Breaking Through The Mathematics Education System Despite Itself

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1.गणित  शिक्षा में योजना का महत्त्व (Importance of Planning  mathematics Education) -

वर्तमान युग में योजना का अत्यन्त महत्त्व है। योजनाबद्ध तरीके से काम करने पर समय तथा शक्ति का सदुपयोग होता है तथा उद्देश्यों की प्राप्ति के लिए साधनों का समुचित उपयोग किया जा सकता है। अध्यापन कार्य की सफलता के लिए योजनाबद्ध तरीके से काम करना उपयोगी है। जो अध्यापक योजना तैयार कर अध्यापन कार्य करते हैं वे अपने विद्यार्थियों और विषयवस्तु के साथ अधिक न्याय कर पाते हैं तथा वे उपलब्ध समय, साधनों तथा सुविधाओं का अधिकतम सदुपयोग कर सकने की स्थिति में होते हैं। गणित शिक्षण में योजना अत्यन्त आवश्यक है। योजनाबद्ध अध्यापन के बिना गणित के अध्यापक अपने कार्य के अनेक पक्षों को व्यावहारिक रूप देकर अध्यापन प्रयासों को सफल बना सकता है। योजना में विषयवस्तु से सम्बंधित अध्यापन उद्देश्य, अध्यापन विधि, अध्यापन एवं अध्यापन की समुचित परिस्थितियाँ, अध्यापन सामग्री तथा मूल्यांकन के बारे में विस्तार से चिंतन किया जा सकता है। योजना तैयार करते समय अध्यापक आनेवाली कठिनाईयों समुचित समाधान पहले से सोचकर परिस्थितियों के साथ सामंजस्य स्थापित कर सकता है। वर्तमान युग में मूल्यांकन-विज्ञान ने हमारे सोचने एवं करने के तरीकों को वस्तुनिष्ठता प्रदान की है तथा मूल्यांकन-विज्ञान की सहायता से योजनाओं के प्रारूप को उपयोगिता की कसौटी पर आँका जा सकता है। प्रभावी अध्यापन के लिए योजना आवश्यक है।

सर्वप्रथम अध्यापक को सत्र के कार्य-दिवसों की सही गणना करनी चाहिए जिससे कि उसे स्पष्ट रूप से ज्ञात हो कि इस सत्र में उसे लगभग कितने कार्य दिवस उपलब्ध होंगे। इसकी गणना से वह आत्मविश्वास के साथ अपनी अध्यापन योजना में कार्य-विभाजन का प्रारूप तैयार कर सकता है। बहूधा यह देखा जाता है कि अध्यापकगण भागा-दौड़ी में पाठ्यक्रम समाप्त करने की चेष्टा करते हैं, क्योंकि उनके समक्ष उपलब्ध कार्य दिवसों की स्पष्ट रूपरेखा नहीं होती है।

इसी प्रकार विद्यार्थी भी अपने पाठ्यक्रम को पूर्ण करने की स्पष्ट रूपरेखा तैयार कर लेता है तो कोई कारण नहीं है कि वह परीक्षा से पूर्व अपने पाठ्यक्रम को पूर्ण न कर सके। पाठ्यक्रम की योजना को तैयार करने के बाद सबसे महत्त्वपूर्ण बात है उस योजना के अनुसार कार्य करने अर्थात् योजना को कार्यान्वित करने क्योंकि केवल योजना बना लेने से कुछ नहीं होता है जबतक उसका पालन न करें। इसके लिए सुदृढ़ आत्मविश्वास, संकल्पशक्ति, पक्का इरादा और कठोर परिश्रम की आवश्यकता है। फिर कोई कारण नहीं है कि परीक्षा में अच्छा प्रदर्शन न कर सके। 

2. खुद के बावजूद गणित शिक्षा प्रणाली के माध्यम से तोड़कर(Breaking through the mathematics education system despite itself)-

