There Are The Same Amount of Positive Integers As Regular Integers

1.नियमित पूर्णांकों के समान ही धनात्मक पूर्णांक होते हैं(There Are The Same Amount of Positive Integers As Regular Integers)-

इस  आर्टिकल में पूर्णांकों को फलन के माध्यम से समझाया गया है। फलन  की परिभाषा देकर ,उसके प्रकार बताए गए। फलन मुख्यत छ: प्रकार के होते है. (1 )अंतर्क्षेपी प्रतिचित्रण(Into Mapping) (2 )ऐकैकी अंतर्क्षेपी प्रतिचित्रण(one-one into mapping) (3 )बहु-एकी अंतर्क्षेपी प्रतिचित्रण(Many one into mapping) (4 )आच्छादक प्रतिचित्रण(onto or surjective mapping) (5.)एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण(one-one into mapping or bijection) (6. )बहु -एकी आच्छादक प्रतिचित्रण(Many one onto mapping) 

 (1.)अन्तर्क्षेपी प्रतिचित्रण (Into Mapping) :समुच्चय A का किसी फलन (function) f के अन्तर्गत समुच्चय B में प्रतिचित्रण अन्तर्क्षेपी प्रतिचित्रण (into mapping) कहलाता है। यदि B में कम से कम एक ऐसा अवयव हो जो A के किसी भी अवयव का f-प्रतिबिम्ब नहीं हो।
(2.)ऐकैकी अन्तर्क्षेपी प्रतिचित्रण (one-one into mapping) :समुच्चय A का किसी फलन (function) f के अन्तर्गत समुच्चय B में प्रतिचित्रण (one-one into mapping) कहलाता है यदि A के भिन्न-भिन्न अवयवों के, B में भिन्न-भिन्न, f-प्रतिबिम्ब हो तथा B में कम से कम एक अवयव ऐसा हो जो A के किसी भी अवयव का f-प्रतिबिम्ब न हो।
(3.)बहु-एकी अन्तर्क्षेपी प्रतिचित्रण (Many one into mapping) - समुच्चय A का किसी फलन (function) f के अन्तर्गत समुच्चय B में प्रतिबिम्ब एक अवयव हो और B में कम से कम एक ऐसा अवयव हो जो A के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हो।
(4.)आच्छादक प्रतिचित्रण (Onto or surjective mapping) :समुच्चय A का किसी फलन (function)  f के अन्तर्गत समुच्चय B में प्रतिचित्रण आच्छादक-प्रतिचित्रण (onto mapping) कहलाता है यदि B का प्रत्येक अवयव A के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब हो।
(5.)ऐकैकी आच्छादक प्रतिचित्रण (one-one into mapping or bijection) :समुच्चय A का किसी फलन (function) f के अन्तर्गत समुच्चय B में प्रतिचित्रण एकैकी आच्छादक-प्रतिचित्रण (bijection) कहलाता है यदि A के भिन्न-भिन्न अवयवों के B में भिन्न-भिन्न प्रतिबिम्ब हों तथा B का प्रत्येक अवयव A के किसी न किसी अवयव का प्रतिबिम्ब हो।
(6.)बहु-एकी आच्छादक-प्रतिचित्रण (Many one onto mapping) :समुच्चय A का किसी फलन (function) f के अन्तर्गत समुच्चय B में प्रतिचित्रण बहु-एकी आच्छादक-प्रतिचित्रण कहलाता है यदि A के एक से अधिक अवयवों का प्रतिबिम्ब B का एक अवयव हो तथा B का प्रत्येक अवयव A के कम से कम एक अवयव का प्रतिबिम्ब हो।
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2.नियमित पूर्णांकों के समान ही धनात्मक पूर्णांक होते हैं(There Are The Same Amount of Positive Integers As Regular Integers)-

There Are The Same Amount of Positive Integers As Regular Integers

मुझे मेरा आशय समझाने दीजिए। दिए गए A = {…, -2, -1, 0, 1, 2…} जिसमें सभी संभव पूर्णांक होते हैं, और B = {0, 1, 2,…} जिसमें सभी पूर्णांक होते हैं, ≥ 0, तत्वों की एक समान संख्या होती है पहली नज़र से अब A और B में, इसका कोई मतलब नहीं है। स्पष्ट रूप से, A की तुलना में B में अधिक अवयव  होने चाहिए, क्योंकि अगर B के अलावा A और संख्या के सभी अवयव  शामिल नहीं हैं। 0. यदि आपने यह सोचा है, तो आप गलत होंगे।
सबसे पहले, हमेशा की तरह, हमें कुछ प्रमुख परिभाषाओं को बताने की जरूरत है। हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं f: S → T एक फ़ंक्शन के रूप में जो S से एक तत्व लेता है और T में एक तत्व उत्पन्न करता है। ऐसे फ़ंक्शन के लिए, हमारी निम्नलिखित परिभाषाएँ हैं:
इंजेक्टिव: एक फ़ंक्शन इंजेक्टिव या one-to-one है यदि एस में प्रत्येक तत्व को T। में सबसे अधिक एक तत्व में मैप किया जाता है। गणितीय शब्दों में:
f (x) = t और f (y) = t ⇒ x = y
Surjective: एक फंक्शन surjective होता है या यदि T में प्रत्येक अवयव  t के लिए होता है तो S में एक अवयव  मौजूद होता है जैसे कि f (s) = t।
कार्डिनैलिटी: एक सेट S की कार्डिनैलिटी, जिसे S | S | के रूप में दर्शाया जाता है, बस उस सेट में अवयवों  की संख्या होती है। उदाहरण के लिए, सेट A = {1,2,3} की कार्डिनैलिटी 3 है, या | A | = 3 |
यदि कोई फ़ंक्शन इंजेक्टिव है, तो S में प्रत्येक अवयव  को T में एक अलग अवयव  के लिए मैप किया जाता है, इसलिए कम से कम  |S| अवयव  |T| में है , or |S| ≤ |T| यदि कोई फ़ंक्शन आच्छादक (surjective) है, तो T में प्रत्येक अवयव  को S; कम से कम एक तत्व में मैप किया जाता है। T | | | S | (if | T |> | | S |, तो T में एक अवयव  होना चाहिए S में एक अवयव  के लिए मैप नहीं किया गया)। चूंकि | S | | | T | | और |T | ≤ | S |, हमारे पास वह है | S |= | T | दूसरे शब्दों में, S और T में समान अवयवों  की संख्या है। यह एक जीवनी का एक महत्वपूर्ण परिणाम है, अर्थात् यदि आपके पास दो सेटों के बीच एक आच्छादक (surjective) फ़ंक्शन है, तो उन दो सेटों में एक ही कार्डिनैलिटी है।
इसे स्पष्ट करने के लिए, हम धनात्मक  A पूर्णांक (जैसा कि ऊपर कहा गया है), और एक सेट C = {0,1,2,3,…} को देख सकते हैं जिसमें सभी धनात्मक पूर्णांक और शून्य हैं। सहज रूप से आप सोच सकते हैं कि C में A की तुलना में एक अधिक अवयव  है, लेकिन फ़ंक्शन f (c) = c + 1 पर विचार करें। तो हमारे पास हैं

