How to Solve Three Variable Systems of Equations: Beginner's Guide

1.समीकरणों के तीन परिवर्तनीय सिस्टम को कैसे हल करें: शुरुआती गाइड का परिचय (Introduction to How to Solve Three Variable Systems of Equations: Beginner's Guide)-

इस आर्टिकल में बताया गया है कि कि तीन चर वाले समीकरणों को परम्परागत विलोपन व विस्थापन विधि से हल किया जा सकता है। तीसरे चर z को शून्य मान देकर शेष दो चरों में समीकरणों में परिवर्तित करके दो रैखिक समीकरणों से शेष दो चरों के मान विलोपन या प्रतिस्थापन विधि से ज्ञात कर लेते हैं। इस प्रकार तीन चरों वाले दो समीकरणों से मान ज्ञात किया जा सकता है। हालांकि तीन चरों वाले दो रैखिक समीकरणों से आनुपातिक मान वज्र गुणनविधि से भी ज्ञात किए जा सकते है या ज्ञात किए जाते हैं। सामान्यतः यह धारणा रहती है कि जितने चर अज्ञात होते हैं उतने समीकरणों से ही अज्ञात चरों के मान ज्ञात किए जा सकते ऊ। यानी एक चर वाला समीकरण हो तो एक समीकरण, दो चर अज्ञात हो तो दो समीकरणों एवं तीन चर अज्ञात हो तो तीन समीकरणों से मान ज्ञात किए जा सकते हैं। तथा तीन से आगे भी अज्ञात चरों के लिए यही फार्मूला लागू होता है। परन्तु आपने देखा कि परम्परागत तरीके कैसे तीन अज्ञात चरों का मान दो समीकरणों से ज्ञात किया जा सकता है। यहां परम्परागत तरीके से तात्पर्य विलोपन व विस्थापन विधि से है। 
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2.समीकरणों के तीन परिवर्तनीय सिस्टम को कैसे हल करें: शुरुआती गाइड(How to Solve Three Variable Systems of Equations: Beginner's Guide)-

How to Solve Three Variable Systems of Equations: Beginner's Guide

इसलिए आपने समीकरणों के दो-चर प्रणालियों से बड़ी लीग, तीन-चर, तीन समीकरण प्रणालियों में स्नातक किया है! चले गए सरल प्रतिस्थापन और उन्मूलन के तरीके और लगभग पृष्ठ-लंबे समाधानों की दुनिया में आपका स्वागत है।
इस गाइड में, आप दो अलग-अलग तकनीकों के बारे में जानेंगे जिनका उपयोग आप इन जटिल प्रणालियों को हल करने के लिए कर सकते हैं। चलो कूदो!

3.समीकरणों के तीन-परिवर्तनीय प्रणाली क्या है?(What is a three-variable system of equations?)-

आपके पास पहला सवाल यह हो सकता है कि यह तीन-चर प्रणाली क्या है? आप समीकरणों के दो-चर प्रणालियों से याद कर सकते हैं, समीकरण प्रत्येक XY-निर्देशांक समतल  पर एक रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं, और समाधान दो पंक्तियों के लिए (x, y) चौराहे बिंदु है। दूसरे शब्दों में, समाधान x और y का मान या मान है जो दोनों समीकरणों के लिए सही है।
समीकरणों के तीन चर सिस्टम इतने अलग नहीं हैं। समाधान अभी भी x, y, और z (या जो भी आपके समीकरणों का उपयोग कर रहे हैं चर) के लिए मानों का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि प्रत्येक समीकरण में खरा होने पर सही होता है।
नेत्रहीन, एक तीन-चर समीकरण xyz- समन्वय अक्ष में एक समतल  के रूप में 3-आयामी अंतरिक्ष में दर्शाया गया है। चिंता मत करो, आप शायद ही कभी 3 डी अंतरिक्ष में तीन चर प्रणालियों के एक सेट को ग्राफ करने के लिए कहा जाएगा। आपके लिए यह समझना पर्याप्त है कि समीकरणों के आपके तीन-चर प्रणाली का समाधान वे मान हैं जो सभी तीन समीकरणों को सही बनाएंगे और 3 डी अंतरिक्ष में तीन समतलों के प्रतिच्छेदन का प्रतिनिधित्व करेंगे।

4.तीन चर, तीन समीकरण(Three variables, three equations)-

सामान्य तौर पर, आपको समीकरणों के तीन-चर प्रणाली को हल करने के लिए तीन समीकरण दिए जाएंगे। यह समान है कि आपको रैखिक समीकरणों की एक मानक प्रणाली को हल करने के लिए दो समीकरणों की आवश्यकता कैसे है। कुछ मामलों में, आप केवल दो समीकरणों के साथ समीकरणों के तीन-चर प्रणाली को हल करने में सक्षम हो सकते हैं, लेकिन यह आम नहीं है।

5.दो तरीके(two ways)

