The Unreasonableness of K-12 Mathematics

1.K-12 गणित की अविवेकीता(The Unreasonableness of K-12 Mathematics
)-

गणितज्ञ और वैज्ञानिक अक्सर गणित के माध्यम से ब्रह्मांड का वर्णन करने की शक्ति और प्रभावशीलता पर - यहां तक ​​कि पूरी तरह विस्मय व्यक्त करते हैं। भौतिक विज्ञानी यूजीन विग्नर ने अपने 1960 के दशक में द अनसोसेबल इफेक्ट्सन ऑफ मैथमेटिक्स इन द नेचुरल साइंसेज कहा

भौतिकी के नियमों के निर्माण के लिए गणित की भाषा की उपयुक्तता का चमत्कार एक अद्भुत उपहार है जिसे हम न तो समझते हैं और न ही इसके लायक हैं।
भौतिकविदों ने एक उपहार प्रदान करने के रूप में क्वांटम यांत्रिकी में पॉल डिराक के 1928 के प्रसिद्ध समीकरण का हवाला दिया। समीकरण को "गैर-इलेक्ट्रॉनों" के अनसुने अस्तित्व की आवश्यकता थी, जो कि, सकारात्मक ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन जैसे कण हैं। और, लो-एंड-निहारना, जब डिराक ने कैलटेक में समीकरण कार्ल एंडरसन प्रकाशित किया, उसके कुछ वर्षों बाद भौतिक दुनिया में पॉज़िट्रॉन की खोज की। अभी हाल ही में गणित ट्विटर-पद्य गणित के एक अमूर्त टुकड़े के आश्चर्यचकित वास्तविक दुनिया आवेदन के साथ संक्षिप्त था। बहुपद के बारे में एक सदी पुराना परिणाम सेल्फ-ड्राइविंग कारों के लिए सुरक्षा प्रोटोकॉल के लिए बिल्कुल महत्वपूर्ण साबित होता है।

तो ऐसा क्या है जो गणित की इस "अनुचितता" को इतना हैरान कर देता है?

यह दशकों से एक चर्चा और बहस चल रही है, हमारे बीच वैज्ञानिक दार्शनिकों के लिए बेहतर अनुकूल है। लेकिन मैं अपने भोलेपन में इस प्रश्न के एक पहलू को संबोधित करना चाहता हूं।क्या गणित की "अनुचितता" चौंकाने वाली है? क्या यह उन लोगों के लिए चौंकाने वाला है जिनकी गणित की प्राथमिक मुठभेड़ स्कूल में सिखाई गई बातों से है?

