Achieve Mathematical Maturity

1.गणितीय परिपक्वता प्राप्त करना(Achieve Mathematical Maturity)-

"... ज्ञान भर जाता है, लेकिन प्यार बढ़ता है।"
"गणितीय परिपक्वता" उच्च शिक्षा में उन पकड़-वाक्यांशों में से एक है जो अक्सर उपयोग किया जाता है लेकिन शायद ही कभी परिभाषित किया जाता है। इससे भी अधिक अस्पष्ट है कि "गणितीय परिपक्वता" तक कैसे पहुंचें। इस पोस्ट में, मैं अपनी गणित से भरी यात्रा के दौरान प्राप्त कुछ अंतर्दृष्टि साझा करना चाहता हूं।

Achieve Mathematical Maturity

2.यात्रा(journey)-

अस्वीकरण: यदि आप एक कक्षा में हैं और आप नहीं जानते कि क्या चल रहा है, तो नीचे दिए गए कोई भी मदद नहीं करेगा। बुनियादी समझ महारत के लिए एक कठिन शर्त है। पाठ्यपुस्तक पढ़ें, व्याख्यान पर जाएं (और ध्यान दें)। न्यूनतम से शुरू करें, फिर अधिक के लिए प्रयास करें।

3.इस बिंदु से परे अभ्यास की आवश्यकता है(.This requires practice beyond this point)-

यह स्पष्ट लग सकता है, लेकिन आपको वास्तव में बहुत अभ्यास की आवश्यकता है। सामग्री के लिए बार-बार संपर्क करने से आपकी मांसपेशियों की स्मृति में यांत्रिक संचालन में मदद मिलती है। अभ्यास भी सरल बीजीय गलतियों को खत्म करने में मदद करता है जो मध्य और उच्च विद्यालय में कई छात्रों को परेशान करता है। इन गलतियों को खत्म करना गणितीय परिपक्वता के मार्ग पर प्रगति का एक प्रारंभिक संकेतक है। लेकिन सरल अभ्यास गहरी वैचारिक समझ के लिए एक पर्याप्त स्थिति नहीं है। इन युक्तियों के बाकी हिस्सों को "ब्रूट-फोर्स" से बेहतर बनाने के लिए अभ्यास किया जाता है ताकि मन को अभ्यास करने के लिए प्रोत्साहित किया जा सके जो अधिक कुशल है और यांत्रिक चरणों की एक श्रृंखला को दोहराने की क्षमता से परे है।

