Comprehending Mathematics

1.सम्मोहित गणित का परिचय (Introduction to Comprehending Mathematics)-

इस आर्टिकल में बताया गया है कि विद्यार्थियों को गणित में पुस्तक पढ़ना व लिखना सीखाया जाता है। सामान्यतः विद्यार्थियों को परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से पढ़ना, लिखना सीखाया जाता है। अर्थात् बालकों को कुछ गणित का अभ्यास कराने के बाद उसकी परीक्षा ली  जाती है। उस परीक्षा के आधार पर बालकों का मूल्यांकन करके जो त्रुटि वे करते हैं उसमें सुधार करवाया जाता है। इस प्रकार वे गणित की समस्याओं को हल करना सीखते हैं। धीरे-धीरे उनके सम्मुख चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याओं को प्रस्तुत किया जाता है जो विद्यार्थियों को अधिक समझदार बनाती है यदि वे उनको हल करने का प्रयास करते हैं या हल कर लेते हैं। इसलिए बालकों से चुनौतीपूर्ण गणितीय समस्याएं हल करवाई जानी चाहिए। यदि वर्षों से चले आ रहे पुराने ढर्रे पर बालकों को लिखना व पढ़ना सीखाया जाएगा तो सम्भव है उतना अच्छा परिणाम देखने को नहीं मिले।
मनोवैज्ञानिक सिद्धान्तों और नियमों में अधिगम के वैज्ञानिक सिद्धान्तों व नियमों का उपयोग किया जा सकता है। माता-पिता, अध्यापक व अभिभावक गणों को अधिगम के नियमों /सिद्धान्तों का उपयोग करके गणित में उत्तम व्यक्तित्त्व विकास की नींव बच्चों में डाल सकते हैं। क्लासिक नियमों का सही-सही उपयोग करके माता-पिता, अभिभावक व अध्यापक बच्चों को खतरा एवं सुरक्षा के संकेतों को सीखलाकर उनके व्यवहार में उत्कृष्टता ला सकते हैं। क्रियात्मक गणित का अनुप्रयोग करके तथा क्रियात्मक गणित के नियमों का उपयोग करके माता-पिता बच्चों को कई तरह की घिसी-पिटी आदतों से मुक्ति दिला सकते हैं। माता-पिता व अध्यापक एक अच्छे माॅडल के रूप में भी अपने बच्चों को कर्त्तव्यनिष्ठ, सामाजिक कौशल, उपाय कुशल व गणितीय कुशलता आदि बना सकते हैं।

2.शैक्षिक गणितीय अधिगम (In Academic Educational Learning) -

गणितीय अधिगम के सिद्धान्तों /नियमों का उपयोग शिक्षक एवं छात्रों द्वारा शैक्षिक गणित के परिणामों को उत्तम बनाने के लिए भी सफलतापूर्वक किया जा सकता है। इसमें गणित पाठ को कई छोटे-छोटे अंशों में बाँटकर छात्रों को सीखाया जाता है या सीखते हैं। प्रत्येक अंश को सीखने के लिए विद्यार्थियों को प्रोत्साहित किया जाता है जिससे सीखना आसान हो जाता है। इस तरह से छात्रों को प्रोत्साहित करने के नियम के सहारे किसी गणितीय क्रिया को सीखने में अधिक सक्रिय बनाकर उन्हें प्रोत्साहित किया जाता है।
माता-पिता, शिक्षक अपने उत्तम आचरण के द्वारा भी विद्यार्थियों को सीखने में उत्तम माॅडल के रूप में पेश करते हैं जिससे छात्रों में व्यक्तिगत आदत तथा उचित गणितीय व्यवहार उत्पन्न हो सके। गणित में गृहकार्य तथा वर्ग कार्य करने के लिए देकर तथा पर्याप्त अभ्यास करना भी सीखलाया जाता है।

3.गणितीय चिंता (Mathematical Anxiety) -

कुछ विद्यार्थियों में गणितीय चिंता या डर मन में समाया हुआ होता है या उनके मन में बैठा दिया जाता है जिससे विद्यार्थी गणित से कतराने लगते हैं और गणित को हल करने में उनकी रूचि नहीं रहती है। जिन विद्यार्थियों के मन में डर बैठ जाता है उनमें क्रमबद्ध संवेदीकरण का उपयोग करके उनकी अनावश्यक चिंताओं एवं डर को दूर किया जाता है। वैसे विद्यार्थी जिनमें अतार्किक, आधारहीन डर के साथ-ही-साथ असामान्य व्यवहार भी होता है उनके लिए मनोवैज्ञानिक चिकित्सा का उपयोग लाभदायक रहता है। जो विद्यार्थी अंतर्मुखी तथा शर्मीले प्रकृति के होते हैं तथा जिन्हें गूढ़ गणितीय क्रियाओं को करने में कठिनाई महसूस होती है, उनमें दृढ आत्मविश्वास उत्पन्न करके ऐसी समस्याओं से छुटकारा दिलाया जा सकता है। कुछ विद्यार्थी तुनकमिजाजी होते हैं अर्थात् उन्हें जरा- सा भी छेड़ने पर वे अपना मानसिक संतुलन खोने लगते हैं जैसे उनसे कहा जाए कि आपका गुणा, भाग, जोड़, बाकी गलत है तो भड़क उठते हैं, उनकी श्वसन गति तीव्र हो जाती है तथा वे उँट-पटाँग व्यवहार करने लगते हैं, ऐसी समस्याओं से छुटकारा पाने के लिए उन्हें सान्त्वना, प्रोत्साहन तथा सहानुभूति का उपयोग किया जाता है।

