बार इसके एक शिष्य ने ज्यामिति का प्रथम साध्य पढ़ने के बाद कहा कि इसके सीखने से क्या मिलेगा। यूक्लिड ने अपने नौकर से कहा कि इसे 6 पैनी दे दो क्योंकि यह प्रत्येक बात में लाभ ही चाहता है।
यूक्लिड का सबसे विख्यात ग्रन्थ 'एलिमेण्ट्स' जिसके 1882 ई. से अब तक एक हजार से अधिक संस्करण हो चुके हैं। इस ग्रन्थ की विषय-सूची निम्नलिखित है -
1.सर्वांगसमता (congruency)और समानता (parallelism)
2.बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ और क्षेत्रफल (Algebraic Identity and Area)
3.वृत्त (Circle)
4.अन्तर्गत और परिगत बहुभुज (Inscribed and Circumscribed Polygons)
5.समानुपात (Proportion)
6.बहुभुजों की समरूपता ( Similarity of Polygons)
7.-9अंकगणित (Arithmetic)
10.असुमेय राशियाँ (Irrational Numbers)
11-13.ठोस ज्यामिति (Solid Geometry)
इस ग्रन्थ के अतिरिक्त यूक्लिड के अन्य ग्रन्थ निम्नलिखित हैं-
(1.)डेटा(Data) - इसमें 94 साध्य दिए गए हैं। इन साध्यों में किसी आकृति के कुछ अंग (Elements) ज्ञात होने पर शेष अंग ज्ञात करने की विधि का उल्लेख है।
(2.)आकृतियों के विभाजन पर एक पुस्तक - इस पुस्तक का विषय है कि यदि कोई आकृति त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त आदि दी हुई हो तो ऐसे दो भागों में किस प्रकार विभाजित किया जाए कि उन दोनों भागों के क्षेत्रफल में एक निर्दिष्ट (Given) अनुपात हो।
(3.)स्यूडेरिया (Pseudaria) - इस पुस्तक में यह विषय वर्णित किया गया है कि ज्यामिति के अध्ययन में विद्यार्थी आमतौर पर कौन-कौनसी गलतियाँ करते हैं।
(4.)शांकव (Conic) -यह पुस्तक चार जिल्दों में है।
(5.)पोरिज्म्स(Porisms)-इस ग्रन्थ में उच्च ज्यामिति विषय वर्णित किया गया है।
(6.)तल-बिन्दुपथ (Surface Loci)-यह ग्रन्थ दो भागों में वर्णित है।
यूक्लिड की अन्य कृतियाँ ज्योतिष, संगीत, चाक्षुषी(Optics) आदि पर हैं।
मुझे याद है कि मेरी गणितीय शिक्षा संख्याओं के साथ शुरू हुई है। पहले मेरे पिता, फिर बाद में मेरे प्राथमिक शिक्षक ने मुझे सिखाया कि मेरी प्राथमिक गणित शिक्षा को कैसे गिना जाए। हालांकि, 2400 साल पहले, सब कुछ पूरी तरह से अलग था, और बच्चों को पहले ज्यामिति सिखाया गया था।

3..कैसे यूक्लिड का दिमाग काम करता है (How Brain of Euclid Works-)

How Brain of Euclid Works

यीशु से पहले, ज्यामिति संख्या से अधिक महत्वपूर्ण थी। उदाहरण के लिए, जब पश्चिमी दुनिया में उच्च शिक्षा के पहले संस्थान के संस्थापक, प्लेटो एथेंस वापस आए, तो उन्होंने "अकादमी" को खोजने का फैसला किया जहां यह दुनिया का बौद्धिक केंद्र होगा (विकिपीडिया, "प्लेटो") । इस उद्देश्य के लिए, एक अकाट्य आवेदन शुल्क लेने के बजाय, उन्होंने अपनी अकादमी में प्रवेश करने के लिए ", ΜΗΔΕΙΣ ΕΙΣΙΤΩ" (ग्रीक से अनुवादित "ज्यामिति से अनभिज्ञ व्यक्ति को यहां प्रवेश न करें") उत्कीर्ण किया, जो विरोध कर रहे थे। प्लेटो के आदर्श दुनिया के विचार का सौंदर्य और बुद्धिमत्ता के साथ एक मजबूत संबंध था, जो गणित में अच्छी तरह से सिखाया जाता था। बाद में, एक युवक, अलेक्जेंड्रिया के यूक्लिड ने उस दरवाजे में प्रवेश किया और एक गणितज्ञ और दार्शनिक बन गया, और एक ज्यामिति पुस्तक, द एलीमेंट्स लिखी, जो अब तक की सबसे प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तक रही और सबसे व्यापक रूप से मुद्रित पाठ के बाद पवित्र बाइबल और पवित्र कुरान (सूचना का इतिहास, "यूक्लिड के तत्व")।
तत्व इसलिए प्रभावशाली थे क्योंकि इसमें यूक्लिड के समय तक गणित में महत्वपूर्ण कार्यों का एक व्यापक संग्रह था (कॉलेज ऑफ एजुकेशन, "यूक्लॉक्स के तत्वों पर प्रभाव")। यूक्लिड के अधिकांश विचार रहस्योद्घाटन के रूप में आए और यूक्लिडियन ज्यामिति की नींव रखी। ये विचार आज से दो हजार साल पहले तक ज्यामिति के शिक्षण और समझ का मूल बन गए थे। लंबे समय तक, यदि आप द एलीमेंट्स नहीं पढ़े हैं, तो आपको शिक्षित नहीं देखा गया था। आज भी, जब आप द एलिमेंट्स पढ़ते हैं, तो इसमें आधुनिक सिद्धांत शामिल होते हैं जो आज भी प्रासंगिक हैं, जो इसे असाधारण बनाता है।