जैसे जब आप समीकरणों के दो-चर प्रणाली को हल कर रहे थे, तो आपके पास चुनने के लिए कई तरीके थे, आपके पास यहां कुछ विकल्प भी हैं। दो मुख्य तरीकों को बैकसोलिंग मेथड और गॉसियन एलिमिनेशन / रो रिडक्शन मेथड (कभी-कभी गॉस-जॉर्डन एलिमिनेशन कहा जाता है) कहा जाता है। मुख्य अंतर यह है कि आप समीकरणों या मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करना चाहते हैं या नहीं।
यदि आप दूसरे वर्ष के बीजगणित या पूर्वकाल में हैं, तो सबसे अधिक संभावना है कि आप बैकसॉकिंग विधि का उपयोग करेंगे। यदि आप एक रेखीय बीजगणित या कंप्यूटर प्रोग्रामिंग पाठ्यक्रम में हैं, तो संभवतः आपको मेट्रिसेस के साथ गॉसियन एलिमिनेशन का उपयोग करके हल करने के लिए कहा जाएगा।

6.बैकसॉलिंग विधि(The Backsolving Method)-

बैकसॉलिंग विधि समीकरणों के हमारे मानक सिस्टम से उन्मूलन विधि की याद दिलाती है। वास्तव में, आप बैकसॉलिंग विधि के दौरान कई बार एलिमिनेशन विधि का उपयोग कर रहे होंगे।
बैकसॉलिंग विधि के पीछे मूल विचार यह है कि अपने 3 तीन-चर समीकरणों को लें और 2 दो-चर समीकरण बनाएं ताकि आप पारंपरिक प्रतिस्थापन या उन्मूलन विधियों का उपयोग करके उन्हें हल कर सकें। एक बार जब आप एक चर का समाधान पा लेते हैं, तो आप अन्य दो चर के समाधान खोजने के लिए वापस हल कर सकते हैं।
यह थोड़ा थकाऊ है, लेकिन एक बार जब आप इसे लटका लेते हैं तो यह काफी सरल प्रक्रिया है। विधि को करने के लिए दो समीकरणों के दो सेटों का चयन कैसे करें, और फिर सभी तीन चर के लिए हल करने के लिए वापस हल करें।
बैकसॉलिंग विधि को सफलतापूर्वक पूरा करने की कुंजी तीन-चर समीकरणों के अपने दो सेटों से एक ही चर को समाप्त करना है। यह सुनिश्चित करता है कि दो परिणामी दो-चर समीकरण प्रतिस्थापन या उन्मूलन विधियों का उपयोग करके हल करने में सक्षम हैं। फिर से, यह अभ्यास में आसान है, इसलिए इसे देखने के लिए नीचे दिए गए ट्यूटोरियल को देखें।

7.गाउस विलोपन(Gaussian elimination)-

यदि आप मैट्रिसेस से परिचित हैं, तो गौसियन एलिमिनेशन तीन-वेरिएबल सिस्टम के समीकरणों के साथ-साथ अधिक चर और अधिक समीकरण वाले सिस्टम को हल करने का एक शानदार तरीका है। इस पद्धति का उपयोग करने के लिए इसमें बहुत सारे सेट अप कार्य शामिल हैं, लेकिन भुगतान करने के बाद सिस्टम को हल करने के लिए सीधा होने के बाद भुगतान करना पड़ता है।
मूल विचार यह है कि प्लेसहोल्डर शून्य और जहां जरूरत हो, वहां मैट्रिक्स में समीकरणों की अपनी प्रणाली का अनुवाद करें। एक बार जब आपके पास मैट्रिक्स सेट हो जाता है, तो आप मैट्रिसेस के मूल गुणों का उपयोग करके इसे हेरफेर करना शुरू कर सकते हैं। प्रक्रिया एक खेल की तरह है जहाँ आप अपने मैट्रिक्स में पंक्तियों को जोड़ते, घटाते, बढ़ाते और गुणा करते हैं, ताकि विशिष्ट स्थानों में शून्य और लोगों को बनाया जा सके।
जब आप अपने मैट्रिक्स के माध्यम से काम करते हैं, तो आप "पंक्ति-पारिस्थितिक" और / या "पंक्ति रोकी गई" रूप में कार्य कर रहे होंगे। रो ईचेलन(Row echelon) तब होता है, जब आपके पास एक विकर्ण होता है जो ऊपरी बाईं ओर से दूसरी-से-दाईं ओर नीचे की पंक्ति में होता है और सभी के नीचे आप शून्य होते हैं।

How to Solve Three Variable Systems of Equations: Beginner's Guide

कम पंक्ति वाला इकोलोन फॉर्म तब होता है जब आप नीचे वाले और शून्य के विकर्ण होने के अलावा, आपके पास ऊपर वाले शून्य भी होते हैं। कम पंक्ति वाला इकोलोन फॉर्म आदर्श है क्योंकि आप बिना किसी अतिरिक्त कार्य के समीकरणों के अपने सिस्टम के समाधान को आसानी से पढ़ सकते हैं।