4.निष्कर्ष (Conclusion) -

विद्यार्थियों को गणित सीखना एक तप व साधना का कार्य है। इसमें विद्यार्थी के साथ-साथ अध्यापकों को भी तप व साधना करनी होती है। यदि माता-पिता शिक्षकों के भरोसे या विद्यालय के भरोसे पर विद्यार्थियों को छोड़ दे या अध्यापक विद्यार्थियों को मात्र कक्षा में पढ़ाकर इतिश्री समझ ले तो गणित जैसे विषय में विद्यार्थियों को पारंगत करना बहुत कठिन है। जिन बच्चों में जन्मजात प्रतिभा होती है उन बच्चों की बात अलग है, वे अपवाद होते हैं तथा उनको थोड़े प्रशिक्षण से ही उत्तम परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। आजकल के वातावरण को देखकर कहा जा सकता है कि विद्यार्थियों में सुविधाभोगी प्रवृत्ति पनपती जा रही है और माता-पिता व अध्यापकगण उनकी फरमाईशों को पूरी करने में कोई कसर नहीं छोड़ते हैं। यही कारण है कि विद्यार्थी तप व साधना से जी चुराता है और वे गणित विषय में पिछड़ जाते हैं जबकि गणित विषय उनके लिए जीवन में बहुत उपयोगी है। ऐसे विद्यार्थियों को जीवन क्षेत्र में गणित की जरुरत होती है तो उनके ठंडा पसीना छूटने लगता है।
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5.सम्मोहित गणित(Comprehending Mathematics)-

Comprehending Mathematics

साक्षरता निर्देश हमें गणित सिखाने के बारे में क्या दिखा सकता है
हम छात्रों को वर्षों से बेहतर पाठक और लेखक बनने का तरीका सिखा रहे हैं। संरक्षक ग्रंथों के साथ, हम अपने छात्रों को पुस्तकों के भीतर मौजूद विभिन्न शैलियों, पाठ संरचनाओं और सुविधाओं के बारे में पढ़ाते हैं। छात्र मुख्य चरित्र और नए लेखन टुकड़े के विवरण को दर्शाने के लिए पात्रों और भूखंडों की पहचान करना, घटनाओं को बेचना, या सामग्री की एक तालिका स्थापित करना सीखते हैं।
अच्छी खबर यह है, हम अपने गणित निर्देश के दौरान इन्हीं अनुदेशात्मक विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। जिस प्रकार पुस्तकों में विभिन्न प्रकार की पाठ संरचनाएँ (कथा, सूचनात्मक, जीवनी) और विशेषताएँ (वर्ण, घटनाएँ, भाषा, लेबल) होती हैं, उसी प्रकार गणित शब्द की समस्याएं भी। जब हम छात्रों को गणित की समस्याओं के भीतर इन संरचनाओं और विशेषताओं की पहचान करने का तरीका दिखाते हैं, तो हम उन्हें समझने, उन्हें हल करने और अंततः अपनी स्वयं की गणित कहानियों के लेखक बनने की क्षमता बढ़ाते हैं। अनुसंधान से पता चलता है कि पाठक जो किसी पाठ की संरचना की पहचान कर सकते हैं, वे सफल समझ के लिए आवश्यक जानकारी का पता लगाने में सक्षम हैं (विलियम्स, जे.पी., 2003)। यह ठीक वैसा ही परिणाम है जैसा हम तब खोज रहे हैं जब छात्र शब्द समस्याओं को हल कर रहे हैं। हम चाहते हैं कि छात्र एक गणित समस्या की पाठ संरचना की पहचान करें, यह पहचानें कि कौन सा हिस्सा गायब है, और लापता मूल्य को हल करने के लिए प्रश्नों और ज्ञात रिश्तों का उपयोग करें।