ओलिवर बर्न: यूक्लिड के तत्वों की पहली छह पुस्तकें

The First Six Books of the Elements of Euclid

यूक्लिड ईसा से लगभग 300 वर्ष पहले जीवित था। वह गणित में रुचि रखने वालों के लिए एक आदर्श उदाहरण था। उनकी मृत्यु के बाद, उनके विचारों और प्रकाशित कामों का उत्पादन उन्होंने प्रतिभाशाली दिमागों के लिए एक अभिसरण बिंदु बन गया। सीखे हुए व्यक्ति अपनी गणित की शक्ति की खोज के लिए अपनी पुस्तकों को पढ़ने जा रहे थे, भले ही वे गणितज्ञ न हों।
उदाहरण के लिए, 2,000 से अधिक वर्षों के बाद यह पहली बार लिखा गया था, अब्राहम लिंकन यूक्लिड के एलीमेंट्री लैम्पलाइट को पढ़ रहे थे ताकि सभी को डॉरमेटरी (विकिपीडिया, "यूक्लिड्स एलिमेंट्स") में बिस्तर पर जाने के बाद अपने तर्क को बढ़ाने के लिए लैम्पलाइट को पढ़ सकें। जब वह राष्ट्रपति बने, तब भी वह अपने तर्क से हटने और अमेरिका को शासित करने के दौरान सही राजनीतिक निर्णय देने के लिए उसी पुस्तक को पढ़ रहे थे।
इसी तरह, उपन्यासकार और दार्शनिक फ्योदोर दोस्तोयेव्स्की ने यूक्लिड का उल्लेख अपनी पुस्तक द ब्रदर्स करमज़ोव में [नीचे  लिखा गया ]:
What are we aiming at how?I am trying to explain as quickly as possible my essential nature,that is what manner of man I am,what I believe in,and for what I hope ,that's it ,isn't?And therefore I tell you that I accept God simply.But you must note this:if God exists and if He really did create the world,then,as we all know.He created it according to the geometry of Euclid and the human mind with the conception of only three dimensions in space.Yet there have been and still are geometricians and philosophers,and even some of the most distinguished,who doubt whether the whole universe,or to speak more widely,the whole of being,was only created in Euclid's geometry;they even dare to dream that two parallel lines,which according to Euclid can never meet on earth,may meet somewhere in infinity.I have come to the conclusion that,since I can't understand even that,I can't expect to understand about God.I acknowledge humbly that I have no faculty for setting such question,I have a Euclidian earthly mind,and how could I solve problem that are not of this world?And I advise you never to think about it either ,my dear Alyosha,especially about God,whether He exists or not.All such question are utterly inappropriate for a mind created.with an idea of only three dimensions.And so I accept God and am glad to,and what's
और उसके एक सदी बाद, अल्बर्ट आइंस्टीन के सबसे महान दिमागों में से एक, यूक्लिड को और भी मजबूत समर्थन दिया और उनकी पुस्तक ऑन द थियोरेट ऑफ थ्योरिटिकल फिजिक्स के अपने निबंध में [नीचे प्रकाश डाला गया]]
We reverence ancient Greece as the cradle of western science .Here for the first time the world witnessed the miracle of a logical system which proceeded from step to step with such precision that every single one of its propositions was absolutely indubilable- I refer to Euclid's geometry.This admirable triumph of reasoning gave the human intellect the necessary confidence in itself for its subsequent achievements.If Euclid failed to kindle your youthful enthusiasm,then you were not born to be a scientific thinker.
अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा विज्ञान में योगदान, स्नातकोत्तर। 271 स्रोत: पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय
हमारे समय के कुलीन दार्शनिक बर्ट्रेंड रसेल (1872-1970) के शब्दों में, हम यूक्लिड का एक स्पष्ट और संक्षिप्त मूल्यांकन पाते हैं: "यूक्लिड के तत्व निश्चित रूप से अब तक लिखी गई सबसे बड़ी पुस्तकों में से एक है और सबसे आदर्श स्मारकों में से एक है ग्रीक बुद्धि। "उन्होंने अपनी आत्मकथा में यह भी कहा है:" ग्यारह साल की उम्र में, मैंने अपने ट्यूटर के रूप में अपने भाई के साथ यूक्लिड की शुरुआत की। यह मेरे जीवन की महान घटनाओं में से एक थी, जैसा कि पहला प्यार था। मैंने कल्पना नहीं की थी कि दुनिया में इतना स्वादिष्ट कुछ भी है। ”
Euclid Elements is certainly one of the greatest books ever written,and one of the most perfect monuments of the Greek intellect.It has,of course,the typical Greek limitations:the method is purely deductive,and there is no way,within it ,of testing the initial assumptions.These assumptions were supposed to be unquestionable,but in the nineteeth century non-Euclidean geometry showed that they might be in part mistaken,and that only observation could decide whether they were so.
यूक्लिड अन्य लोगों से अलग था। हम उनके व्यक्तिगत जीवन, परिवार और गैर-गणित की जिज्ञासा के बारे में लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं; हालाँकि, एक बात जो हम जानते हैं कि वह अलेक्जेंड्रिया शहर में अपने समय के सबसे सम्मानित शिक्षकों में से एक थी। जबकि अन्य भोजन और आश्रय का खर्च उठा रहे थे, यूक्लिड अमूर्त विचारों से निपट रहा था। वह गणितीय अवधारणाओं के अनुसार शहरों के निर्माण और निर्माण में कोई दिलचस्पी नहीं रखते थे। उन्होंने महसूस किया कि समाज बदल रहा है और लोगों को शहरों पर शासन करने के लिए तार्किक तरीके से सोचने की जरूरत है। इसीलिए इस युग में गणित के सैद्धांतिक विचारों में वृद्धि देखी गई।
वह एक भटक आदमी था जिसने खुद को तुच्छ समस्याओं से मुक्त कर दिया, जिन्होंने उन सच्चाइयों की खोज की, जिनकी हम आज उपग्रह तस्वीरों के साथ पुष्टि कर सकते हैं, क्योंकि वह समुद्र में बैठे थे, जिस दुनिया में हम रहते हैं, उसके बारे में सवालों के जवाब देते हुए। सीधा और एक कम्पास। ये एकमात्र उपकरण थे जो यूक्लिड पूरे तत्वों के लिए उपयोग किए गए थे। सबसे पहले, उसने दो बिंदुओं और एक रेखा खींचने के लिए अपने उपकरणों का उपयोग किया, जिससे उसने हमसे सीखने के लिए बहुत अधिक दिलचस्प चीजें प्राप्त कीं। यदि हम गणित को एक बौद्धिक यात्रा के रूप में परिभाषित करते हैं, तो यूक्लिड के विचार निश्चित रूप से उस यात्रा के पहले चरण हैं। यूक्लिड की खिड़की से दृश्य एक क्रांति थी जिसे अंतरिक्ष में बढ़ाया जाएगा।