4.प्रतिबिंबित और सुदृढ़(Reflect and reinforce)-

ब्रूट-फोर्स समस्या को हल करना काफी चुनौतीपूर्ण लगता है, क्योंकि यह बताता है कि उत्कृष्टता केवल हजारों घंटों की अभ्यास समस्याओं (10,000 घंटे शायद?) के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है। समस्याओं को पूरा करने और आगे बढ़ने के लिए बस रटे कार्यों के रूप में व्यवहार करने के बजाय, समस्याओं के करीब आने का एक और अधिक बुद्धिमान और कुशल तरीका असाइनमेंट के दौरान और बाद में लगातार प्रतिबिंबित करना है, वे होमवर्क, चर्चाओं में या परीक्षणों पर। अपने आप से पूछें, "मैं इस कदम पर क्या सोच रहा था?", "मैंने इस समस्या को क्यों गड़बड़ किया?" समस्या के बारे में पूछें "यह समस्या मुझे क्या करने के लिए कह रही है?", "इस समस्या को हल करने के लिए मैं किस सामान्य दृष्टिकोण का उपयोग करूंगा?", "" यह समस्या किस पैटर्न के तहत फिट होती है? "," मुझे इसे हल करने के लिए किन सूत्रों की आवश्यकता है? समस्या और मैं उनका उपयोग कैसे करूंगा? "
एक व्यावहारिक टिप समाधान के बिना एक बार सब कुछ करना है और फिर एक बार समाधान के साथ। होमवर्क के लिए, कभी समाधान न देखें - कुश्ती का संघर्ष और समस्या के साथ जूझना जब तक कि यह पैदावार नहीं होती है, जहां सच्ची सीख होती है। यदि आप वास्तव में फंस गए हैं, तो मदद के लिए एक मित्र से पूछें। यदि उन्हें पता नहीं है, तो दृष्टिकोण और विचारों पर चर्चा करें, जब तक आप इसे समझ नहीं लेते, तब तक कई अन्य दोस्तों में रोपित करें।परीक्षा के बाद (या होमवर्क जहां आपके पास उत्तर उपलब्ध नहीं हैं), पूरी परीक्षा से गुजरें, जो आपके द्वारा याद की गई समस्याओं को फिर से दर्ज करें। यदि अटक गया है, तो समाधान देखें और फिर समाधान लिखें। समाधान लिखना वास्तविक लक्ष्य नहीं है: क्या मायने रखता है जहां आप गलत हो गए हैं, जो आपको चूक गए, और सही रास्ता वास्तव में सही क्यों है। इसे लिखना केवल एक तरीका है, जो इस समझ को प्रोत्साहित करता है, लेकिन अकेले नकल आपको कहीं नहीं मिलेगा।
एक्स पोस्ट फैक्टो परीक्षा का यह अभ्यास बहुत महत्वपूर्ण और बेहद कम आंका गया है। यह महत्वपूर्ण अनुशासन लेता है और उचित मात्रा में "बिना काम" का काम करता है यानी ऐसा काम जो स्पष्ट रूप से सौंपा या वर्गीकृत नहीं किया गया है, लेकिन महत्वपूर्ण लाभ प्रदान करता है। यही कारण है कि कक्षाओं को असाइनमेंट के लिए रजिस्ट्रियों को लागू या प्रोत्साहित करना चाहिए, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से छात्रों को इस प्रतिबिंब और पुनर्मूल्यांकन अभ्यास के माध्यम से जाने के लिए प्रोत्साहित करता है।
इस सभी प्रतिबिंब और विश्लेषण के बाद, फिर उन सबक को सुदृढ़ करना महत्वपूर्ण है जो आप अपनी गलतियों से सीखते हैं। कैसे? अधिक अभ्यास करने और एक ही सामग्री के लिए अधिक जोखिम होने से। अभ्यास और प्रतिबिंब के प्रत्येक दौर के बाद, आपको उम्मीद करनी चाहिए कि गलतियों की संख्या कम हो जाए और समय के साथ सामान्य गलतियों को खत्म किया जाए। यदि नहीं, तो आप वास्तव में जो सीख रहे हैं उसे लागू नहीं कर रहे हैं - प्रत्येक समस्या को करने से पहले धीमा कर दें और यह देखने की कोशिश करें कि क्या यह अन्य समस्याओं से मेल खाता है, जो आप पहले देख चुके हैं, इसलिए आप जानते हैं कि आप जो आम नुकसान हैं, वे क्या हैं।

5.आगे सड़क की कल्पना करो(Imagine the road ahead)-

यहां तक ​​कि सबसे कठिन हाई स्कूल समस्या को केवल एक (1) अद्वितीय परिप्रेक्ष्य और दो (2) महत्वपूर्ण प्रतिस्थापन या चरणों की आवश्यकता होगी। एक बार जब आप इन की पहचान कर लेते हैं, तो वह सब बीजीय हेरफेर है। पेंसिल उठाने से पहले हैवी-लिफ्टिंग की जा सकती है; एक बार आगे का रास्ता साफ होने के बाद, बाकी यांत्रिकी है।
यह उच्च-स्तरीय दृष्टिकोण महत्वपूर्ण है क्योंकि कई बार छात्र बीजगणित के ब्रश में खो जाते हैं और भूल जाते हैं कि वे कहाँ जाने की कोशिश कर रहे हैं। समझें कि आपका लक्ष्य / लक्ष्य क्या है और आगे के रास्ते की पहचान करें - फिर आत्मविश्वास के साथ कदम आगे बढ़ाएं। यदि आप इस स्तर पर सही रास्ता पा सकते हैं, तो समस्या पहले से ही हल हो गई है। भले ही आप उस समस्या को उस मौजूदा समय में हल नहीं कर सकते हैं, उदा। समस्या बहुत जटिल है, बस लक्ष्य पदों की पहचान करने और संभव चरणों के बारे में सोचने का कार्य वास्तव में समस्या के साथ कुश्ती करना एक अच्छा आरंभ है।

6.इसे साबित करो(prove it)