2.नंबर की कहानी(The story of Number)-

K-12 पाठ्यक्रम में छात्रों की संख्या, उनके व्यावहारिक अंकगणित को उनके सामान्य संरचना से बीजगणित के माध्यम से पता लगाया जाता है। एक उन्नत दृष्टिकोण से, इस कहानी का वर्णन इस प्रकार है।
हम, मानव जाति ने पहले गणना संख्या 1, 2, 3,… की गणना और खोज / आविष्कार करना सीख लिया (शायद इस सूची में 0 भी जोड़ें)। ये गिनती संख्या दो प्राकृतिक बाइनरी संचालन के साथ आती है, जिसे हम जोड़ और गुणा कहते हैं, और ये ऑपरेशन मूर्त और सार्थक महसूस करते हैं। संख्याओं की गिनती की यह प्रणाली व्यावहारिक है और कई समस्याओं को हल करने के लिए महान है, जो बीजीय भाषा में फार्म x + 5 = 7. के समीकरणों के समाधान खोजने के लिए अनुवाद करते हैं, लेकिन अफसोस, वे ऐसे सभी समीकरणों को हल करने के लिए अच्छे नहीं हैं। उदाहरण के लिए x + 20 = 15 को हल करने पर विचार करें।
इसलिए हम इन समस्याग्रस्त समीकरणों के समाधानों को शामिल करने के लिए संख्याओं की हमारी प्रणाली का विस्तार करते हैं, अर्थात, हम पूर्णांकों की प्रणाली को प्राप्त करने के लिए संख्याओं के योगात्मक व्युत्क्रमों को शामिल करते हैं। यहाँ क्या प्यारा है कि गिनती संख्याओं के लिए जोड़ और गुणा के सभी गुण गणितीय रूप से इस सेटिंग में भी एक सुसंगत तरीके से धारण करने के लिए बनाए जा सकते हैं - हालांकि यह कम स्पष्ट है कि इन मामलों के व्यावहारिक अर्थ प्रत्येक मामले में क्या हैं। (उदाहरण के लिए, दो नकारात्मक संख्याओं को एक साथ गुणा करना अनिश्चित है।)
बहरहाल, यह प्रणाली अभी भी कई रोज़मर्रा के अनुप्रयोगों में हमारे लिए अर्थ रखती है। उदाहरण के लिए, हमारे पास अब x + 20 = 15 का समाधान है, जो प्रश्न से मेल खाती है: तापमान अब 15 डिग्री है। आज सुबह से यह 20 डिग्री तक गर्म हो गया है। तब क्या तापमान था?
लेकिन हम जंगल से बाहर नहीं हैं। कई गुणा समीकरण भी हैं। हम अपने पूर्णांक प्रणाली में 2x = 6 को हल कर सकते हैं, लेकिन हम उदाहरण के लिए 2x = 5 को हल नहीं कर सकते। इसलिए हम इन प्रकार के समीकरणों के समाधानों को शामिल करने और तर्कसंगत बनाने के लिए संख्याओं की हमारी प्रणाली का विस्तार करते हैं। और ये संख्या अभी भी वास्तविक दुनिया के लिए भागों और अंशों के मामले में लागू होती है। लेकिन यहाँ भी जो प्यारा है वह यह है कि संख्याओं की दुनिया में हमारे लिए अच्छा और सही महसूस करने के अलावा और गुणन के सभी गुण गणितीय रूप से तर्कसंगत संख्याओं की दुनिया में भी एक सुसंगत तरीके से धारण करने के लिए बनाए जा सकते हैं। (व्यावहारिक व्याख्याएं अभी भी मुखर हो जाती हैं: हम एक पाई को एक पाई के आधे हिस्से में जोड़ सकते हैं, लेकिन पाई के दो भागों को गुणा करने का क्या मतलब है?)
लेकिन हम अभी भी समीकरण हल करने वाली लकड़ी से बाहर नहीं हैं। कुछ गुणक समीकरण जैसे कि x² = 4 तर्कसंगत संख्याओं की प्रणाली में हल करने योग्य हैं, लेकिन अन्य, जैसे x such = 3, नहीं हैं। इसलिए हम इन प्रकार के समीकरणों के समाधान को शामिल करने के लिए अपनी प्रणाली की संख्या बढ़ाते हैं। हम असली बनाते हैं। और तर्कसंगतों से वास्तविक तक इसके अलावा और गुणा की धारणा का विस्तार करना संभव है ताकि इन ऑपरेशनों के सभी परिचित गुण इस संदर्भ में भी जारी रहें। (हालांकि उनका अर्थ अभी बहुत अधिक सारगर्भित है: आप वास्तव में दो असीम रूप से लंबे दशमलवों को कैसे गुणा करते हैं? आप एक नीचे कैसे लिखते हैं?)
लेकिन हम अभी भी जंगल से बाहर नहीं हैं। कुछ गुणात्मक समीकरणों का अभी भी कोई समाधान नहीं है: उदाहरण के लिए x -1 = -1। इसके बाद हमें जटिल संख्याओं की प्रणाली का निर्माण करने और गणितीय रूप से इस विस्तारित प्रणाली को जोड़ने और गुणा करने के कार्यों का विस्तार करने की ओर ले जाता है। हर चीज का व्यावहारिक अर्थ बहुत कम स्पष्ट है, लेकिन यह गणितीय कहानी की चिंता नहीं है: हम "संख्या" के एक तार्किक निर्माण की तलाश कर रहे हैं जो "जोड़" और "गुणा" की धारणाओं का विस्तार करने के लिए सुसंगत तरीके से नेतृत्व करता है समीकरणों के समाधान के लिए।
कोई यह चिंता कर सकता है कि हम यहां कभी न खत्म होने वाली खोज पर हैं, कि हमारी संख्या के प्रत्येक विस्तार के साथ, हम नए समीकरणों को खोजने जा रहे हैं जिन्हें सिस्टम में हल नहीं किया जा सकता है और इसलिए नई प्रणाली के विस्तार की आवश्यकता है। लेकिन यहाँ सुंदर आश्चर्य है। 1806 में जीन-रॉबर्ट अर्गैंड ने साबित किया कि, कम से कम बहुपद समीकरणों के मामले में, कहानी यहीं रुकती है: जटिल संख्याओं की प्रणाली के भीतर लिखे गए प्रत्येक बहुपद समीकरण में जटिल संख्याओं की प्रणाली के भीतर एक समाधान होता है। इसे बीजगणित का मौलिक सिद्धांत कहा जाता है।
यहां देखिए कि गणित क्या कर रहा है। यह एक व्यावहारिक परिदृश्य ले रहा है, दो बाइनरी संचालन के साथ संख्याओं की दुनिया जो उस प्रणाली में ठोस, व्यावहारिक अर्थ है, और उस प्रणाली की प्रमुख, सार विशेषताओं की पहचान करने के लिए व्यावहारिक बाधाओं को जाने देती है। गणित का लक्ष्य पूरे वर्ग समीकरणों को हल करने के लिए तार्किक रूप से मजबूत प्रणाली विकसित करना है। यह सैद्धांतिक है। यह अमूर्त है। यह व्यावहारिकता पर आधारित है, लेकिन फिर इससे बहुत दूर हो जाता है। (और यह सुंदर है, वैसे, भी!)

