Four Most  Theorems in mathematics Are  The Easiest to Understand.

1.गणित  में सबसे अधिक गहन सिद्धांतों में से 4 भी समझने के लिए सबसे आसान हैं का परिचय (Introduction of Four of the Most Profound Theories in Mathematics are Also the Easiest to Understand.)-

गणित शिक्षण में कम्प्यूटर की भूमिका (Role of Computer in Mathematics Teaching) -

(1.)शिक्षक (Tutor) - 

यह व्यक्तिगत शिक्षक की तरह हमारे पास मौजूद रहता है और जब चाहे तब इसकी सहायता से जानकारी प्राप्त कर सकते हैं। इसकी उपादेयता के कारण दिनोंदिन इसका उपयोग बढ़ता जा रहा है। अनुसन्धानों से यह स्पष्ट हो चुका है कम्प्यूटर बहुत प्रभावी(Effective) और दक्ष (Efficient) सिद्ध हुआ है।

Four Most  Theorems in mathematics Are  The Easiest to Understand.

(2.)शिक्षार्थी (Tutee) -

 कम्प्यूटर शिक्षार्थी को एक मित्र की तरह समस्या समाधान के रूप में और कौशलों को सीखने के अवसर उपलब्ध कराता है। शिक्षार्थी को अपनी बौद्धिक क्षमता और सृजनशीलता को विकसित करने के लिए कम्प्यूटर द्वारा चुनौतियां प्राप्त होती है।

(3.)उपकरण (Tool) -

 शिक्षा संस्थानों में कम्प्यूटर की लोकप्रियता और उपादेयता के कारण मांग बढ़ती जा रही है। कम्प्यूटर का उपयोग सभी क्षेत्रों में बढ़ता जा रहा है। कम्प्यूटर की सहायता से आज हम घर बैठे ही शिक्षण प्राप्त कर सकते हैं और कोई भी समस्या का समाधान प्राप्त कर सकते हैं। इसमें लगे हुए साफ्टवेयर की सहायता से आवश्यक गणनाएं, रेखाचित्र, लेखाचित्र एंव निर्णयन भी कम्प्यूटर से प्राप्त कर सकते हैं।
दूरसंचार (Telecommunication) साधनों के उपयोग में माइक्रो कम्प्यूटर प्रौद्योगिकी का सबसे बड़ा लाभ यह है कि इसकी सहायता से शिक्षक या शिक्षार्थी दुनिया के किसी भी कोने में माइक्रो कम्प्यूटर की सहायता से संवाद कर सकता है।

(4.)ट्यूटोरियल(Tutorial)-

गणित शिक्षक की भूमिका के लिए कम्प्यूटर में ऐसे साॅफ्टवेयर होने चाहिए जिनमें ऐसे प्रोग्राम होंं जो कि विद्यार्थी की जिज्ञासा के अनुरूप अनुदेशनात्मक स्थिति प्रस्तुत कर सकें। ऐसे साॅफ्टवेयर इंजीनियर तैयार कर रहे हैं लेकिन अभी बहुत कुछ करना शेष है। कई उच्चस्तरीय प्रोग्राम लैन्गुवेज (Higher level programmes language) विकसित किये जा रहे हैं। स्मार्ट सिस्टम ऐसा प्रोग्राम है जिसमें उपयोगकर्ता द्वारा प्रस्तुत अदा को स्वीकृत करने की क्षमता हो तथा यह उन नियमों और प्रक्रमों से तुलना करने में समर्थ हो जो कि पूर्ववर्ती अदाओं के द्वारा स्थापित किए गए हों।

(5.)समस्या समाधान (Problem solving) -

 ऐसे प्रोग्राम समस्या और समाधान पर मूल्यांकन एवं प्रतिपुष्टि के साथ सम्मिलित होते हैं, सर्वथा लोकप्रिय और आसान है। इस प्रकार के साॅफ्टवेयर पर्याप्त तैयार हो रहे हैं। गणित के सभी विषयों में इन प्रोग्रामों की पर्याप्त उपयोगिता है।
(6.)निर्देशात्मक सहायता (Instructional Support) - कक्षा अनुदेशन को कम्प्यूटर के उपयोग से सहायता उपलब्ध होती है। कक्षा में विद्यार्थियों का वैयक्तिक मार्गदर्शन प्राप्त नहीं किया जा सकता है। कक्षा शिक्षण हर विद्यार्थी की जिज्ञासा को सन्तुष्ट नहीं कर सकता है।अनुदेशन में मूल्यांकन एवं प्रतिपुष्टि (Feedback) सम्भव नहीं है। साॅफ्टवेयर प्रोग्रामों में कक्षानुदेशन की इन कमियों को दूर किया जा सकता है।