एक सख्त पाठ्यक्रम के बाद कुछ कक्षा के शिक्षकों द्वारा नियोजित एक मनोवैज्ञानिक रणनीति है: एक सामान्य दुश्मन के रूप में लागू पाठ्यपुस्तक को कास्टिंग करके किसी के छात्रों के साथ बंधन के लिए। "हम सिस्टम में हैं और यह वह गेम है जिसे हमें खेलना है," यह दुखद और संभवतः मनोभ्रंश है। लेकिन अगर अनुग्रह और देखभाल के साथ आयोजित किया जाता है, तो इस मनोवैज्ञानिक रुख के तत्व सम्मानजनक, उत्थान और शैक्षणिक रूप से अच्छे हो सकते हैं।
आखिरकार, पाठ का कोई भी अंश सामग्री, प्रश्न विसंगतियों की जांच करने, छूटे हुए अवसरों का पता लगाने, अपवादों और वैकल्पिक दृष्टिकोणों के साथ उचित रूप से अनमोल कथनों और परिभाषाओं आदि का अवसर प्रदान करता है। यही है, सभी ग्रंथ सामग्री के स्थान और संदर्भ की जांच करने के लिए एक निमंत्रण के रूप में सेवा कर सकते हैं। और इस सामग्री से भरपूर, सामग्री-पर-तैयार दुनिया में, क्या यह सब अधिक महत्वपूर्ण नहीं है कि 21 वीं सदी की शिक्षा छात्रों को अपने स्वयं के ज्ञान के मध्यस्थ और मूल्यांकनकर्ता बनने में मदद करनी चाहिए?
यह गणित की शिक्षा और उसकी सामग्री की उपलब्धता पर भी लागू होता है। एक बार हर रोज की संख्या तथ्यों और सुविधाओं के माध्यम से मध्य विद्यालय के हाथ में हैं, शेष छह साल की गणित की शिक्षा गणित की सोच और मेटा-सोच में शामिल हो सकती है, और इस विचार की आत्मनिर्भरता प्रेरित करती है। हम इरादे के साथ, छात्रों को यह जानने में मदद कर सकते हैं कि कैसे सीखना है, व्यक्तिगत रूप से वे क्या जानते हैं और वे इसे कैसे जानते हैं, का आकलन करने के लिए और परिचित और समझ के बीच अंतर करने के लिए: ज्ञान जो पुनरावृत्ति और रटे से आता है बनाम ज्ञान का सशक्तिकरण है।
तो जब एक कठोर, उच्च-विद्यालय पाठ्यक्रम जो कि सामग्री केंद्रित और सामग्री से लदी हुई है, के साथ प्रस्तुत करने के लिए एक छात्र की समझ, आत्मविश्वास, और सूक्ष्म समझ को कैसे बढ़ावा देता है? "सिस्टम" को दुश्मन होने की जरूरत नहीं है, प्रति से, लेकिन क्या हम सिस्टम के भीतर उन अवसरों की पहचान कर सकते हैं जो स्वयं के बावजूद खुद से आगे बढ़ते हैं?