दो नकारात्मक संख्याओं, पाई के दो भागों, या दो अनंत दशमलवों को गुणा करने का क्या अर्थ है, यह सवाल है। यह कहानी नहीं है।

3.असंभव के -12 दुविधा(The impossible K-12 dilemma)-

गणित, एसटीईएम के चौथे अक्षर के रूप में, दुनिया में अक्सर 21 वीं शताब्दी की शिक्षा सोच में सहायक खिलाड़ी के रूप में बड़े पैमाने पर देखा जाता है: इसका उद्देश्य विज्ञान, प्रौद्योगिकी और इंजीनियरिंग की व्यावहारिकताओं के लिए कम्प्यूटेशनल हो सकता है। जैसे, दुनिया में बड़े पैमाने पर गणित की उम्मीद व्यावहारिक, ठोस जवाब है और इसलिए K-12 गणित में प्रत्येक अवधारणा या विचार वास्तव में कुछ वास्तविक और ठोस होने की उम्मीद है। यद्यपि गणित को व्यावहारिक मामलों से प्रेरित और प्रेरित किया जा सकता है, इसका लक्ष्य अक्सर सैद्धांतिक और दार्शनिक में भाग लेना है - अंतर्निहित विषयों और संरचनाओं की पहचान करना, जिन्हें अपने स्वयं के सुंदर अधिकार में अवधारणाओं के रूप में विस्तारित और विकसित किया जा सकता है। पिछले कुछ वर्षों की बहस "लक्ष्य और उम्मीदों का यह बेमेल, मुझे लगता है कि" गुणा क्या है? "

हम सबसे पहले छात्रों को गिनती की संख्या के संदर्भ में गुणा करना सिखाते हैं जहां यह हमारे लिए दोहराया गया योग है। यहां 3 x 4 को चार वस्तुओं के तीन समूहों के रूप में (एक विषम तरीके से) व्याख्या किया जाना है। यदि हम इन समूहों को पंक्तियों में व्यवस्थित करते हैं और स्तंभों को देखते हैं, तो हम 4 x 3: तीन वस्तुओं के चार समूहों को देखते हैं। एक ही तस्वीर को दो अलग-अलग तरीकों से व्याख्या करना दर्शाता है कि गिनती संख्याओं की दुनिया में यहां गुणा की हमारी असममित परिभाषा सब के बाद सममित है। वाह!

The Unreasonableness of K-12 Mathematics

वास्तव में, किसी पृष्ठ पर डॉट्स या फर्श पर कंकड़ के साथ खेलना हमें गुणा (और इसके अलावा) के बारे में "नियमों" के एक मेजबान की खोज करने की ओर ले जाता है जो प्राकृतिक और सही लगता है - और वे शायद इसलिए "प्राकृतिक और सही" महसूस करते हैं क्योंकि गिनती संख्याएं केवल उन संख्याओं का एक सेट हो सकती हैं जिन्हें हम मनुष्यों के लिए एक भौतिक अनुभव है। गुणन के नियमों में शामिल हैं:

x 1 = a (1 ऑब्जेक्ट का एक समूह एक ऑब्जेक्ट है)

x 0 = 0 (बिना ऑब्जेक्ट के कोई समूह कोई ऑब्जेक्ट नहीं है)

a x b = b x a (b ऑब्जेक्ट्स का एक समूह किसी ऑब्जेक्ट के b ग्रुप्स के समान गणना है।)

x (b + c) = a x b + a x c (b + c ऑब्जेक्ट्स का एक समूह b ऑब्जेक्ट्स का समूह और c ऑब्जेक्ट्स का समूह हो सकता है)