f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4,…
यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह एक बायजेक्शन फ़ंक्शन है, हम दो चीजों में से एक कर सकते हैं। सबसे पहले, हम यह साबित कर सकते हैं कि यह इंजेक्शन और surjective दोनों है, लेकिन इसमें समय और प्रयास लगता है। एक और तरीका  हम कर सकते हैं कि एक साधारण गणितीय प्रस्ताव का उपयोग करें (प्रमाण के लिए प्रस्ताव 3.2 देखें) जिसमें कहा गया है:
एक फ़ंक्शन f: A → B में एक व्युत्क्रम(inverse) है अगर और केवल अगर यह एक bijective है।
एक फ़ंक्शन g (y) f (x) के लिए एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:
1.f (g (y)) = y
2. g (f (x)) = x
उपरोक्त कार्य f के लिए, व्युत्क्रम की गणना करना आसान है:
g (a) = a-1
यह जाँचने के लिए कि यह एक व्युत्क्रम है, आप बस निम्नलिखित मूल अंकगणित कर सकते हैं:
f (g (a)) = g (a) + 1 = a-1 + 1 = a
g (f (c)) = f (c) -1 = c + 1–1 = c

तो, थोड़े लंबे समय तक चलने वाले तरीके से, हमने दिखाया है कि f (c) एक bijection है, इसलिए A = {1,2,3,…} और C = {0,1,2,3,…} वास्तव में है अवयवों  की समान संख्या।
अब कहानी के मांस और आलू के लिए। हमारे द्वारा उपयोग किए जा रहे सेट A = {… -2, -1,0,1,2,…} और B = {0,1,2,3……} हैं। जिस फ़ंक्शन का हम उपयोग करने जा रहे हैं, वह एक प्रकार है जिसे एक टुकड़े-टुकड़े फलन  कहा जाता है, जो कि कई कार्य हैं जो केवल तभी कार्य करते हैं जब कुछ पैरामीटर मिलते हैं (आमतौर पर फ़ंक्शन के इनपुट पर प्रतिबंध)। विशेष रूप से, हम निम्नलिखित का उपयोग करने जा रहे हैं:

f: {

2x, x ≥ 0

-2x-1, x < 0

}

इस फ़ंक्शन के व्युत्क्रम के साथ

g: {

0.5x, if x is even

-0.5(x+1), if x is odd

}

यह साबित करने के लिए कि वास्तव में एक bijection है, हमें उस f (g (y)) = y और g (f (x) = x को दिखाने की आवश्यकता है। पहले हम f (g (y)) = y साबित करते हैं:
चूँकि g (y) B का एक फ़ंक्शन है (B से मान लेता है), y ≥ 0 इसलिए यदि y even है:
g (y) = 0.5y ⇒ 0 ⇒ f (g (y)) = 2 (0.5y) = y
यदि y odd है, तो  y ≥ 1 (चूंकि 0 even है) और हमें मिलता है:
g (y) = -0.5 (y + 1) <0 ⇒ f (g (y)) = -2 (-0.5 (y + 1)) - 1 = y + 1–1 = y
इस प्रकार या तो मामले में, च (जी (y)) = y
फिर f (x) के लिए, यदि x f 0:
f (x) = 2x (जो सम है) ⇒ g (f (x)) = 0.5 (2x) = x
यदि x <0: f (x) = - 2x-1 (जो विषम है) ⇒ g (f (x)) = -0.5 ((- 2x-1) +1) = -0.5 (-2x) = x Thus इन या तो मामला, g (f (x)) = x
इसलिए, f के बाद से एक bijection है, भले ही यह आपके तर्क और अंतर्ज्ञान को परिभाषित करता है, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि A = {... -2, -1,0,1,2} और बी = {0,1,2,3, ... } तत्वों की समान संख्या है। इनफिनिटी सेट्स की खूबियों के लिए आपका स्वागत है।