Breaking Through The Mathematics Education System Despite Itself

शुरुआत के लिए, हम यह तर्क दे सकते हैं कि जिस गणित सामग्री से हमें उच्च विद्यालय के गणित में शामिल होने की उम्मीद है उसकी मात्रा और प्रकृति स्वयं में एक संदेश रखती है। फैक्टर ट्रिनोमिअल्स, कुछ ज्यामितीय परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए 2x2 मैट्रिस का उपयोग करते हैं, सीन्स के कानून के अस्पष्ट मामले का विश्लेषण करते हैं, और इसी तरह और इतने पर। असमान विषयों की गिनती हमें यह एहसास कराती है कि वे सभी पवित्र विषय नहीं हो सकते जिन्हें पढ़ाने की आवश्यकता है। कोई भी विषय महत्वपूर्ण नहीं है क्योंकि छात्रों को "इसे बाद में जानने की आवश्यकता होगी।" (या, अगर मैं इसके बारे में गलत हूं, तो विषय "बाद में" तब तक इंतजार कर सकता है जब वास्तव में इसकी आवश्यकता हो!) विस्तृत "पवित्र उच्च" की धारणा -स्कूल की सामग्री ”जिसे पढ़ाया जाना चाहिए वह एक मिथक है। इसे स्वीकार करना और अपने छात्रों के साथ इसके बारे में ईमानदार होना स्वतंत्र और मुक्ति है! यह आपके कक्षा के समुदाय को नई शक्तिशाली सोच सीखने के लिए सुंदर वाहनों के रूप में सामग्री के टुकड़ों को पहचानने की अनुमति देता है, और हर बार इसे ला सकता है। यकीन है, सामग्री के बारे में "क्या" सवालों के भार का जवाब मानकीकृत परीक्षा में होगा, लेकिन सभी को पता होगा कि यह वह नहीं है जो गणित के आनंद को परिभाषित करता है। कितना प्यारा है!दूसरा, सामग्री को कवर करने के लिए धक्का में, कई पाठ्यक्रम वर्तमान सामग्री को तेज और अधिकार के साथ। यह इंसानी कहानी से इसे हटा दिया जाता है और पूछताछ से छूट देता है। और यह बहुत खूबसूरत है क्योंकि यह बहुत ही रुख है जिसे संदेह और सवाल को आमंत्रित करना चाहिए! तो फिर, यह सवाल! आप खुद, और आप और आपके छात्र एक साथ।
यह बिंदु मेरे लिए हाल ही में घर पर आया है क्योंकि मैं वर्तमान में "सरल," "कारक" (अमेरिकी शिक्षकों का कहना है कि "कारक" के बजाय "कारक"), "हल" जैसे छात्रों के लिए आधिकारिक आज्ञाओं के लिए एक अंतरराष्ट्रीय गणित पाठ्यक्रम की समीक्षा कर रहा है। और-तो-विधि के माध्यम से, ”और इतने पर। यह सब बहुत डराने वाला है। मेरे भीतर के छात्र ने कहा - मैं इस प्रकृति की एक गणित शिक्षा प्रणाली में बड़ा हुआ हूं और इसके प्रभाव को पहचानता हूं - लेकिन अब मेरे पास वयस्क आत्मविश्वास है और मैं यह कहने के लिए आत्मविश्वास से युक्त हूं: “रुको! आइए इस बारे में सोचें। और छात्रों को भी इस बारे में सोचने दें! "जब वे ऐसा करने के लिए उपयुक्त होते हैं, तो मैं छात्रों को बौद्धिक शक्ति और चतुराई के साथ पीछे धकेलना चाहता हूं।
मैं इस विषय पर इस उदाहरण में तीन उदाहरण प्रस्तुत करूंगा, जो इस विशेष पाठ्यक्रम की समीक्षा करने में मेरे लिए बस एक उदाहरण है। वे एक "पवित्र" विषय के महत्व पर सवाल उठाने का मूल्य हैं, गहराई से समझ में आने की संभावना का मूल्य, और शब्द "पता" का त्रुटिपूर्ण उपयोग, मैंने उच्च-विद्यालय के छात्रों को उल्लिखित प्रत्येक विशिष्ट विषय को पढ़ाया है। मैंने नीचे दिए प्रत्येक उदाहरणों में जो उपदेश दिया है, उसका मैंने अभ्यास किया है।
लेकिन मैं समझता हूं कि हाई-स्कूल गणित कक्षा में सफलता को परिभाषित करने वाली संस्कृति को बदलना एक चुनौती है। छात्रों को मदद करने के लिए मुझे अपने बेल्ट (और एक ब्रिटिश-एस्के उच्चारण बूट) के तहत गणित में प्रिंसटन पीएचडी का लाभ है - और माता-पिता - दीर्घकालिक गणित अर्थ और मूल्य के बारे में मेरी दृष्टि में विश्वास करते हैं।लेकिन मैं यह भी बहुत संज्ञान में हूं कि मूल्यांकन, विशेष रूप से, मानकीकृत मूल्यांकन, हाई-स्कूल गणित के मूल्य के पहले क्रम के परिभाषा हैं। जो जल्द ही बदलने वाला नहीं है। इसलिए महत्वपूर्ण यह है कि सांस्कृतिक परिवर्तन को प्रेरित करने के लिए आकस्मिक सलाह और सरल पहले बच्चे के कदम के रूप में मैं यहां सभी की पेशकश करता हूं। लेकिन कृपया इस तरह के सरल पहले चरणों की शक्ति को कम मत समझो!