(a x b) x c = a x (b x c) (समूहों का एक-ए-बी-समूह, प्रत्येक ऑब्जेक्ट के साथ c समूह, दो अलग-अलग तरीकों से देखा जा सकता है।)

लेकिन गणितज्ञों ने संख्या के अंक और अंकगणित को नई प्रणालियों के लिए बढ़ा दिया है, जो कि कम स्वाभाविक महसूस करना शुरू करते हैं। उन्होंने दिखाया है कि प्रत्येक प्रणाली में अभी भी दो बाइनरी ऑपरेशन, + और x हैं, जो नियमों की समान सूची का पालन करके गिनती संख्याओं में जोड़ और गुणा के समान व्यवहार करते हैं। कोई वास्तविक दावा नहीं किया जाता है कि ये बाइनरी ऑपरेशन वास्तव में क्या हैं, बस वे कैसे व्यवहार करते हैं।

वास्तव में, जब पूछा गया कि "गुणा क्या है?" एक गणितज्ञ अच्छी तरह से उत्तर दे सकता है:

गुणा किसी भी बाइनरी ऑपरेशन ऑब्जेक्ट्स (संख्याओं) के एक सेट पर होता है जो ऊपर वर्णित नियमों की सूची को संतुष्ट करता है।

यह प्रश्न को साइड-स्टेप करने जैसा लगता है, लेकिन ऐसा नहीं है: यह प्रश्न के एक अलग आधार पर भाग ले रहा है। गणितज्ञ अंकगणित की सैद्धांतिक संरचना पर ध्यान केंद्रित करते हैं और मानते हैं कि कई अंकगणितीय प्रणालियां हैं जिनके दो द्विआधारी संचालन हैं जो समान नियमों के अनुसार बातचीत करते हैं। गुणन है - और मेरा मतलब है "यहाँ" - उन दो बाइनरी संचालन में से दूसरा। यह एक सैद्धांतिक प्रश्न के संदर्भ में व्यावहारिक उत्तर है!

लेकिन अब गणित की अविवेकात्मकता आ गई है: के -12 गणित में द्विआधारी संचालन के कई उदाहरण हैं जो बुनियादी नियमों की समान सूची को संतुष्ट करते हैं। यहाँ चार हैं।

1. गिनती संख्या की दुनिया में छोड़ दिया।

2. ज्यामिति की दुनिया में आयतों का क्षेत्र।

3. ज्यामिति में एक स्केल फैक्टर के साथ लंबाई का विस्तार और अनुबंध।

4. इकाई रूपांतरण।
पहले उदाहरण में, 3 x 4 संख्या 12 है: आपके पास कुल वस्तुओं की गिनती है जब आपके पास चार वस्तुओं के तीन समूह हैं। दूसरे संदर्भ में, 3 x 4 एक तीन-बाय-चार आयत का क्षेत्र है।उत्तर केवल एक संख्या नहीं है, बल्कि इकाइयों के साथ एक संख्या है: 4 फीट के आयत से 3 फीट का क्षेत्रफल 3 x 4 = 12 वर्ग फीट है। (क्या हमें इकाइयों को मिलाने की अनुमति है? 4 मीटर आयत द्वारा 3 मीटर का क्षेत्रफल क्या है? क्या यह 12 मीटर-फीट है?) तीसरे संदर्भ में, 3 x 4 तीन के एक कारक द्वारा एक मात्रा को मापने का परिणाम है। उदाहरण के लिए, 4 फीट की लंबाई 12 फीट की लंबाई बन जाती है अगर हम इसे तीन बार लंबा खींचते हैं। और चौथे संदर्भ में, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक यार्ड में तीन फीट हैं, हम कटौती करते हैं कि चार गज में 3 x 4 = 12 फीट हैं।