6.समस्या संरचनाएं(Problem Structures)-

गणित की शब्द समस्याओं के लिए चार बुनियादी संरचनाएं हैं, जैसा कि थॉमस ग्रिपेंटर और उनके सहयोगियों ने अपनी ग्राउंडब्रेकिंग पुस्तक, चिल्ड्रन्स मैथमेटिक्स, 1999 में प्रकाशित किया था (2 संस्करण 2013):

(1.)सम्मिलित / अलग(Join/Separate): 

इन समस्याओं में, कुछ कार्रवाई है। एक प्रारंभिक मात्रा है; कुछ जोड़ा या छीन लिया गया है; और अंत में एक नई मात्रा है। गणितज्ञ को यह तय करना चाहिए कि कौन गायब है और दूसरों के आधार पर इसका मूल्य ढूंढें।
टोकरी में 3 बिल्ली के बच्चे हैं। 1 बिल्ली का बच्चा बाहर चढ़ता है। अब टोकरी में कितने बिल्ली के बच्चे हैं? (अलग, परिणाम अज्ञात)
शिक्षक ने 30 पेंसिलें तेज कर दीं। उन्होंने प्रत्येक पेंसिल बॉक्स में पेंसिल की समान संख्या डाल दी। उन्होंने 6 पेंसिल बॉक्स भरे। प्रत्येक डिब्बे में उसने कितनी पेंसिलें रखीं? (आंशिक विभाजन (अलग के समान), प्रत्येक समूह में राशि अज्ञात)
मार्क के पास अपने बटुए में कुछ पैसे हैं। उसके पास बैंक में 520 डॉलर हैं। कुल मिलाकर उसके पास $ 137 हैं। मार्क के पास अपने वॉलेट में कितने पैसे हैं? (शामिल हों, अज्ञात शुरू करें)

(2.)पार्ट-पार्ट-होल(Part-Part-Whole): 

इन समस्याओं में, भाग एक पूर्ण बनाते हैं, लेकिन कोई क्रिया या परिवर्तन नहीं होता है। एक या एक से अधिक भागों या पूरे लापता हो सकते हैं।
“बहुत पर 100 ऑटोमोबाइल हैं। कितनी हो सकती हैं कारें? ट्रक कितने हो सकते हैं? ”
“एक डीलरशिप में प्रत्येक पंक्ति में 10 के साथ कारों की 7 पंक्तियाँ हैं। वहाँ कितनी गाड़ियां हैं?

(3.)तुलना(Comparison): 

इन समस्याओं में, दो मात्राओं की तुलना की जाती है।
औसत जिराफ़ का वजन 750 पाउंड होता है। जो कि औसत बंदर से 15 गुना ज्यादा है। औसत बंदर कितना वजन करता है?
जोसेफ के पास 9 डॉलर हैं। मार्गरेट के पास 14 डॉलर हैं। मार्गरेट जोसेफ के पास कितना अधिक पैसा है?

(4.)दर(Rate): 

इन समस्याओं में, दोनों राशियों के बीच सीधा संबंध होता है। एक में बदलाव दूसरे में बदलाव का कारण बनता है।
हेनरी प्रति घंटे $ 15 कमाता है। 8 घंटे में वह कितना कमाएगा?

7.समस्या संरचनाओं से संबंधित पाठ संरचनाएं: सम्मिलित / अलग और वर्णनात्मक(Relating Text Structures to Problem Structures: Join/Separate and Narrative)-

आइए इस बारे में विचार करें कि गणित की शब्द समस्याओं की बुनियादी संरचनाएं कल्पना और गैर-कल्पना ग्रंथों को कैसे दर्शाती हैं। भाग-भाग-पूरा और तुलनात्मक समस्याओं में सूचनात्मक ग्रंथों के समान संरचनाएँ हैं। पार्ट-पार्ट-होल समस्याओं में एक समय और एक जगह का वर्णन है, थोड़ा सा मुख्य विचार और एक पुस्तक में विवरण। तुलनात्मक समस्याओं में सूचनात्मक ग्रंथों की तुलना / विपरीत के समान संरचनाएं होती हैं, एक आरेख की तरह जो जानवरों की ऊंचाइयों और वजन की तुलना करता है या एक किताब है जो पाठक को गर्मियों और गिरावट की तुलना और विपरीत करने के लिए कहता है। दर समस्याएँ, सूचनात्मक ग्रंथों को भी प्रतिबिंबित कर सकती हैं।
हालांकि, आइए, जॉइन / सेपरेट समस्याओं पर ध्यान दें। ये समस्याएं एक कथा संरचना का पालन करती हैं और आमतौर पर इसमें एक चरित्र, एक सेटिंग और एक क्रिया के रूप में एक प्लॉट / एक्शन होता है। शुरुआत, मध्य और अंत के साथ समस्या का प्रवाह है। ऊपर बिल्ली का बच्चा समस्या के बारे में सोचो: अक्षर बिल्ली के बच्चे हैं, सेटिंग एक टोकरी है, और कार्रवाई एक बिल्ली का बच्चा बाहर चढ़ाई है।