3.फैक्टरिंग(Factoring)-

प्रत्येक बीजगणित पाठ्यक्रम में छात्रों को घंटों - कई घंटे - गणितीय अभिव्यक्तियों को फैक्टरिंग करते हैं जो सावधानीपूर्वक जादुई कारक के लिए तैयार किए गए हैं। (अधिकांश अभिव्यक्तियाँ नहीं हैं।) तो निम्न प्रकार के प्रश्न का पता क्यों नहीं लगाया जाए?
Consider the quadratic expressions ax^2+bx+c where a,b,c are single digits,with a not zero.What percentage of these 900 quadratics actually factor over the integers?
बीस छात्रों की एक कक्षा में, प्रत्येक छात्र यादृच्छिक पर तीन चतुर्भुज चुन सकता है और उन्हें कारक बनाने का प्रयास कर सकता है। 60 के एक नमूने के आकार से, शायद कोई यह समझ सकता है कि क्वाडराटिक्स का अनुपात वास्तव में किस अनुपात में है? (या वुल्फरमलफा का उपयोग क्यों नहीं किया गया और एक बड़े नमूना आकार की जांच करें? या सभी चतुष्कोणों के माध्यम से चलाने के लिए बुनियादी कोडिंग सॉफ़्टवेयर का उपयोग करें? एकल-अंक सकारात्मक पूर्णांक गुणांक पर क्यों रोकें?)
मैं जिस अंतरराष्ट्रीय पाठ्यक्रम की परीक्षा दे रहा हूं, वह छात्रों को 12x, 6x⁴ और 10x⁵ जैसे तीन शब्दों के "सबसे बड़े सामान्य कारक" की पहचान करने के लिए कहता है। परीक्षा पृष्ठ पर बॉक्स में लिखा जाने वाला वांछित उत्तर, 2x^3 है। लेकिन विराम दें। सोच! यह बीजगणित वर्ग से एक प्रश्न है जहां x एक अभी तक निर्दिष्ट मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। यह अच्छी तरह से एक पूरी संख्या मात्रा हो सकता है, लेकिन यह सिर्फ एक आंशिक मात्रा या एक अपरिमेय मात्रा हो सकती है। हम नहीं जानते! यह प्रश्न 4, √3और ⅚  का महत्तम समापवर्तक  के पूछने के समान है और इसलिए तकनीकी रूप से मूर्खतापूर्ण है क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या किसी भी अन्य गैर-शून्य वास्तविक संख्या का गुणक है। (उदाहरण के लिए, 4 17 का 4 = 17 * (4/17) का एक बहु है।) सबसे बड़ी सामान्य कारक की धारणा वास्तविक संख्या प्रणाली में अर्थहीन है। क्या शानदार बातचीत हुई!
लेकिन तब होने वाली मेटा-बातचीत: ठीक है, तो पाठ्यक्रम के लेखकों से क्या पूछना चाहिए?
एक को पता चलता है कि पाठ्यक्रम एक्स के गैर-नकारात्मक शक्तियों वाले पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद पर ध्यान केंद्रित करने का विकल्प चुनता है। (उम्म। क्यों?) लेखक संभवत: एक उत्तर के रूप में  एक axᵇ अभिव्यक्ति की तलाश करते हैं, जितना संभव हो उतना बड़ा और गैर-नकारात्मक पूर्णांक a ,b के साथ। किस मामले में, जब बाद में "पूरी तरह से" गुणक "6x⁵ + 10x⁴+12x³ पूछा गया, तो शायद जिसे  2x³(3x² + 5x + 6) लिखने की उम्मीद है और x³ (6x² + 10x + 12) या 10x⁴ (0.6x + 1 +) नहीं। 1.2 / x) या कुछ अन्य अभिव्यक्ति जो कुछ बाद के लिए और अधिक प्रासंगिक हो सकती हैं, फिर भी निर्दिष्ट होना चाहिए, संदर्भ।
प्रश्न: 6x⁵ + 10x⁴ + 12x⁵ को सरल कीजिए।
वास्तविक सही उत्तर: यह जैसा दिखता है ठीक है। यह सब इस पर निर्भर करता है कि आप इस अभिव्यक्ति के साथ आगे क्या करना चाहते हैं। यदि कोई "अगला" नहीं है, तो अब और क्या करना है?