(7.)सामग्री उत्पादन (Material Production) - 

वर्ड प्रोसेसर और लेजर किरणों की सहायता से शिक्षक कम्प्यूटर की सहायता से गणित एवं विज्ञान की विषय सम्बन्धी डाक्यूमेण्ट प्रस्तुत कर सकते हैं। गणित इनको बिना अपना तथा कक्षा का समय नष्ट किए हुए अधिक प्रभावी और आकर्षक ढंग से कक्षा में प्रस्तुत कर सकता है। निष्कर्ष :गणित शिक्षण के हर स्तर पर साधन सामग्रियों का उपयोग प्रारम्भ से ही हो रहा है। रेडियो, टेलीविजन ने जहाँ शिक्षा में संचार व्यवस्था के महत्त्व को दृढ़ता के साथ प्रस्तुत किया वहीं कम्प्यूटर सूचना प्रौद्योगिकी के द्वारा शिक्षा के सकल क्षेत्र में नई क्रांति लाया। यदि हम अवलोकन करें तो पाएंगे कि सन् 1980-90 का दशक शिक्षा में संचार प्रोद्योगिकी का और सन् 1990-2000 का दशक सूचना प्रौद्योगिकी का रहा है। इन दोनों ही साधनों से शिक्षा को बहुआयामी लाभ मिप्रस्तुत अदा को स्वीकृत करने की क्षमता हो तथा यह उन नियमों और प्रक्रमों से तुलना करने में समर्थ हो जो कि पूर्ववर्ती अदाओं के द्वारा स्थापित किए गए हों।

(8.)समस्या समाधान (Problem solving) - 

ऐसे प्रोग्राम समस्या और समाधान पर मूल्यांकन एवं प्रतिपुष्टि के साथ सम्मिलित होते हैं, सर्वथा लोकप्रिय और आसान है। इस प्रकार के साॅफ्टवेयर पर्याप्त तैयार हो रहे हैं। गणित के सभी विषयों में इन प्रोग्रामों की पर्याप्त उपयोगिता है।

(9.)निर्देशात्मक सहायता (Instructional Support) - 

कक्षा अनुदेशन को कम्प्यूटर के उपयोग से सहायता उपलब्ध होती है। कक्षा में विद्यार्थियों का वैयक्तिक मार्गदर्शन प्राप्त नहीं किया जा सकता है। कक्षा शिक्षण हर विद्यार्थी की जिज्ञासा को सन्तुष्ट नहीं कर सकता है।अनुदेशन में मूल्यांकन एवं प्रतिपुष्टि (Feedback) सम्भव नहीं है। साॅफ्टवेयर प्रोग्रामों में कक्षानुदेशन की इन कमियों को दूर किया जा सकता है।