वास्तव में, यूक्लिड की दृष्टि में, गणित इसलिए महत्वपूर्ण था क्योंकि यह विशुद्ध रूप से सत्य-उन्मुख है, और इसमें कला की सुंदरता और अमूर्त विचार का मूल्य है। उनका गणितीय दृष्टिकोण अभी भी तर्क का एक आदर्श मॉडल है। उन्होंने कुछ ऐसा किया जो पहले नहीं किया गया था। हम कह सकते हैं कि उनकी रचनाएँ गणित की एक विश्लेषणात्मक कटौती विषय के रूप में विचार की शुरुआत थीं। उसने हमें एक मूल्यवान सबक सिखाया; जब हम सहजता से महसूस करते हैं कि कुछ सच है, तो हमें यह साबित करने की जरूरत है कि यह हमेशा सभी के लिए सच है। उसने हमें प्रमाण की शक्ति और एक तार्किक मार्ग दिखाया जो हमें सार्वभौमिक सत्य खोजने में मदद करता है। उन्होंने गणित को एक ऐसे विषय में बदल दिया जो सौ प्रतिशत निश्चितता के साथ चीजों को साबित करता है और इसे विभिन्न स्थितियों में लागू किया जा सकता है।
जब आप यूक्लिड के तत्वों को पढ़ते हैं, तो आप देखेंगे कि यूक्लिड का गणितीय दृष्टिकोण अद्वितीय और सरल है। वह बुनियादी धारणाओं से शुरू होता है जैसे कि अगर यह सच है, तो यह सच होना चाहिए या यदि यह गलत है, तो इसके विपरीत सच होना चाहिए। फिर वह या तो अपनी मान्यताओं को साबित करता है या उसे खारिज करता है, और एक प्रमेय के रूप में परिणाम लिखकर निष्कर्ष निकालता है। यहां जो महत्वपूर्ण है वह यह है कि यूक्लिड ने सार्वभौमिकता के लिए जाना चुना। उन्हें विशिष्ट मुद्दों के लिए अस्थायी समाधान नहीं मिला, उन्होंने एक उल्लेखनीय बदलाव किया और समाधान को सार्वभौमिक रूप से लागू किया।
आइए प्राइम नंबर के बारे में यूक्लिड के प्रमाण पर एक नज़र डालें। विशेष रूप से प्राइम नंबरों के बारे में इस तथ्य के अलावा कुछ भी नहीं है कि उनमें से कई असीम हैं। हम 100% निश्चित नहीं हैं, लेकिन यह मानने का कारण है कि यूक्लिड यह साबित करने वाला पहला मानव था कि असीम रूप से कई अपराध हैं। उसका प्रमाण भी था, शायद, गणित में पहला प्रमाण। हालांकि, यह उल्लेख करना महत्वपूर्ण है कि यूक्लिड ने कभी स्पष्ट रूप से नहीं लिखा था "असीम रूप से कई अपराध हैं"; इसके बजाय, उन्होंने लिखा: "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित संख्या से अधिक हैं" (क्लार्क यूनिवर्सिटी गणित, "प्रस्ताव 20") इस अजीब शब्द का कारण इस तथ्य के कारण था कि अनंत का विचार आज की तुलना में अलग था और एक विकासशील अवधारणा थी। 
मुझे यकीन है कि आप सभी प्रमुख संख्या में आएंगे। यूक्लिड के अद्वितीय प्रमाण देने से पहले, हमें प्राइम नंबरों के बारे में थोड़ी बात करनी चाहिए क्योंकि परिभाषाएँ गणित को समझने के महत्वपूर्ण हिस्से हैं। तो, अभाज्य संख्या क्या है?