इसलिए अलग-अलग संदर्भों में 3 x 4 का उत्तर थोड़ा अलग है: यह 12 वस्तुओं की गिनती के रूप में है, यह 12 वर्ग फुट है, और यह 12 फीट है। (और ऐसे प्रसंग भी हैं जहाँ उत्तर की इकाइयाँ पूरी तरह से बदल जाती हैं। उदाहरण के लिए, 3 दसवीं बार 4 दहाई 12 अंक हैं।)
एक पाँचवाँ उदाहरण भी है जिसका मुझे उल्लेख करना चाहिए।
5. शब्द "के" अंशों के अंकगणित में।
उदाहरण के लिए, छात्रों को पढ़ने के लिए सिखाया जाता है, “x 6 को" छह के आधे "के रूप में, अर्थात, किसी चीज़ के एक हिस्से को लेने की क्रिया के रूप में गुणा को देखने के लिए।

The Unreasonableness of K-12 Mathematics

एक छात्र के -12 पाठ्यक्रम में गुणा की कई अभिव्यक्तियों का सामना करेगा। लेकिन यही वे हैं: अभिव्यक्तियाँ। वे प्रत्येक किसी न किसी संदर्भ से आते हैं जहां एक सार्थक बाइनरी ऑपरेशन होता है जो मूल नियमों के एक ही सेट को खूबसूरती से संतुष्ट करता है: ऊपर सूचीबद्ध हैं। (खेल में गणित की अविवेकीता)

और वास्तव में हम अक्सर अलग-अलग अभिव्यक्तियों के बीच लिंक पा सकते हैं: बारह इकाई चौकों में एक तीन-बाय-चार आयत को उपविभाजित करें हम वर्गों की एक सरणी देखते हैं जैसे हमने डॉट्स की एक सरणी देखी; हम तीन के कारक द्वारा चार वस्तुओं की गिनती को स्केल करने के रूप में 3 x 4 के अलावा समस्या को दोहरा सकते हैं; और इसी तरह।
लेकिन अगर हम यह धारणा देने पर ज़ोर देते हैं कि गुणा एक सामान्य चीज़ है, एक वास्तविक ठोस चीज़, और यह कि हम जो लिंक देखते हैं, वह उस दावे का "प्रमाण" है, तो हम अपने छात्रों को - और खुद को - दर्दनाक बौद्धिक गांठ में बाँध सकते हैं।
खैर, कई लोग वास्तव में कहते हैं कि गुणा एक बात है: यह स्केलिंग है। यह ठीक है। पेचीदा हिस्सा तब प्रत्येक परिदृश्य में जो स्केल किया जा रहा है, उसका बदलता संदर्भ है: सेब की गिनती का पैमाने, एक सेब की तस्वीर के क्षेत्र को स्केल करें, एक सेब की मात्रा को मापें, पैमाने को कुछ और। लेकिन मैं व्यक्तिगत रूप से आश्वस्त नहीं हूं कि यह एक दृष्टिकोण पर जोर देने के लिए शैक्षणिक रूप से उपयुक्त और सहायक है। क्यों नहीं छात्रों ने संरचना की पहचान की है कि वे क्या अध्ययन करते हैं और इन विभिन्न परिदृश्यों में दोहराया संरचना का निरीक्षण करते हैं?(मेरे लिए एक तरह के अभ्यास मानक की तरह लगता है।) क्या यह प्यारा नहीं है कि कोई यह देख सके कि आयतों की ज्यामिति और “शब्द” का उपयोग और सभी को खींचने और स्केल करने के लिए खेलने में एक ही गणितीय संरचना है? क्यों नहीं एक गणितज्ञ की तरह सोचने की कला और कई संदर्भों में गणितीय संरचना को लागू करने की कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और इंजीनियरिंग के संदर्भों को पढ़ाएं। गुणन इकाइयों के बिना एक संगणना हो सकती है, या इकाइयों या इकाइयों के साथ संगणना, या कुछ और हो सकती है।
और माता-पिता क्या चाहते हैं?
ठीक है, शायद "मेरे बच्चे को गणित सिखाएं" दृष्टिकोण के साथ, हम तर्क दे सकते हैं कि माता-पिता शुद्ध गणितज्ञों के दृष्टिकोण के लिए बुला रहे हैं! संख्याएँ - पूर्णांक, अंश और दशमलव - एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ आती हैं जिसे गुणा कहा जाता है, इसलिए ... बस मेरे बच्चे को सिखाएं कि कैसे गुणा करें! मेरे लिए एकमात्र अमूर्त के लिए कॉल (अनटिंग) की तरह लगता है।