(10.)सामग्री उत्पादन (Material Production) - 

वर्ड प्रोसेसर और लेजर किरणों की सहायता से शिक्षक कम्प्यूटर की सहायता से गणित एवं विज्ञान की विषय सम्बन्धी डाक्यूमेण्ट प्रस्तुत कर सकते हैं। गणित इनको बिना अपना तथा कक्षा का समय नष्ट किए हुए अधिक प्रभावी और आकर्षक ढंग से कक्षा में प्रस्तुत कर सकता है। निष्कर्ष :गणित शिक्षण के हर स्तर पर साधन सामग्रियों का उपयोग प्रारम्भ से ही हो रहा है। रेडियो, टेलीविजन ने जहाँ शिक्षा में संचार व्यवस्था के महत्त्व को दृढ़ता के साथ प्रस्तुत किया वहीं कम्प्यूटर सूचना प्रौद्योगिकी के द्वारा शिक्षा के सकल क्षेत्र में नई क्रांति लाया। यदि हम अवलोकन करें तो पाएंगे कि सन् 1980-90 का दशक शिक्षा में संचार प्रोद्योगिकी का और सन् 1990-2000 का दशक सूचना प्रौद्योगिकी का रहा है। इन दोनों ही साधनों से शिक्षा को बहुआयामी लाभ मिले। आज हम देखते हैं कि शिक्षा ने नया स्वरूप ले लिया है। आज शिक्षा से औपचारिक, अनौपचारिक, निरौपचारिक जैसे शब्दों का विलोपन हो गया है। वर्तमान कल्प में समानांतर धाराएं परम्परागत (Traditional) और दूरस्थ (Distance) अविरल प्रवाहित हो रही है। दूरस्थ शिक्षा विभिन्न साधनों की शिक्षा में प्रयुक्ति के लिए प्रमुख रुप से उत्तरदायी है। हमने देखा कि इस व्यवस्था (system) के विकास ने शिक्षा में बहुसाधन - उपागम (Multi-media approach) को स्थापित किया। टेली कम्यूनिकेशन, टीवी, रेडियो, बिम्बन(Imaging), वीडियो-आॅडियो रिकॉर्डिंग, कम्प्यूटर नेटवर्क आदि की शिक्षा में क्रान्तिकारी भूमिकाएं रही हैं। समकालीन दशक (current decade) शिक्षा का दशक कहा जा सकता है इसको साधन अभिसरण (Media Convergence) का नाम देते हैं।

इस आर्टिकल में "कि गणित में सबसे अधिक गहन सिद्धान्तों में से चार समझने के लिए सबसे आसान है ,सभी गणितियाँ प्रणालियाँ अपूर्ण हैं ,इन्फिनिटी के विभिन्न आकार है ,वहाँ कई प्रमुख संख्या हैं  के बारे में बताया गया है। 
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2.गणित  में सबसे अधिक गहन सिद्धांतों में से 4 भी समझने के लिए सबसे आसान हैं(Four of the Most Profound Theories in Mathematics are Also the Easiest to Understand.)-कंप्यूटर प्रोग्राम में अनंत लूप्स का पता लगाना असंभव है(It is Impossible to Detect Infinite Loops in a Computer Program)-

अनंत लूप का पता लगाने में सक्षम होने का क्या मतलब है? आपको लगता है कि आप सिर्फ कोड पढ़ सकते हैं और देख सकते हैं कि इसमें एक अनंत लूप है। अधिक सटीक कथन यह है कि आपके पास एक ऐसी प्रक्रिया हो सकती है जो आपको हमेशा बता सकती है कि क्या दिया गया कार्यक्रम हमेशा के लिए चलता है। आपके पास निश्चित रूप से एक ऐसी प्रक्रिया हो सकती है जो आपको बताती है कि क्या कुछ विशिष्ट पैटर्न मौजूद हैं, लेकिन एक प्रोग्राम जो हमेशा के लिए चलता है, हमेशा पहचानना आसान नहीं होता है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति जो गलती से अपने लूप काउंटर को बढ़ाना भूल सकता है, को अटेस्ट कर सकता है।
मान लें कि मेरे पास एक प्रोग्राम है जो यह पता लगा सकता है कि क्या अन्य प्रोग्राम हमेशा के लिए चलते हैं। अब इस अन्य कार्यक्रम पर विचार करें: जांचें कि क्या मेरा इनपुट हमेशा के लिए चलता है। यदि हाँ, तो रोकें और वापस लौटें। यदि नहीं, तो अनंत लूप में प्रवेश करें।

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यह प्रोग्राम रुक जाता है अगर इसका इनपुट हमेशा के लिए चलता है, और अगर इसका इनपुट रुक जाता है तो हमेशा के लिए चलता है। जब हम इस कार्यक्रम को इनपुट के रूप में खिलाते हैं तो यह क्या करता है? खैर, यह रुकता है अगर यह हमेशा के लिए चलता है और अगर यह रुकता है तो हमेशा के लिए चलता है। यह असंभव है, इसलिए ऐसा कार्यक्रम बनाना संभव नहीं है जो यह बता सके कि क्या अन्य कार्यक्रम हमेशा के लिए चलते हैं।
1936 में एलन ट्यूरिंग ने इसे साबित किया।

