Set Theory — Functions

1.समुच्चय सिद्धान्त -फलन (Set Theory — Functions)-

Bijectives With Surjectives, Surjectives, & Injectives का वर्णन करना
आज हम सेट सिद्धांत की दुनिया के भीतर कार्यों पर विस्तार करने जा रहे हैं। पिछली अवधारणाओं के समान, सेट के भीतर मानक कार्यों के लिए नामकरण गणित की अन्य शाखाओं की तुलना में थोड़ा अलग है, और इसलिए समीक्षा की आवश्यकता है। शुरू करने के लिए काफी कुछ शर्तें हैं, तो चलिए सही में कूदते हैं! नीचे दी गई फ़ंक्शन शर्तों की यह पहली तालिका एक मानक फ़ंक्शन के लिए डोमेन, रेंज और आउटपुट के विचार को प्रतिबिंबित करती है:
                                 Set    Function   Definition
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In The Above picture -  Domain={1,2,3}, Arguments{2,3},Co-domain={a,b,c,d},Image{d,e}

सेट सिद्धांत दुनिया में एक फ़ंक्शन सेट बी में सेट ए से कुछ (या सभी) तत्वों में से कुछ (या सभी) तत्वों की एक मैपिंग है। उपरोक्त उदाहरण में, ए में सभी संभावित तत्वों के संग्रह को डोमेन के रूप में जाना जाता है। ; जबकि ए में तत्व जो इनपुट के रूप में कार्य करते हैं उन्हें विशेष रूप से तर्कों का नाम दिया गया है। दाईं ओर, सभी संभावित आउटपुट (अन्य शाखाओं में "रेंज" के रूप में भी जाना जाता है) के संग्रह को कोडोमैन(co-domain) कहा जाता है; जबकि बी से मैप किए गए वास्तविक आउटपुट तत्वों के संग्रह को छवि के रूप में जाना जाता है।
कुछ भी जटिल नहीं है इस प्रकार, केवल कार्यों के मापदंडों को परिभाषित करने का एक नया तरीका है। अगला, हम कवर करेंगे कि सामान्य फ़ंक्शन प्रकारों के साथ इन मानचित्रण कार्यों के व्यवहार का वर्णन कैसे करें।

2.इंजेक्शन, आच्छादक  और एकैकी (Injections, Surjections & Bijections)-

सेट थ्योरी में, तीन शब्दों का इस्तेमाल आमतौर पर सेट मैपिंग को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है: इंजेक्शन, surjectives और bijectives। ये शब्द, दुर्भाग्य से, कुछ अलग नाम हैं जो भ्रम को बढ़ाते हैं - इसलिए पहले प्रत्येक परिभाषा की समीक्षा करें, उसके बाद, कुछ दृश्य उदाहरणों के माध्यम से कदम उठाएं। सभी तीन शब्दों में उस तरीके का वर्णन किया गया है जिसमें तर्क और चित्र मैप किए गए हैं:
एक फ़ंक्शन इंजेक्टिव (a.k.a "वन-टू-वन") है यदि कोडोमैन(co-domain) के प्रत्येक तत्व को डोमेन के अधिकांश एक तत्व द्वारा मैप किया जाता है।
एक फ़ंक्शन surjective (a.k.a "onto") है यदि कोडोमैन(सहप्रान्त) के प्रत्येक तत्व को डोमेन के कम से कम एक तत्व द्वारा मैप किया जाता है। अर्थात्, फ़ंक्शन की छवि और कोडोमेन(सहप्रान्त ) समान हैं।
एक फ़ंक्शन bijective (a.k.a "one-to-one और onto" "one-to-one correspondence") है यदि कोडोमैन(co-domain) के प्रत्येक तत्व को डोमेन के ठीक एक तत्व द्वारा मैप किया जाता है।
यहां जटिल नामकरण की लौकिक चेरी-ऑन-टॉप शब्द "इंजेक्शन," "विशेषण," और "विशेषण" के संभावित अर्थों तक फैली हुई है, जबकि एक फ़ंक्शन (मानचित्रण) का वर्णन करने के लिए, पूर्व अनुमान सही है; हालाँकि, यह इन विशेषताओं द्वारा विशुद्ध रूप से कार्यों (मानचित्रण) की पहचान करने के लिए भी सही है। तो इंजेक्शन के व्यवहार के साथ एक फ़ंक्शन को एक इंजेक्शन कहा जाता है, विशेषण व्यवहार के साथ एक फ़ंक्शन को एक इंजेक्शन कहा जाता है, और अंत में, विशेषण व्यवहार के साथ एक फ़ंक्शन को एक आपत्ति कहा जाता है।
ऊपर दिए गए बुलेट पॉइंट्स को फिर से पढ़ें। एक आक्षेप बस एक ऐसा कार्य है जो दोनों की आवश्यकताओं को पूरा करता है - अर्थात, फ़ंक्शन दोनों इंजेक्शन और विशेषण है। एक इंजेक्शन फ़ंक्शन को विशेषण की आवश्यकता नहीं है, और एक इंजेक्शन फ़ंक्शन को इंजेक्शन की आवश्यकता नहीं है। एक दृश्य उदाहरण पर चलते हुए, इन तीन वर्गीकरणों में निम्न प्रकार से निर्धारित किए गए इंजेक्शन और विशेषण विशेषताओं के चार संभावित संयोजनों के बाद कार्य किए जाते हैं:

Set Theory — Function

1.Injuctive-Surjective-Bijective                                                                           3.Not Injective-Surjective

2.Injective-Not Surjective                                                                                      4.Not Injective-Not Surjective

और हम वहाँ जाते हैं! अब हम सेट की दुनिया में देखी जाने वाली मैपिंग के सामान्य प्रकारों की प्रारंभिक समझ रखते हैं। यह किसी भी तरह से नहीं है, हालांकि, यात्रा की समाप्ति के रूप में हमने इस समीक्षा को उच्च-स्तरीय परिचय के लिए रखा है - इसके विपरीत यह बहुत शुरुआत है।
सेट थ्योरी के मूल सिद्धांत गणित की उच्च-शाखाओं में समझ को अनलॉक करने के लिए महत्वपूर्ण हैं। कई शाखाओं में अपना चढ़ना जारी रखने के लिए, हम अपने सेट सिद्धांत ज्ञान: ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का लाभ उठाकर गणित के सभी इतिहास में सबसे अधिक जमीनी-तोड़ सिद्धांतों में से एक को पचा लेते हैं।