परिभाषा: एक अभाज्य संख्या एक पूरी संख्या है जो केवल १ और स्वयं से विभाज्य है।
नंबर 1 इस नियम का एक अपवाद है। यद्यपि 1 सभी स्थितियों को प्रधानता से संतुष्ट करता है, हम यह नहीं मानते हैं कि यह अच्छे कारण के लिए एक प्रमुख संख्या है। ऐसा इसलिए है क्योंकि गणितज्ञों को व्यावहारिक परिभाषाएं बनाने की जरूरत है। यदि 1 को अभाज्य संख्या माना जाता है, तो जब आप किसी संख्या के लिए अभाज्य गुणनखंडन करते हैं, तो आप एक समस्या का सामना करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 15 के लिए मुख्य गुणनखण्ड हैं, तो आपको लिखना होगा: 18 = 2x3x3x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1x1 ...। यह कहने के लिए एक अच्छा पर्याप्त कारण है कि 1 अभाज्य नहीं है।
जब यूक्लिड ने इन पेचीदा संख्याओं की खोज की, तो उन्होंने उन पर शोध किया और कुछ रहस्यों को प्रकट करने का निर्णय लिया। शुरुआत करने के लिए, उन्होंने एक चर्मपत्र कागज पर पहले कुछ प्रमुख संख्याएँ लिखीं। उदाहरण के लिए, मान लें कि उसने 100 तक लिखा है। तब उसने पैटर्न की तलाश शुरू की क्योंकि सभी गणितज्ञ पैटर्न में रुचि रखते हैं। उदाहरण के लिए, उन्होंने देखा कि 2 केवल एकमात्र अभाज्य संख्या है क्योंकि 2 से बड़ी अन्य सभी संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं। इसी तरह, 3 एक अभाज्य संख्या थी, लेकिन 3 का गुणक अभाज्य नहीं हो सकता था क्योंकि वह उन्हें 3 से विभाजित कर सकता था ।
फिर उसने खुद से पूछा: "अगर मैं लिखना जारी रखूंगा, तो क्या मैं कभी रुकूंगा?" वह असीम रूप से कई अभाज्य संख्याओं की उम्मीद कर रहा था क्योंकि अन्यथा, जीवन उसके लिए या उसके बाद किसी अन्य गणितज्ञ के लिए थकाऊ होगा। यह एक बहुत ही चुनौतीपूर्ण सवाल था क्योंकि उसे यह जानने के लिए कि क्या वह प्रधान था या नहीं, प्रत्येक संख्या को श्रमसाध्य तरीके से जांचना होगा। उसके लिए गणना करने के लिए कोई कंप्यूटर नहीं थे। हां, यह गणना करना बहुत आसान है कि 13 प्रमुख है या नहीं, लेकिन एक निश्चित बिंदु के बाद, प्रत्येक अंक में दिन या सप्ताह लगेंगे ... भले ही हमारे पास दुनिया के सबसे शक्तिशाली कंप्यूटर को यूक्लिड की संस्था को दान करने का मौका था, यह अभी भी है उसकी जिज्ञासा को शांत करने के लिए पर्याप्त नहीं होगा। कंप्यूटर एक बहुत बड़ी प्राइम संख्या पा सकता है, लेकिन हम अभी भी यह नहीं जान पाएंगे कि वह सबसे बड़ी प्राइम संख्या है या नहीं। इसलिए, हमारे लिए बड़े अपराधों को खोजने के लिए कंप्यूटर से पूछना सबसे बड़ी अभाज्य संख्या के प्रश्न को हल करने वाला नहीं है।
यूक्लिड ने अपने समय के गणित का उपयोग करके कई सत्य पाए थे। चूंकि लोगों पर विश्वास करने के लिए कुछ विश्वास करना पर्याप्त नहीं था, इसलिए उन्हें एक बार सही निश्चितता की तलाश करनी थी। तभी वह इसे करने के लिए गणितीय तरीके से संपर्क कर सकता था। उसे बस एक चतुर विचार की आवश्यकता थी और एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण के साथ समाप्त होना चाहिए। इसलिए उन्होंने सबसे पहले एक प्रमेय को परिभाषित किया।
प्रमेय: अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी निर्दिष्ट संख्या से अधिक होती हैं।