3.सभी गणितीय प्रणालियाँ अपूर्ण हैं(All Mathematical Systems Are Incomplete)-

एक गणितीय प्रणाली अधूरी है यदि इसमें ऐसे कथन हैं जो न तो सिद्ध हो सकते हैं और न ही अप्रतिष्ठित हो सकते हैं।
स्वयंसिद्ध की कोई भी पर्याप्त शक्तिशाली प्रणाली गणितीय विवरण "यह कथन असाध्य है" के समतुल्य को समाहित करने में सक्षम है।
यदि कथन सिद्ध है, तो कथन गलत है, इसलिए यह सिद्ध नहीं हो सकता है।
यदि कथन अयोग्य है, तो कथन सत्य है, इसलिए यह अयोग्य नहीं हो सकता है।
इसका मतलब यह है कि बयान न तो साबित करने योग्य है और न ही अस्वीकार्य है। तो स्वयंसिद्ध सभी पर्याप्त शक्तिशाली प्रणालियाँ अधूरी हैं।
1931 में कर्ट गोडेल ने इसे साबित किया।

4.इन्फिनिटी के विभिन्न आकार हैं(There Are Different Sizes of Infinity)-

कौन सी अनंतता बड़ी है, प्राकृतिक संख्याओं की संख्या या वास्तविक संख्याओं की संख्या?
विभिन्न प्रकार की संख्याओं पर एक त्वरित प्राइमर:
प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3 आदि संख्याएँ हैं। कोई दशमलव स्थान नहीं, कोई नकारात्मक नहीं।
इंटेगर में 0 और निगेटिव नंबर भी शामिल हैं।
यदि आप पूर्णांकों पर विभाजन करने की अनुमति देते हैं तो परिमेय संख्या वे संख्याएँ हैं जिन्हें आप प्राप्त कर सकते हैं। तो 1/2 एक परिमेय संख्या है, और कोई भी अन्य संख्या जो भिन्न है या दशमलव स्थान है।
वास्तविक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की तरह हैं लेकिन आपको उनका वर्णन करने के लिए अनंत संख्या में चरणों का उपयोग करने की अनुमति है। पाई एक वास्तविक संख्या है और एक तर्कसंगत संख्या नहीं है क्योंकि इसे दो पूर्णांकों के विभाजन के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे पूर्णांकों के बीच विभाजनों के अनंत योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

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  तर्कसंगत संख्याओं के अनंत योग के रूप में पाई का उदाहरण।

जब हम पूछते हैं कि एक सेट का आकार दूसरे से बड़ा है तो हमारा क्या मतलब है? हम पूछ रहे हैं कि क्या सेट केबीच कोई आपत्ति है। दूसरे शब्दों में, पहले सेट में प्रत्येक तत्व के लिए, दूसरे सेट में एक तत्व मौजूद है और इसके विपरीत।यदि आप प्राकृतिक संख्या के अनंत आकार के एक सेट की तुलना कर रहे हैं, तो यह केवल सेट की गणना करने का एक तरीका खोजने के लिए पर्याप्त है। यदि आप उन्हें गणना कर सकते हैं, तो आप पहले तत्व को प्राकृतिक संख्या 1 के साथ, दूसरे तत्व को प्राकृतिक संख्या 2 के साथ मैप कर सकते हैं, आदि। यह सेट और प्राकृतिक संख्याओं के बीच की एक आपत्ति है।

तो, क्या हम पूर्णांकों की गणना कर सकते हैं? हाँ, यहाँ एक तरीका है:

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, आदि…

क्या हम तर्कसंगत संख्याओं की गणना कर सकते हैं? 0 और 1 के बीच असीम रूप से कई परिमेय संख्याएँ हैं, इसलिए शायद यह एक कठिन प्रश्न है। खैर, इसका जवाब हां है और इसे करने का एक तरीका है (नकारात्मक संख्या संक्षिप्तता के लिए छोड़ दिया गया)

1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, आदि…

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हमने सिर्फ यह साबित किया कि प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ सभी समान आकार हैं।

वास्तविक संख्या के बारे में क्या? वैसे, वे समान आकार नहीं हैं। तर्कसंगत संख्याओं की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं। यह साबित करने के लिए, हमें यह साबित करना होगा कि वास्तविक संख्याओं की गणना करने के लिए कोई रास्ता नहीं है, आप कितना चतुर हैं।

मान लें कि हम वास्तविक संख्याओं की गणना कर सकते हैं। जो कुछ भी गणना है, उन्हें बाहर रखना और उनके दशमलव विस्तार को देखना चाहिए। पहले नंबर का पहला दशमलव, दूसरे नंबर से दूसरा दशमलव, आदि लेकर आपको मिलने वाली संख्या पर विचार करें।

0.000000000...