Comprehending Mathematics

बहुत कम उम्र से बच्चों को कथा पाठ संरचनाओं से अवगत कराया जाता है; वे चरित्रों के रोमांच के साथ पालन करना सीखते हैं, समस्याओं के बारे में आश्चर्य करते हैं, और अंत का अनुमान लगाते हैं। यह प्रदर्शन स्पष्ट रूप से बच्चों के मन में कहानियों को व्यवस्थित करने की क्षमता बनाता है, भविष्यवाणी करता है कि आगे क्या हो सकता है, और जब अर्थ टूट जाता है तो प्रासंगिक प्रश्न पूछें।
उदाहरण के लिए, अनुसंधान से पता चलता है कि बच्चे आमतौर पर परीक्षण और त्रुटि (कारपेंटर, 2003) के माध्यम से शुरू-अज्ञात समस्याओं को हल करना सीखते हैं। हालांकि, समझ संरचना छात्रों के लिए चुनौतीपूर्ण समस्याओं को अधिक समझदार बना सकती है। समस्याओं को शब्द बनाने के लिए स्पष्ट रूप से कथा पाठ संरचनाओं को जोड़ने के लिए ग्राफिक आयोजकों का उपयोग करके, और उनके भीतर सुविधाओं और संरचनाओं की व्याख्या करते हुए, छात्रों को अज्ञात चर को निर्धारित करने और समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक संबंधों का उपयोग करने में बेहतर है। इसके अतिरिक्त, कई बच्चे संरचना के इस ज्ञान को लागू करने और अपनी स्वयं की गणित समस्याओं के लेखक बनने में सक्षम हैं। (नीचे छात्र का काम देखें)।
1.Sergio इस सेपरेट चेंज अननोन (SCU) समस्या में समस्या में लापता मान की स्थिति दिखाने के लिए ग्राफिक आयोजक (रिटेल बॉक्स) का उपयोग करने में सक्षम था। फिर उन्होंने अंतर को खोजने के लिए दिए गए मूल्यों का उपयोग किया और इसे उलटा ऑपरेशन के साथ साबित कर दिया। आप देखेंगे कि ऑपरेशन प्रतीकों के स्थान पर तीर हैं। इसका मतलब छात्रों को संख्याओं के बीच संबंधों के बारे में लचीले ढंग से सोचने के लिए प्रोत्साहित करना है।
सर्जियो की SCU समस्या
2. जब ज्वाइन चेंज अननोन (JCU) की समस्याएं दी जाती हैं, तो छात्र अक्सर दिए गए दो मूल्यों को जोड़ देते हैं। इस मामले में, चैस्टलीन अपनी जेसीयू शब्द समस्या बनाने में सक्षम था, जिसमें प्रश्न चिह्न परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता था।
चेस्टलीयन की JCU समस्या
3. अप्रैल की समस्या इस बात की परिचायक है कि वह स्वतंत्र रूप से एक दो कदम अलग परिणाम अज्ञात (SRU) शब्द समस्या बनाने में सक्षम थी।
अप्रैल की दो-चरणीय SRU समस्या
4. नताविदाद एक प्रश्न चिह्न का उपयोग करता है यह दिखाने के लिए कि वह लापता मूल्य को अलग-अलग परिवर्तन अज्ञात (SCU) समस्या के बीच में है। हल करने के लिए उसकी रणनीति उसके मूल्यों के बीच संबंधों की समझ को दर्शाती है। वह 20 का अंतर खोजने के लिए 30 से 10 घटाती है।
नेविदाद की SCU समस्या
समय के साथ, जैसे हम छात्रों से अधिक जटिल ग्रंथों को पढ़ने और लिखने की अपेक्षा करते हैं, हम उन्हें और अधिक गणितीय गणित समस्याओं को हल करने और लिखने की अपेक्षा कर सकते हैं। हम इंटरैक्टिव रीड अलाउड के दौरान मेंटर टेक्स्ट के रूप में विभिन्न प्रकार की शब्द समस्याओं का उपयोग कर सकते हैं, हम उन पाठ संरचनाओं और विशेषताओं के बारे में जोर से सोच सकते हैं जिन्हें हम नोटिस करते हैं। हम गणित के समय में छोटे समूहों को व्यवस्थित कर सकते हैं और रणनीतिक भागीदारी बना सकते हैं जो छात्रों को उनकी सोच को समझाने और अपने साथियों से महत्वपूर्ण प्रतिक्रिया प्राप्त करने की अनुमति देता है। हम छात्रों को अधिक से अधिक जटिल प्रकार की समस्याओं को उजागर कर सकते हैं और उनकी संख्या समझ और गणितीय तर्क विकसित करने के रूप में देख सकते हैं।