यूक्लिड के लिए सबूत का बहुत महत्व था क्योंकि उनके प्रमेय को ध्वनि की आवश्यकता थी। उनकी योजना एक विचार प्रयोग करने की थी, जो कि विरोधाभास द्वारा प्रमाण नामक एक गणितीय तकनीक है। सबसे पहले, उसने कल्पना की कि वह एक समानांतर ब्रह्मांड में रहता है, जहां कई प्रमुख संख्याएँ हैं। इस प्रकार, वह उन्हें एक सूची में लिख सकता था। यह एक बहुत लंबी सूची हो सकती है, लेकिन प्रमुख संख्या उसके ब्रह्मांड में परिमित हैं। उन्हें वास्तव में सबसे बड़ा प्राइम नहीं पता था, इसलिए उन्होंने इसे "पी" कहा। उन्हें एक बहुत बड़ा कागज मिला और उन्होंने दुनिया के सभी अपराधों को लिखा। उनकी सूची 2, 3, 5, 7 से शुरू होकर सभी तरह से "पी" तक थी जो कि सैद्धांतिक रूप से सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है। फिर, यूक्लिड एक शानदार विचार के साथ आया: "मैं उन सभी संख्याओं को एक साथ गुणा कर रहा हूं और 1 जोड़ रहा हूं"।
वह नहीं जानता था कि वह संख्या क्या थी, लेकिन यह उसकी नई दुनिया में सभी अपराधों का एक उत्पाद था और साथ ही 1. वह पहले से ही जानता था कि उस नंबर का एक प्रमुख गुणनखण्ड होना चाहिए क्योंकि प्रत्येक संख्या 1 से बड़ा होना एक प्रमुख गुणनखण्ड है । [अंकगणित के मौलिक सिद्धांत] संभावना है कि यह संख्या स्वयं ही प्रमुख थी।
अंकगणित का मौलिक सिद्धांत: 1 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक को अनिवार्य रूप से एक अपराध के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दूसरे शब्दों में, वे बिल्डिंग ब्लॉक्स हैं जिनसे सभी नंबर बनाए जाते हैं। शिक्षक कहना पसंद करते हैं, "प्राइम्स गणित के परमाणु हैं।"
इसलिए, यूक्लिड को जांचने की आवश्यकता है। क्या वह मुख्य गुणनखण्ड 2 हो सकता है? इसका उत्तर नहीं था क्योंकि वह संख्या किसी और संख्या से 2 गुना अधिक थी। 1. इसलिए उसे शेष छोड़ना पड़ा 1. क्या वह प्रमुख गु्णनखण्ड 3 हो सकता है? उत्तर फिर से नहीं था क्योंकि वह संख्या कुछ अन्य संख्याओं से 1 गुना 3 गुना अधिक है और यह शेष 1 छोड़ता है। क्या वह मुख्य कारक गुणनखण्ड हो सकता है? नहीं, क्योंकि वह संख्या कुछ अन्य संख्याओं से 5 गुना अधिक है और वह 1 शेष है। प्रत्येक अभाज्य के लिए, वही बात होने वाली थी।
जीनियस के यूक्लिड के कृत्य ने उनकी सूची में किसी भी अपराध से हमेशा के लिए अपना नया नंबर बदल दिया। यूक्लिड की संख्या हमेशा 1 शेष रह जाती है जब वह अपने द्वारा पाए गए किसी भी प्रमुख संख्या से विभाजित होती है। हालांकि, उस संख्या का एक मुख्य कारक होना चाहिए, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है। इस प्रकार, उनका तार्किक तर्क एक बेतुकेपन तक पहुंच गया कि ऐसा नहीं हो सकता। तो उसके समानांतर ब्रह्मांड में एक विरोधाभास था जो मौजूद नहीं हो सकता है - असीम रूप से कई प्राइम होने चाहिए।
यूक्लिड ने बहुत पहले जो किया था वह इतना सुंदर था क्योंकि हमारा परिमित दिमाग इस दृष्टिकोण के साथ अनंत तक पहुंच सकता था। उन्होंने हमारे ज्ञान के क्षितिज का विस्तार किया। जैसा कि मैंने पहले कहा था, यूक्लिड की खिड़की से दृश्य एक क्रांति थी जिसे अंतरिक्ष में बढ़ाया जाएगा। हमारे लिए, गणितीय सीमा के विस्तार की संभावनाएं रोमांचकारी होनी चाहिए।