अक्सर, फॉर्मूले को रॉट मेमोराइजेशन माना जाता है। लेकिन आपके द्वारा दिए गए कई सूत्र बुनियादी स्वयंसिद्ध शब्दों से प्राप्त किए जा सकते हैं। बयानों को सही साबित करने के लिए अंतर्ज्ञान को गहरा करने और साबित करने में सक्षम होने में मदद करता है। यह संस्मरण की तुलना में यकीनन अधिक कुशल है, क्योंकि यदि आप कभी भी सूत्र भूल जाते हैं, तो आपको इसे फिर से प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए। बेशक, आपको सबूतों को याद नहीं रखना चाहिए, क्योंकि यह पूरे उद्देश्य को हरा देगा। इसके बजाय, बस 'ट्रिक्स' के सामान्य एरे को याद रखना और प्रूफ में उपयोग की जाने वाली अवधारणाएँ पर्याप्त हैं। वास्तव में, बीजीय ’ट्रिक्स’ का एक अच्छा टूलकिट होना समस्या को हल करने के लिए एक मूल्यवान गुणधर्म  है क्योंकि वे अक्सर कई अलग-अलग संदर्भों में दिखाई देते हैं। अंत में, सामान्य रूप से समस्या समाधान के लिए प्रूफिंग प्रैक्टिस पद्धति अनिवार्य रूप से अभ्यास का सबसेट है।

7.सेन के लिए सनिटी चेक हैं(Sanity checks for Sen)-

जब समस्याएँ होती हैं, तो मैं आपको अपने पूरे काम के दौरान स्वच्छता जाँच करने के लिए प्रोत्साहित करता हूँ। उदाहरण के लिए, यदि आप संभावना के साथ काम कर रहे हैं, तो सुनिश्चित करें कि आपकी संभावना 0 और 1 के बीच है; पथरी के लिए, अपने व्युत्पन्न आदि के संकेत पर कुछ जांचें करें।
पवित्रता की जाँच के लिए कुछ प्रेरणाएँ मौजूद हैं। सबसे पहले, विज्ञान में गणित का उपयोग करते समय, जाँचना कि आपके अंतिम प्रतीकात्मक उत्तर की इकाइयाँ अपेक्षित इकाइयों से मेल खाती हैं, बीजगणित पर एक अच्छी जाँच है और आपको परिवर्तित इकाइयों के साथ अभ्यास भी देता है। सनिटी चेक के लिए भी एक मध्यम वैचारिक समझ की आवश्यकता होती है: आप अपने उत्तर की जाँच नहीं कर सकते हैं यदि आपको यह अपेक्षा नहीं है कि यह क्या होना चाहिए। अंत में, पवित्रता की जाँच भी तांत्रिक अवधारणाओं को लाने के लिए और अपनी पवित्रता जाँच में उनका उपयोग करने के लिए एक अच्छा तरीका है, जो अवधारणाओं को एक साथ बुनने और विभिन्न विषयों पर अनुप्रयोगों को देखने का एक अच्छा तरीका है।

8.टीचिंग है मास्टरी(Teaching is mastery)-

शिक्षण आपकी समझ को आगे बढ़ाने का एक शानदार तरीका है। पढ़ाने के दौरान, आप न केवल विषय के बारे में अपने स्वयं के प्रश्नों के साथ सामना करते हैं, बल्कि छात्रों की एक पूरी कक्षा द्वारा, जो अपने तरीके से समस्याओं को देखेंगे और गलत समझेंगे।
सूचना सिद्धांत के दृष्टिकोण से, शिक्षण बुद्धिमान सूचना संपीड़न है। छात्रों के सवालों के जवाब देने से आपको गलतफहमी के बिंदु को स्पष्ट रूप से पहचानने, सही उत्तर का निर्धारण करने और उत्तर की व्याख्या करने के लिए एक रसीला और स्पष्ट यानी संकुचित तरीके खोजने की आवश्यकता होती है। कुशलता से ऐसा करने में सक्षम होने का मतलब है कि आपने एक कुशल "अव्यक्त स्थान" प्रतिनिधित्व या "कई गुना" यानी एक अवधारणा पर महारत हासिल की है।
अंत में, शिक्षण एक स्वाभाविक सामाजिक गतिविधि है। आधुनिक तकनीकी युग में, विचारों को स्पष्ट रूप से दूसरों तक पहुंचाने में सक्षम होना और भी अधिक महत्वपूर्ण है। न केवल अवधारणाओं को स्पष्ट रूप से समझाने के लिए बल्कि उन छात्रों को प्रेरित करने और प्रेरित करने के लिए इसे मूल्यवान अभ्यास के रूप में समझें, जो अन्यथा इन अभ्यासों के बिंदु को नहीं देख सकते हैं।

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9.सार, मॉड्यूलर, भेदभाव, श्रेणीबद्ध(Abstract, modular, differentiation, hierarchical)-