How to Solve Three Variable Systems of Equations: Beginner's Guide

कम रो इकोलेन फॉर्म

गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करके समीकरणों के 3x3 सिस्टम को हल करने का तरीका जानने के लिए, नीचे दिए गए ट्यूटोरियल की जांच करें। एक बार फिर लिखित रूप में यह व्यवहार में आसान है!गाऊसी उन्मूलन के साथ और अधिक मदद के लिए चरण-दर-चरण निर्देशों के साथ इस ट्यूटोरियल को देखें।
असीम रूप से कई और कोई समाधान नहीं समझाया(Infinitely many and no solution explained)-
जैसे समीकरणों के दो चर प्रणाली के साथ आप असीम रूप से कई समाधान या कोई समाधान नहीं कर सकते हैं। चूंकि अब हम दो लाइनों के बजाय तीन समतलों के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए हमारे पास अधिक परिदृश्य हैं जिनके परिणामस्वरूप अनंत या कोई समाधान नहीं हो सकता है।

8.असीम रूप से कई समाधान(Infinitely many solutions)-

ऐसे कई तरीके हैं जिनसे आप समीकरणों के तीन-चर प्रणाली में अनंत समाधानों को हवा दे सकते हैं। सबसे स्पष्ट है कि तीन समतल एक जैसे हो सकते हैं ताकि एक समीकरण का हल सभी समीकरणों का हल हो जाए। एक और संभावना यह है कि सभी समीकरण अलग-अलग हैं, लेकिन वे एक पंक्ति में अंतर करते हैं, और हम समीकरणों के हमारे मानक सिस्टम से जानते हैं कि एक रैखिक समाधान सेट असीम रूप से कई समाधान हैं। अन्त में, हमारे दो समीकरण हो सकते हैं जो एक ही समतल हैं जो एक रेखा बनाने वाले तीसरे विमान को काटते हैं।

9.कोई हल नहीं(No solution)-

कुछ भिन्न परिदृश्य हैं जो आपको तीन चर प्रणालियों के साथ काम करते समय कोई समाधान नहीं छोड़ते हैं। सबसे आम है कि आपके पास तीन समानांतर समतल हैं जो कभी भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं और इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। एक अन्य संभावना यह है कि आपके पास दो समानांतर विमान हैं और एक इंटरसेप्टिंग प्लेन या तीन प्लेन हैं जो एक ही स्थान पर नहीं बल्कि प्रतिच्छेद करते हैं।
सभी परिदृश्यों में, आप तीन बिंदुओं के प्रतिच्छेदन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक बिंदु या बिंदु का उत्पादन करने में असमर्थ हैं। सौभाग्य से, यदि आप गाऊसी उन्मूलन का उपयोग कर रहे हैं, तो कोई समाधान परिणाम वास्तव में पता लगाना आसान नहीं है क्योंकि आप एक पंक्ति में ठोकर खाएंगे जो कि गलत कथन में अनुवाद करता है, जैसे 0 = 1 या कुछ इसी तरह का विरोधाभास। यह आपका संकेतक है कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, और याद रखें कि यदि इसका कोई समाधान नहीं है तो सिस्टम असंगत है।

10.आश्रित, स्वतंत्र, और असंगत प्रणाली(Dependent, Independent and Inconsistent Systems)-

आपके पास कोई भी प्रणाली तीन श्रेणियों में से एक में आ जाएगी: आश्रित, स्वतंत्र, या असंगत।

11.आश्रित प्रणाली(Dependent System)-

एक आश्रित प्रणाली में असीम रूप से कई समाधान होते हैं। ऊपर से याद रखें कि ऐसे कई तरीके हैं जिनसे आपका सिस्टम अनंत संख्या में समाधानों का उत्पादन कर सकता है (सभी तीन समतल एक ही समतल हैं या वे एक लाइन बनाने के लिए प्रतिच्छेद करते हैं)।

12.स्वतंत्र प्रणाली(Independent System)-

यदि एक आश्रित प्रणाली में असीम रूप से कई समाधान होते हैं, तो एक स्वतंत्र प्रणाली में एक ही समाधान होता है। तीन समतलों के एक चौराहे के लिए, आप (x, y, z) अपने समाधान के रूप में समन्वयित करेंगे, या दूसरे शब्दों में आपके सिस्टम में प्रत्येक चर के लिए एक मूल्य होगा।

13.असंगत प्रणाली(Inconsistent Systems)-

समाधान न होने पर एक प्रणाली असंगत है।
असंगत के विपरीत सुसंगत होना चाहिए
और अंत में, यदि यह असंगत नहीं है, तो यह सुसंगत होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि इसका कम से कम एक समाधान है। एक प्रणाली सुसंगत है यदि इसका एक समाधान है - यह एक समाधान हो सकता है (यानी एक समन्वय बिंदु उत्तर) या असीम रूप से कई समाधान हो सकते हैं, इसलिए जब तक कोई समाधान नहीं है!