4.समीकरणों को हल करना(Solving Equations)-

गणित एक भाषा है… सचमुच! प्रत्येक गणितीय कथन जो लिखता है वह एक वाक्य है। उदाहरण के लिए, कथन 3 + 4 = 7 में एक संज्ञा (मात्रा "3 + 4"), एक क्रिया ("बराबर"), और एक वस्तु (मात्रा "7") है। कथन 5> 8 भी एक वाक्य है।
पहला वाक्य संख्याओं के बारे में सही वाक्य और दूसरा संख्याओं के बारे में एक गलत वाक्य होता है। जैसा कि गणित सत्य पर ध्यान केंद्रित करता है, यह ऐसे वाक्यों में रुचि रखता है जो संख्याओं के बारे में सही कथन का प्रतिनिधित्व करते हैं।
कथन w²+w = 2 एक अनिर्दिष्ट मूल्य w के बारे में एक वाक्य है और यह न तो सच है और न ही गलत है क्योंकि यह खड़ा है: यह सब निर्भर करता है कि कोई विशिष्ट मान w को निर्दिष्ट करना चाहता है। यदि हम w को 1 मानते हैं, तो हमारे पास एक सही संख्या वाक्य है। यदि हम w को 2 के सेट करते हैं, तो हमारे पास एक गलत है।
इसी तरह, वाक्य x = 3 वर्तमान में न तो सही है और न ही गलत है। यदि x ,3 है, तो हमारे पास एक सही संख्या वाक्य है। यदि x को 4 पर सेट किया जाता है, तो हमारे पास एक गलत है।
जब एक समीकरण के साथ प्रस्तुत किया जाता है तो अज्ञात का मूल्य की तलाश करना स्वाभाविक है जो सही संख्या में बयान करते हैं। उदाहरण के लिए, सभी संख्याओं का सेट जो समीकरण w² + w = ​​2 को एक सही संख्या वाक्य बनाता है - इसका समाधान सेट - {1, -2} है। X = 3 का समाधान सेट {3} है।
ऊपर दिखाए गए एक्ज़िट टिकट को उस छात्र को पूरा क्रेडिट देना चाहिए जो स्पष्ट रूप से पहचानता है कि "x = 3" एक समीकरण है और यह कि समीकरण के लिए हल किया गया संख्याओं का सेट {3} है, और, शायद, अधिक सूक्ष्मता से उस लेखन को पहचानता है समाधान सेट के रूप में "w = 1 या -2" या "x = 3" तकनीकी रूप से सही नहीं है: ये दोनों अभी भी समीकरण हैं कि प्रत्येक सही हो सकता है या नहीं हो सकता है, लेकिन उनके समाधान सेट इतने स्पष्ट रूप से स्पष्ट हैं कि लोक इन का संबंध है समाधान सेट के बयान के रूप में समीकरण। (वास्तव में सूक्ष्म! यहाँ बहुत चर्चा की जानी है।)