दृश्य से संबंधित नस में अमूर्तता का विचार है। सरल बीजगणितीय जोड़तोड़ से ऊपर उठने और एक समस्या में आप जिस दिशा में जाना चाहते हैं, उसकी कल्पना करने की क्षमता, समस्या को हल करने का एक अंतर्निहित हिस्सा है। हम वास्तव में कैसे अमूर्त हैं? प्रतिरूपकता लागू करके - विशेष रूप से, प्रत्येक समस्या के विभिन्न घटकों की पहचान करके, कि वे एक-दूसरे से कैसे संबंधित हैं, और प्रत्येक घटक के लिए अलग से हमले की योजना का पता लगा रहे हैं।
एक बार जब हम पूरी समस्या के इन विभिन्न मॉड्यूलर ब्लॉकों / घटकों को देखते हैं, तो हम समस्या को भेदभाव या अलग कर सकते हैं अन्य समस्याओं के साथ जो हमने पहले देखे हैं कि समान ब्लॉक / घटक हैं, शायद थोड़े अलग कॉन्फ़िगरेशन में। बहुत सी समस्याएं बस यह बताती हैं कि कौन से ब्लॉक दिए गए हैं या ज्ञात हैं और आपको अन्य घटकों / ब्लॉकों के लिए हल करने के लिए कहते हैं। यह एक समस्या का भेदभाव करने और कहने की क्षमता है "आप वास्तव में एक और समस्या का थोड़ा अलग संस्करण हैं जो मैंने पहले देखा है और कई बार किया है" आपको अपने सभी पहले से प्राप्त ज्ञान और कौशल को लेने और इस नई समस्या पर फेंकने की अनुमति देता है, यद्यपि थोड़ा अलग तरीके से।
पदानुक्रमित संगठन वास्तव में प्रतिरूपकता का एक क्रमबद्ध रूप है, जहां जटिलता के क्रम में व्यक्तियों के मॉड्यूल का आयोजन किया जाता है। अमूर्त अवधारणाएं सरल अवधारणाओं का निर्माण करती हैं, जहां पदानुक्रम की प्रत्येक परत को अमूर्तता के अवरोधों द्वारा अलग किया जाता है। पदानुक्रम के संदर्भ में स्पष्ट रूप से सोचना सीखना वैचारिक समझ का निर्माण करने का एक प्रभावी तरीका है क्योंकि इस तरह से गणित का बहुत कुछ आयोजन किया जा सकता है।
इस पदानुक्रमित अमूर्त का एक स्पष्ट उदाहरण रैखिक बीजगणित से लिया जा सकता है। अमूर्त की आधार परत वेक्टर-वेक्टर गुणा, मैट्रिक्स-वेक्टर गुणा, डॉट उत्पाद, बाहरी उत्पाद है। इसके बाद गॉसियन एलिमिनेशन तकनीक और बेसिक मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्मेशन जैसे उलटा, ट्रांसपोज़ और डिसेंटिवेंट्स आते हैं। ध्यान दें कि पदानुक्रम के इस अपेक्षाकृत निम्न स्तर पर भी, जटिल कनेक्शन और सहज ज्ञान युक्त व्युत्क्रमों और निर्धारकों को समझने के तरीके हैं। इसके बाद वेक्टर स्पेस और आइजनवेक्टर अपघटन आता है। और फिर विभिन्न मैट्रिक्स फैक्टराइजेशन तकनीक आदि, स्पष्ट रूप से अमूर्तता की बाधाएं सॉफ्टवेयर विकास में उतनी मजबूत नहीं हैं, लेकिन एक संगठन उपकरण के रूप में, अभी भी अमूल्य हैं।
पुरस्कार