0.123456789...

0.897153872...

0.231465693...

                                 0.500000000...        0.027409760...

0.124219345...

0.251289715...

0.643363166...

0.800000000...

किसी विशिष्ट गणना के दशमलव विस्तार से एक अंक लेकर निर्मित संख्या का एक उदाहरण।

अब जब हमें यह नंबर मिल गया है, तो आइए एक नया नंबर बनाएं जो हर अंक में अलग हो। हो सकता है कि हम हर अंक को एक उच्च में बदल दें, और शायद 9s को 0s पर स्विच करें। सचित्र उदाहरण में हम 0.138510871 ...

दावा यह है कि हमने जो संख्या अभी बताई है वह कहीं भी वास्तविकताओं की गणना में दिखाई नहीं देती है। नया नंबर अनुक्रम में किसी भी संख्या से कम से कम एक अंक से भिन्न है क्योंकि यह कैसे निर्मित होता है!

रुकिए, क्या हमने तर्कसंगत संख्याओं की गणना के लिए यह चाल चली है? नहीं, इस बार कुंजी यह है कि वास्तविक संख्या को अनंत संख्या में कदम उठाकर परिभाषित किया जा सकता है। जिस प्रक्रिया का हमने वर्णन किया है वह संख्या उत्पन्न करने के लिए असीम रूप से कई कदम उठाती है, लेकिन यह एक पूरी तरह से वैध है एक वास्तविक संख्या को परिभाषित करना। पाई उत्पन्न करने के लिए असीम रूप से कई कदम उठाए जाते हैं।

प्राकृतिक संख्या से अधिक वास्तविक संख्याएँ हैं, भले ही वे दोनों अनंत हैं। अनंत के विभिन्न आकार हैं।

1891 में जॉर्ज कैंटर ने यह साबित किया।

5.वहाँ कई प्रमुख संख्या हैं(There Are Infinitely Many Prime Numbers)-

मान लें कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। फिर एक परिमित सूची है जिसमें प्रत्येक अभाज्य संख्या है: [2, 3, 5, 11, आदि ..., p]। इस सूची में P सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।

आइए उन सभी नंबरों के उत्पाद को लें और एक जोड़ें: (2 * 3 *… * पी) + 1।

क्या यह एक प्रमुख संख्या है? यदि यह तब है तो यह हमारी सूची के सभी प्रमुख नंबरों से बड़ा है और इसलिए हमारी सूची अधूरी होनी चाहिए।

यदि यह नहीं है, तो इसका एक प्रधान अपघटन होना चाहिए, क्योंकि इसका अर्थ है कि इसका अभिप्राय प्रधान नहीं होना चाहिए। इसकी प्रमुख अपघटन में कौन सी संख्या हो सकती है? वैसे इसे हमारी सूची में संख्याओं में से एक होना चाहिए, क्योंकि उस सूची में प्रत्येक अभाज्य संख्या है! लेकिन इसका मतलब है कि एक ही संख्या का दोनों (2 * 3 *… * P) + 1 और (2 * 3 *… * P) का विभाजक होना है। सबसे छोटी अभाज्य संख्या, 2, केवल संख्याओं का विभाजक हो सकती है जो 2 अलग हैं। इसलिए प्राइम नंबर के रूप में ऐसी कोई चीज नहीं है जो एक नंबर को विभाजित कर सके और वह नंबर +1 हो।

ठीक है, इसलिए (2 * 3 *… * P) + 1 अभाज्य नहीं हो सकता है और यह नॉन-प्राइम नहीं हो सकता है। यह असंभव है, इसलिए हमारी एक धारणा झूठी होनी चाहिए। हमारी एकमात्र धारणा यह थी कि बहुत सारे primes हैं, इसलिए असीम रूप से कई primes होने चाहिए।

यूक्लिड ने 300 BC में यह साबित किया।