5.अपरिमेय संख्या(Irrational Numbers)-

मैंने देखा है कि हर पाठ्यक्रम में छात्रों से "पता" करने की उम्मीद है कि π2और √2  प्रत्येक अपरिमेय  हैं।
उम्म… कैसे?
कुछ ऐसे ग्रंथ हैं जो .2 की तर्कहीनता के साक्ष्य साझा करते हैं। (यह मानकर शुरू करें कि हम कम अंश के रूप में √2  = a / b लिख सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या गलत हुआ है। वर्ग करने पर  और कुछ बीजगणित a² = 2b² दिखा रहा है कि a², और इसलिए a, भी है। a = ​​2k लिख रहा है।4k² = 2b² को b² तक ले जाता है, और इसलिए b, यहां तक ​​कि जा रहा है। लेकिन यह पहली बार में एक कम अंश होने का विरोधाभास देता है। हमारी शुरुआत की धारणा है कि हम √2 को एक छोटे अंश के रूप में लिख सकते हैं बस गलत होना चाहिए।)
लेकिन एक को कैसे पता है कि " π" अपरिमेय  है? एक ही बताया जाता है!
ठीक है, तो चलो वास्तव में कहानी, पूरी कहानी बताएं। पूरे विश्व के विद्वानों ने 2000 से अधिक वर्षों के लिए  π की परिमेय  या अपरिमेय  के सवाल पर संघर्ष किया। यह साझा करने लायक है!
मानव आंख के लिए, जार के ढक्कन के चारों ओर एक तार को सात बार लपेटने से जार की चौड़ाई की 22 प्रतियों का पूरी तरह से मिलान होता है। (अपने छात्रों के साथ यह कोशिश करो!)। इससे पता चलता है कि। 22/7 हो सकता है। पर है क्या?
अगली बार आपके छात्रों ने Google को तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के सेराक्यूस के आर्किमिडीज का काम दिया, जिन्होंने दिखाया कि वह  वास्तव में इस अंश का केवल शर्मीला मूल्य है, और पांचवीं शताब्दी ईस्वी चीनी विद्वान त्सू चुंग-ची को एक अनुमान मिला कि वे इसे सही मानते हैं। सात दशमलव स्थानों पर, और सामान्य दौड़ में पाई के अंकों के लिए समय के साथ, उनमें से अधिक, सभी जबकि विद्वान अभी भी अनिश्चित थे कि संख्या एक अंश थी या नहीं। (क्या यह कुछ असाधारण बड़े अंश और समान रूप से बड़े भाजक के साथ एक अंश हो सकता है?) छात्र पढ़ेंगे कि यह 1760 तक नहीं था, कुछ 2000 वर्षों की सोच के बाद, कि स्विस गणितज्ञ जोहान हेनरिक लैंबर्ट ने आखिरकार इस प्रश्न को परिमेय  के रूप में सुलझा लिया। एक बार और सभी के लिए की अपरिमेय । उन्नत तकनीकों का उपयोग करते हुए उन्होंने साबित किया कि  π बस एक अंश नहीं है। (और इंटरनेट पर उनके प्रमाण को भी क्यों नहीं देखा और कारण देखें कि उनका तर्क स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में क्यों नहीं दिखाई देता है?)
यह कहानी अच्छी है। लेकिन, शिक्षकों के रूप में, क्या हम आगे जा सकते हैं और इस बारे में पूछ सकते हैं कि हम इस कहानी से छात्रों को खुद के लिए पकड़ बनाने के लिए किस गणित की पेशकश कर सकते हैं?
मेरा जवाब यह है। नवोदित विद्वानों ने अपने बहुत ही अपरिमेय संख्या का निर्माण किया है! इसे इस्तेमाल करे:
क्या छात्र 1/3 को दशमलव के रूप में गणना करने के लिए लंबे विभाजन का उपयोग करते हैं और फिर सोचते हैं कि कोई दोहराए जाने वाले चक्र में क्यों फंस जाता है। (धमाका डॉट्स यह मजेदार और आसान बनाता है।)
इसके बाद छात्रों ने एक दशमलव के रूप में 4/7 की गणना करने के लिए लंबे विभाजन का उपयोग किया है (इसे भी करें, अभी!) और देखें कि एक पुनरावृत्ति चक्र में फिर से फंस गया है। (क्यों? जैसा कि आप यह कोशिश करते हैं, आप देखेंगे कि केवल सात संभावित अवशेष हैं जो विभाजन प्रक्रिया में दिखाई दे सकते हैं और इसलिए किसी को जल्द ही कुछ शेष दोहराना होगा। जैसे ही आप करते हैं, आप एक चक्र में हैं।)
अगली कल्पना - लेकिन आचरण मत करो! - दशमलव के रूप में 13/32 लिखने के लिए लंबा विभाजन। क्या अवशेष दिखाई दे सकते हैं? अंततः एक शेष को दोहराना चाहिए और इस तरह एक चक्र में गिरना चाहिए? हाँ!
एक झटके में हम सीखते हैं कि हर अंश का दशमलव विस्तार होता है जो दोहराव के पैटर्न में आता है। (यहां तक ​​कि rep = 0.2500000…। शून्य के दोहराए जाने वाले पैटर्न में गिर जाता है।) तो किसी भी संख्या में एक दशमलव प्रतिनिधित्व नहीं होता है जो दोहराए जाने वाले पैटर्न में नहीं होता है। वाह! और इस तरह की संख्याओं को लिखना संभव है। उदाहरण के लिए, यहाँ जेम्स 'अपरिमेय संख्या है
0,101001000100001000001000000100000001000 ...
यह संख्या दसवीं से थोड़ी अधिक है। इसके दशमलव अंकों में एक पैटर्न होता है (उदाहरण के लिए, मैं आपको बता सकता हूं कि यदि आप वास्तव में मुझसे चाहते हैं तो अरबवां अंक) लेकिन यह दोहराव वाला पैटर्न नहीं है। इसलिए इस संख्या को एक अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। यह एक अपरिमेय संख्या है।
व्यायाम: आपकी बारी! अब आप एक अपरिमेय संख्या बनाते हैं जिसे आप वास्तव में तर्कहीन होने के लिए जानते हैं।

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प्रत्येक और प्रत्येक पाठ्यक्रम मंशा से भरा हुआ है और अनजाने में बारीकियों से भरा हुआ है जो सवालों और अन्वेषणों को आमंत्रित करता है। जैसा कि वे आपके साथ होते हैं, अपने प्रश्नों और आश्चर्य को अपने छात्रों के साथ साझा करें। वे भी अपने स्वयं के आश्चर्य को नोटिस करेंगे और साझा करेंगे, और वास्तविक बौद्धिक जिज्ञासा का एक प्यारा स्नोबॉल प्रभाव विकसित होगा।
यह सशक्त शिक्षण में आनंद है।