10.गणित: विज्ञान की रानी(Mathematics: Queen of Sciences)-

यद्यपि गणित को अक्सर "विज्ञान की रानी" के रूप में संदर्भित किया जाता है, एक अधिक वर्णनात्मक रूपक यह हो सकता है कि आधुनिक वैज्ञानिक पद्धति गणित की भाषा में लिखती है। आप अक्सर पाएंगे कि गणित की कक्षाओं में पढ़ाया जाने वाला गणित आमतौर पर विज्ञान की कक्षाओं में इस्तेमाल होने वाले गणित की तुलना में बहुत अधिक उन्नत होता है। उदाहरण के लिए, उच्च विद्यालय यांत्रिकी वास्तव में सिर्फ बीजगणित है और रसायन विज्ञान उससे भी सरल है।बहरहाल, इस 'सरल' गणित को समृद्ध किया जाता है क्योंकि चर और कार्यों को वास्तविक दुनिया अर्थ और निहितार्थ के साथ माना जाता है।
व्यक्तिगत रूप से, मैंने विभिन्न इंजीनियरिंग कक्षाएं ली हैं और उनमें अच्छा किया है, इसलिए नहीं कि मुझे पिछले ज्ञान था या इसलिए कि मैं जरूरी रूप से किसी की तुलना में या किसी जन्मजात प्रतिभा के कारण कड़ी मेहनत करता हूं, लेकिन क्योंकि मैंने सूत्रों, समीकरणों, कार्यों को समझने की अपनी क्षमता का सम्मान किया था - विज्ञान की भाषा। विज्ञान वास्तव में गणित की भाषा के आसपास एक प्रासंगिक आवरण है; अचानक चर इकाइयों और उनके पीछे जुड़े अर्थ है। किसी फ़ंक्शन की विशेषताओं का वास्तविक अर्थ है और अंतिम परिणाम हमारे आसपास की दुनिया के बारे में कुछ मौलिक कहता है। तथ्य यह है कि एक उत्तर का सकारात्मक या नकारात्मक ढलान है, कि परिमाण का क्रम 1 से कम है, इन गणितीय गुणों का अचानक महान भौतिक अर्थ है। लेकिन ये जानकारियां हमारे लिए उपलब्ध नहीं हैं यदि हमारे पास उस भाषा का ठोस रूप नहीं है जो वे लिखी गई हैं, यही वजह है कि गणितीय परिपक्वता केवल गणितज्ञों के लिए ही नहीं, बल्कि वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भी महत्वपूर्ण है।

11.गणित जीवन(Mathematics life)-

यहां चर्चा किए गए बहुत सारे दृष्टिकोण वास्तव में काफी सामान्य हैं। अमूर्तता, संशोधन, और भेदभाव का विचार सॉफ्टवेयर डिजाइन के साथ मेरे अनुभव पर आधारित है, लेकिन समस्या को हल करने का तरीका काफी सामान्य है। जीवन में, हम समस्याओं को तरीकों और दृष्टिकोणों में पैटर्न खोजने के रूप में देख सकते हैं।
यहां तक ​​कि गैर-तकनीकी क्षेत्र, जैसे कि तर्कपूर्ण / प्रेरक लेखन, दर्शन, और बहस में भी सोच में इसी तरह की गतिशीलता की आवश्यकता होती है, लेकिन थोड़े, शिथिल ’तरीके से। मेरा यह मतलब नकारात्मक तरीके से नहीं है - वास्तव में, मुझे लगता है कि इस तरह की सोच और भी कठिन है। एक समस्या को हल करने और एक अच्छा तर्क बनाने के बीच समानांतर दिलचस्प है, लेकिन दुर्भाग्य से तलाशने के लिए एक और पद की आवश्यकता है।
तो कैसे हैं कि मैं सामान्य समस्या को सुलझाने विषयों से अलग ऊपर दिए गए सुझाव हैं? मैं तर्क दूंगा कि प्राथमिक विभेदक गणित में तेजी से और ठोस प्रतिक्रिया पाश है - आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि आपका काम और आपका उत्तर सही है। यह दर्शनशास्त्र, या विज्ञान के कई क्षेत्रों में, या लिखित रूप में, या एक शौचालय को ठीक करने में सच नहीं है (हालांकि यकीनन कंप्यूटर विज्ञान के साथ समानताएं हैं, मुख्य अंतर यह है कि अच्छा सॉफ्टवेयर इंजीनियरिंग और वाक्यविन्यास स्वाभाविक रूप से स्पष्ट नहीं है और शिक्षण की आवश्यकता है )।

12.निष्कर्ष(Conclusion)-

उम्मीद है कि अगली बार जब आप अपने गणित के होमवर्क को करने के लिए बैठेंगे तो अधिक ध्यान देने के लिए प्रेरित करने के लिए इस पोस्ट ने रोडमैप या कम से कम एक मूल्यवान उपकरण के रूप में कार्य किया है। और इनमें से कई सिद्धांत काफी सामान्य हैं, किसी भी समस्या के लिए लागू होते हैं जो आप खुद को अक्सर मुठभेड़ करते हुए पाते हैं।
“गणित सबसे सस्ता विज्ञान है। भौतिकी या रसायन विज्ञान के विपरीत, इसे किसी महंगे उपकरण की आवश्यकता नहीं है। गणित के लिए सभी की जरूरत एक पेंसिल और कागज है। ”- जॉर्ज पॉली